第9讲一次函数（原卷版）

第9讲一次函数考法一：一次函数的图像与性质1．（2021·江苏镇江·统考中考真题）已知一次函数的图象经过点(1，2)，且函数值y随自变量x的增大而减小，写出符合条件的一次函数表达式__．（答案不唯一，写出一个即可）2．（2022·江苏无锡·统考中考真题）请写出一个函数的表达式，使其图像分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴相交：________．3．（2021·江苏苏州·统考中考真题）若，且，则的取值范围为______．4．（2022·江苏宿迁·统考中考真题）甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“函数值y随自变量x增大而减小”；乙：“函数图像经过点(0，2)”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数，其表达式是____．5．（2022·江苏徐州·统考中考真题）若一次函数y＝kx＋b的图像如图所示，则关于kx＋b＞0的不等式的解集为________．1.正比例函数的概念：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做正比例系数．2.一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数.3.一次函数的一般形式：一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k，b为常数，k≠0．一次函数的一般形式的结构特征：（1）k≠0，（2）x的次数是1；（3）常数b可以为任意实数.（1）正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.（2）一般情况下，一次函数的自变量的取值范围是全体实数.（3）判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式.4．正比例函数的图象特征与性质正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线．k的符号函数图象图象的位置性质k>0图象经过第一、三象限y随x的增大而增大k<0图象经过第二、四象限y随x的增大而减小5.一次函数的图象特征与性质（1）一次函数的图象一次函数的图象一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和(，0)的一条直线图象关系一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到；b>0，向上平移b个单位长度；b<0，向下平移|b|个单位长度图象确定因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两点即可（2）一次函数的性质函数字母取值图象经过的象限函数性质y=kx+b(k≠0)k>0，b>0一、二、三y随x的增大而增大k>0，b<0一、三、四y=kx+b(k≠0)k<0，b>0一、二、四y随x的增大而减小k<0，b<0二、三、四6.k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=，即直线y=kx+b与x轴交于（–，0）．①当–>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴．②当–=0，即b=0时，直线经过原点．③当–<0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴．5.两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行；②当k1=k2，b1=b2，两直线重合；③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点；④当k1·k2=–1时，两直线垂直．6.待定系数法求一次函数解析式（1）定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法．（2）待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤①设含有待定系数的函数解析式为y=kx（k≠0）．②把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k的一元一次方程．③解方程，求出待定系数k．④将求得的待定系数k的值代入解析式．（3）待定系数法求一次函数解析式的一般步骤①设出含有待定系数k、b的函数解析式y=kx+b．②把两个已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k，b的二元一次方程组．③解二元一次方程组，求出k，b．④将求得的k，b的值代入解析式．1．（2022·江苏淮安·统考一模）点在函数的图像上，则代数式的值等于（

）A． B． C． D．2．（2022·江苏宿迁·统考二模）已知三点（1，－1）、（2，－3）、（a，7）在同一条直线上，则a的值为（

）A． B． C． D．3．（2022·江苏南通·统考一模）若一次函数的图象经过点A（2，0），点B（0，－3），则该函数图象不经过的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．（2022·江苏宿迁·统考二模）直线的图象向上平移5个单位长度，得到的直线的解析式为（

）A． B． C． D．5．（2022·江苏南通·统考一模）一次函数的图象经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是(

)A． B． C． D．考法二：一次函数与方程（组）、不等式（组）的关系1．（2022·江苏南通·统考中考真题）根据图像，可得关于x的不等式的解集是（

）A． B． C． D．2．（2019·江苏苏州·统考中考真题）若一次函数(为常数，且)的图象经过点，，则不等式的解为(

)A． B． C． D．3．（2022·江苏泰州·统考中考真题）一次函数的图像经过点(1，0)．当y>0时，x的取值范围是__________．4．（2022·江苏扬州·统考中考真题）如图，函数的图像经过点，则关于的不等式的解集为________．5．（2022·江苏泰州·统考中考真题）定义：对于一次函数，我们称函数为函数的“组合函数”.(1)若m=3，n=1，试判断函数是否为函数的“组合函数”，并说明理由;(2)设函数与的图像相交于点P.①若，点P在函数的“组合函数”图像的上方，求p的取值范围；②若p≠1，函数的“组合函数”图像经过点P.是否存在大小确定的m值，对于不等于1的任意实数p，都有“组合函数”图像与x轴交点Q的位置不变?若存在，请求出m的值及此时点Q的坐标;若不存在，请说明理由.方程（组）、不等式问题函数问题从“数”的角度看从“形”的角度看求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解使函数的值为0的值。确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标求关于、的二元一次方程组的解．使函数与函数的值相等的值确定直线与直线的交点的坐标求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集函数的值大于0的的取值范围。确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围1．（2022·江苏苏州·模拟预测）如图，已知直线与相交于点，则关于的不等式的解集是（

