3.3-3.4中心对称简单的图案设计（备作业）2021-2022学年八年级数学下册(北师大版)

3.33.4中心对称简单的图案设计一、单选题1．在以下图形中，是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；根据中心对称图形的定义依次判断即可．【解析】解：由图可知A、C、D均不是中心对称图形，B是中心对称图形故选B．【点睛】本题考查了中心对称图形．解题的关键在于正确判断图形的对称性．2．点关于原点对称的点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．【解析】解：点关于原点对称的点的坐标是：．故选：C．【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，解题的关键是正确记忆横纵坐标的关系．3．在以下四个标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【解析】解：第1个是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；第2个既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；第3个是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；第4个是既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，解题的关键是掌握轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．【解析】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：B．【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．5．在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则的值为（

）A．4 B．4 C．2 D．2【答案】C【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反即可得到答案．【解析】解：点与点关于原点对称，，，．故选：C．【点睛】此题主要考查了原点对称点的坐标特点，解题的关键是掌握点的变化规律．6．下列说法正确的是（

）A．能够互相重合的两个图形成轴对称B．图形的平移运动由移动的方向决定C．如果一个旋转对称图形有一个旋转角为120°，那么它不是中心对称图形D．如果一个旋转对称图形有一个旋转角为180°，那么它是中心对称图形【答案】D【分析】根据图形变换的意义和性质作答．【解析】解：A、一个图形沿着某条直线翻折后能够与另一个图形重合，则两个图形关于某条直线成轴对称，错误；B、图形的平移运动由移动的方向和距离决定，错误；C、如果一个旋转对称图形，有一个旋转角为120度，那么它也有可能有一个旋转角为180度，所以它有可能是中心对称图形，错误；D、如果一个旋转对称图形有一个旋转角为180度，那么它一定是中心对称图形，正确；故选D．【点睛】本题考查图形变换的应用，熟练掌握轴对称、平移、中心对称的定义和性质是解答关键．7．在平面直角坐标系xoy中，点P（2x－1，x＋3）关于原点成中心对称的点的坐标在第四象限内，则x的取值范围是（

