2025届高三数学一轮总复习 第二章 第八讲 函数与方程

第八讲函数与方程2025年高考一轮总复习第二章

函数、导数及其应用1.函数的零点(1)零点的定义：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.(2)零点的几个等价关系：方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点⇔函数y＝f(x)有零点.

[注意]函数的零点不是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点，而是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数.2.函数零点存在定理

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解.

[注意]函数零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而连续函数在一个区间的端点处的函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的公共点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无公共点零点个数2103.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系

考点一函数零点所在区间的判定1.(2023年保定市校级期末)函数f(x)＝log2x＋2x－1的零点所在区间为()答案：B2.若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x)－a)的两个零点分别位于区间( A.(a，b)和(b，c)内 B.(－∞，a)和(a，b)内 C.(b，c)和(c，＋∞)内 D.(－∞，a)和(c，＋∞)内

解析：∵a＜b＜c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0，由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在一个零点.又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点，因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内.故选A.答案：A答案：(1，2)【题后反思】判断函数零点所在区间的方法(1)解方程法，当对应方程易解时，可直接解方程.(2)根据“零点存在性定理”判断.

(3)数形结合法，画出相应函数的图象，观察图象与x轴的交点情况来判断，或转化为两个函数的图象在所给区间上是否有交点来判断.考点二函数零点个数的确定1.函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数是()A.0B.1C.2D.3

解析：∵f(0)f(1)＝(－1)×1＝－1<0，且函数在定义域上连续且单调递增， ∴函数f(x)在区间(0，1)内有且只有1个零点.故选B.

答案：B2.函数f(x)＝3x|lnx|－1的零点个数为(

)A.1B.2C.3D.4

解析：函数f(x)＝3x|lnx|－1的零点的个数即函数g(x)＝|lnx|图D11零点.故选B.

答案：B数的图象有两个交点，故函数f(x)＝3x|lnx|－1有两个

解析：当x>0时，作出函数y＝lnx和y＝x2－2x的图象，如图D12，由图可知，两函数的图象有两个交点，所以当x>0时，f(x)有两个零点；图D12综上所述，f(x)有3个零点.答案：3【题后反思】函数零点个数判定的方法(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点.

(2)函数零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续的曲线，且f(a)f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.(3)作出两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.考点三根据函数零点个数求参数通性通法：根据函数零点个数求参数的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.[例1](1)(2023年江门市开学)定义函数min{f(x)，g(x)}＝至少有3个不同的解，则实数a的取值范围是()A.[1，2]C.[3，4]B.[2，3]D.[4，5]

解析：令f(x)＝|x|－1，g(x)＝x2－2ax＋a＋2，由题意可得x2－2ax＋a＋2＝0有解，所以Δ＝4a2－4(a＋2)≥0. 解得a≤－1或a≥2.综上所述，实数a的取值范围为[2，3].故选B.答案：B＝(x2－1)⊗(4＋x)，若函数y＝f(x)＋k有3个零点，则实数k的取值范围是()A.(－1，3]C.[－1，2)

B.[－3，1]D.[－2，1)解析：令x2－1－(4＋x)≥1，得x≤－2或x≥3，令x2－1－(4＋x)<1，得－2<x<3，y＝f(x)的图象与直线y＝－k有3个交点，图2-8-1根据函数图象可得－1<－k≤2，即－2≤k<1.故选D.作出函数f(x)的图象，如图2-8-1.函数y＝f(x)＋k有3个零点，等价于函数答案：D【变式训练】若函数g(x)＝f(x)－x－a有且只有两个不同的零点，则实数a的取值可以是()A.－1B.0C.1D.2解析：根据题意，作出函数f(x)的图象如图D13所示.图D13令g(x)＝0，得f(x)＝x＋a，

所以要使函数g(x)＝f(x)－x－a有且只有两个不同的零点，只需函数f(x)的图象与直线y＝x＋a有两个不同的交点，根据图象可得实数a的取值范围为(－1，＋∞).故选BCD.答案：BCD

2.若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋2m＋1的两个零点分别在区间(－1，0)和区间(1，2)内，则m的取值范围是____________.⊙数形结合法求解函数零点问题

直观想象是指借助几何直观想象和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的思想过程.函数的零点问题可以转化为两个函数图象的交点问题，可以通过画图分析图象的特征、图象间的关系来解决.A.[1，3)B.(0，2)C.[1，2)D.(0，1)图2-8-2解得1≤m＜2；若t1＝0，t2＝1，此时无解.综上所述，实数m的取值范围是[1，2).故选C.答案：Cn，则()A.mn＝1C.0<mn<1B.mn>1 D.以上都不对(2)若函数f(x)＝|logax|－2－x(a>0且a≠1)的两个零点分别是m，图2-8-3答案：C

【高分训练】

1.(多选题)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是一般不动点定理的基石.简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数.下列函数为“不动点”函数的是()图D14答案：BCD解析：∵f(x)为偶函数，故f(2－x)＝f(x－2)，又∵f(2－x)＝f