）A． B． C． D．2．（2022·江苏苏州·统考一模）已知一次函数的图像如图所示，则关于x的不等式的解集为（

）A． B． C． D．3．（2022·江苏泰州·校联考一模）如图，函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集（

）A． B． C． D．4．（2022·江苏连云港·连云港市新海实验中学校考二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx－b经过点，则关于x的不等式的解集为______．5．（2022·江苏南京·模拟预测）如图，直线y₁＝kx－2和直线y₂＝－3x＋b相交于点A（2，－1），B，C分别为两条直线与y轴的交点．(1)，解为__________；(2)当时，x范围为_________；(3)求C点坐标．考法三：一次函数的实际应用1．（2020·江苏连云港·中考真题）快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶．图中折线表示快、慢两车之间的路程与它们的行驶时间之间的函数关系．小欣同学结合图像得出如下结论：①快车途中停留了；

②快车速度比慢车速度多；③图中；

④快车先到达目的地．其中正确的是（

）A．①③ B．②③ C．②④ D．①④2．（2011·江苏南京·中考真题）如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x－6上时，线段BC扫过的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．3．（2014·江苏常州·统考中考真题）在平面直角坐标系中，直线经过点A（－3，0），点B（0，），点P的坐标为（1，0），与轴相切于点O，若将⊙P沿轴向左平移，平移后得到（点P的对应点为点P′），当⊙P′与直线相交时，横坐标为整数的点P′共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（2015·江苏连云港·统考中考真题）如图是本地区一种产品30天的销售图象，产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位：天）的大致函数关系如图①，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系，已知日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润，下列结论错误的是（

）A．日销售量为150件的是第12天与第30天B．第10天销售一件产品的利润是15元C．从第1天到第20天这段时间内日销售利润将先增加再减少D．第18天的日销售利润是1225元5．（2019·江苏南通·统考中考真题）如图，△ABC中，AB=AC=2，∠B=30°，△ABC绕点A逆时针旋转α(0<α<120°)得到，与BC，AC分别交于点D，E，设，的面积为，则与的函数图象大致为(

)A． B． C． D．1．主要题型：（1）求相应的一次函数表达式；（2）结合一次函数图象求相关量、求实际问题的最值等．2．用一次函数解决实际问题的一般步骤为：（1）设定实际问题中的自变量与因变量；（2）通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式；（3）确定自变量的取值范围；（4）利用函数性质解决问题；（5）检验所求解是否符合实际意义；（6）答．3．方案最值问题：对于求方案问题，通常涉及两个相关量，解题方法为根据题中所要满足的关系式，通过列不等式，求解出某一个事物的取值范围，再根据另一个事物所要满足的条件，即可确定出有多少种方案．4．方法技巧求最值的本质为求最优方案，解法有两种：（1）可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；（2）直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较．1．（2022·江苏苏州·模拟预测）某超市经销A，两种商品，A种商品每件进价元，售价元；种商品每件进价元，售价元．该超市准备将元全部用于购进A，两种商品若干件，其中种商品不少于件．怎样购进才能使超市经销这两种商品所获利润最大？2．（2022·江苏无锡·校考模拟预测）我校为更好地开展体育活动，需要购买单价为30元的排球和单价为80元的篮球共100个．(1)设购买排球数为x（个），购买两种球的总费用为y（元），请你写出y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；(2)如果购买两种球的总费用不超过6500元，并且篮球数不少于排球数的2倍，那么有几种购买方案？请写出购买方案．(3)从节约开支的角度来看，在（2）的购买方案中，你认为怎样购买最合算？最少的费用是多少元？3．（2022·江苏连云港·校考三模）为弘扬雷锋精神，重温革命先烈的艰苦奋斗历史，某校组织九年级全体师生前往雷锋纪念馆参观，需要租用甲、乙两种客车共辆（每种车至少租一辆）．已知甲、乙两种客车的租金分别为元辆和元辆，设租用乙种客车辆，租车费用为元．(1)求与之间的函数关系式；(2)若租用乙种客车的数量少于甲种客车的数量，租用乙种客车多少辆时，租车费用最少？最少费用是多少元？4．（2022·江苏淮安·统考一模）小华早起锻炼，往返于家与体育场之间，离家的距离y（米）与时间x（分）的关系如图所示．回答下列问题：(1)小华家与体育场的距离是___________米，小华在体育场休息___________分钟；(2)小华从体育场返回家的速度是___________米/分；(3)小明与小华同时出发，匀速步行前往体育场，假设小明离小华家的距离y（米）与时间x（分）的关系可以用来表示，而且当小华返回到家时，小明刚好到达体育场．求k的值并在图中画出此函数的图象（用黑水笔描清楚）．5．（2022·江苏盐城·统考三模）甲、乙两人在笔直的道路上相向而行．甲骑自行车从地到地，乙驾车从地到地；假设他们分别以不同的速度匀速行驶，甲先出发6分钟后，乙才出发，乙的速度为千米分．在整个过程中，甲、乙两人之间的距离（千米）与甲出发的时间（分）之间的部分函数图像如图．(1)、两地相距千米，甲的速度为千米分；(2)求线段所表示的与之间的函数表达式；(3)当乙到达终点时，甲还需多少分钟到达终点？一、单选题1．（2021·江苏宿迁·一模）快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶．图中折线表示快、慢两车之间的路程y（km）与它们的行驶时间x（h）之间的函数关系．小欣同学结合图象得出如下结论：①快车途中停留了1.6h；②快车速度比慢车速度多20km/h；③图中a＝340．其中正确的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③2．（2022·江苏徐州·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，点在y轴上，连接AB、BC．若，则m的值为（

）A．4 B． C．5 D．3．规定：是一次函数的“特征数”．若“特征数”是的一次函数是正比例函数，则点所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．（2022·江苏苏州·统考一模）已知函数的图像经过点，则关于的不等式的解集为（

）A． B． C． D．5．已知点P（a，b）在一次函数y＝﹣3x﹣4的图象上，且2a﹣5b≤0，则下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．6．（2022·江苏扬州·统考一模）某长途汽车客运公司规定旅客可免费携带一定质量的行李，当行李的质量超过规定时，需付的行李费y（元）是行李质量x（kg）的一次函数，其图像如图所示．则旅客最多可免费携带行李的质量（

）A．5kg B．10kg C．15kg D．20kg二、填空题7．（2019·江苏无锡·校联考中考模拟）一次函数与的图像如图，则的解集是___________．8．设，分别是函数C1、C2图像上的点，使得恒成立x的范围是，称函数C1、C2的“逼近区间”是，那么函数、的“逼近区间”是______．9．（2020秋·江苏无锡·九年级统考期中）如图，平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点P与点O关于直线AB对称，则点P的坐标为_____．10．一元二次方程有两个相等的实数根，点、是一次函数上的两个点，若，则______（填“＜”或“＞”或“＝”）．11．已知点、、在同一条直线上，则m的值为____．12．（2022·江苏苏州·统考二模）如图，一次函数的图像与轴、轴分别交于点、，把直线绕点顺时针旋转30°交轴于点，则线段长为______．13．（2022·江苏徐州·模拟预测）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，把直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C，则线段AC长为______________．14．定义：一次函数的特征数是．若一次函数的图象向下平移3个单位长度后与反比例函数的图象的其中一个交点A的坐标为，则一次函数的特征数是______三、解答题15．（2022秋·江苏淮安·九年级校考期末）小丽老师家有一片80棵桃树的桃园，现准备多种一些桃树提高桃园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低，若该桃园每棵桃树产桃y（千克）与增种桃树x（棵）之间的函数关系如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)在投入成本最低的情况下，增种桃树多少棵时，桃园的总产量可以达到6750千克？(3)如果增种的桃树x（棵）满足：，请你帮小丽老师家计算一下，桃园的总产量最少是多少千克16．（2021·江苏南通·统考一模）已知直线l1与x轴，y轴分别交于点A（﹣4，0），B（0，8）．(1)求直线l1的解析式；(2)若直线y＝﹣x与直线l1交于点C，求△AOC的面积．17．2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品，某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件，若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套．(1)设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，求该商品销售量y