）A． B． C． D．x＞－3【答案】B【分析】先求出点P关于原点成中心对称的点的坐标，再根据第四象限点的特点列不等式即可解题．【解析】点P（2x－1，x＋3）关于原点成中心对称的点的坐标为（－2x+1，－x－3）∵对称点在第四象限∴解得．故选：B．【点睛】本题考查关于原点对称点的坐标特征，关于原点对称的两个点得横纵坐标都互为相反数．8．下面的四个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】A【解析】试题分析：根据旋转、轴对称的定义来分析．图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动；轴对称是指如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合，就是轴对称．解：图形1可以旋转90°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合；图形2可以旋转180°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合；图形3可以旋转180°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合；图形4可以旋转90°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合．故既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有4个．故选A．点评：考查了旋转和轴对称的性质．①旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心；②轴对称图形的对应线段、对应角相等．9．如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为(2，1)，(6，1)，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线AB交y轴于点P，若ABC与关于点P成中心对称，则点的坐标为（）A．(﹣4，5) B．(﹣5，﹣4) C．(﹣3，﹣4) D．(﹣4，﹣3)【答案】A【分析】先证明△ABC为等腰直角三角形，得到点A坐标，直线AB的解析式，根据ABC与关于点P成中心对称，得到P为的中点，设（m，n），利用中点公式求出m、n．【解析】解：∵点B，C的坐标分别为(2，1)，(6，1)，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴BC∥x轴，△ABC为等腰直角三角形，BC=4，过点A作AD⊥BC与D，交x轴于E，则AD=BD=CD=2，∴OE=4，AE=3，∴A（4,3），设直线BC的解析式为y=kx+b，∴，解得，∴直线AB的解析式为y=x1，当x=0时，y=1，则P（0，1），∵ABC与关于点P成中心对称，∴P为的中点，设（m，n），∴，解得m=4，n=5，∴点的坐标为（4，5），故选：A．【点睛】此题考查等腰直角三角形的判定及性质，求一次函数解析式，中心对称的定义，两点中点的计算公式，熟记各知识点并综合应用解决问题是解题的关键．10．对于坐标平面内的点，先将该点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为点的斜平移，如点P（2，3）经1次斜平移后的点的坐标为（3，5）．已知点A的坐标为（2，0），点Q是直线l上的一点，点A关于点Q的对称点为点B，点B关于直线l的对称点为点C，若点B由点A经n次斜平移后得到，且点C的坐标为（8，6），则△ABC的面积是（）A．12 B．14 C．16 D．18【答案】A【分析】连接CQ，根据中心和轴对称的性质和直角三角形的判定得到∠ACB＝90，延长BC交x轴于点E，过C点作CF⊥AE于点F，根据待定系数法得出直线的解析式进而解答即可．【解析】解：连接CQ，如图：由中心对称可知，AQ＝BQ，由轴对称可知：BQ＝CQ，∴AQ＝CQ＝BQ，∴∠QAC＝∠ACQ，∠QBC＝∠QCB，∵∠QAC+∠ACQ+∠QBC+∠QCB＝180°，∴∠ACQ+∠QCB＝90°，∴∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形，延长BC交x轴于点E，过C点作CF⊥AE于点F，如图，∵A（2，0），C（8，6），∴AF＝CF＝6，∴△ACF是等腰直角三角形，∵，∴∠AEC＝45°，∴E点坐标为（14，0），设直线BE的解析式为y＝kx+b，∵C，E点在直线上，可得：，解得：，∴y＝﹣x+14，∵点B由点A经n次斜平移得到，∴点B（n+2，2n），由2n＝﹣n﹣2+14，解得：n＝4，∴B（6，8），∴△ABC的面积＝S△ABE﹣S△ACE＝×12×8﹣×12×6＝12，故选：A．【点睛】本题考查轴对称的性质，中心对称的性质，等腰三角形的判定与性质，求解一次函数的解析式，得到的坐标是解本题的关键．二、填空题11．如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称,要得到△DEF,需要将△ABC绕点O旋转角是________【答案】180°##180度【分析】如果一个图形绕一点O旋转180°后能够与另一个图形重合，就说这两个图形关于点O中心对称，点O叫做对称中心．根据两个图形成中心对称的定义即可得到结果．【解析】根据两个图形成中心对称的含义知，旋转的角度是180°故答案为：180°【点睛】本题考查了两个图形成中心对称的含义，掌握此含义是关键．12．利用圆弧，可以设计出很多有趣的图案．下图是小宇设计的三幅图案，所有中心对称图形的序号是___________．【答案】①③##③①【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．【解析】解：①是中心对称图形，符合题意；②不是中心对称图形，不符合题意；③是中心对称图形，符合题意；故答案为：①③．【点睛】此题主要考查了中心对称图形，关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．13．若点与点关于原点对称，则＝()．【答案】－1【分析】根据关于原点对称的点的特点，可得，，然后代入计算即可．【解析】解：∵点与点关于原点对称，∴，，则，故答案为：．【点睛】题目主要考查关于原点对称的点的特点，乘方运算等，理解关于原点对称的点的特点是解题关键．14．已知点A（x﹣2，3）与点B（x＋4，y﹣5）关于原点对称，则yx的值是____．【答案】##0.5【分析】直接利用关于原点对称点的性质（两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反）得出x，y的值进而得出答案．【解析】解：∵点A（x﹣2，3）与B（x+4，y﹣5）关于原点对称，∴x﹣2+x+4=0，3+y﹣5=0，解得：x=﹣1，y=2，∴；故答案为：．【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出x，y的值是解题关键．15．下列图形均可由“基本图案”通过变换得到：(只填序号)(1)可以平移但不能旋转的是_________；(2)可以旋转但不能平移的是__________；(3)既可以平移，也可以旋转的是_________．【答案】

①④

②⑤

③【解析】试题分析：①可以看作由左边图案向右平移得到的；②可以看作一个菱形绕一个顶点旋转得到的；③既可以看作一个圆向右平移得到的，也可以看作两个圆组成的图案旋转得到的；④可以看作上面基本图案向下平移得到的；⑤可以看作上面图案绕中心旋转得到的．故可以平移但不能旋转的是①④；可以旋转但不能平移的是②⑤；既可以平移，也可以旋转的是③．故答案为（1）①④，（2）②⑤，（3）③16．如图，直线、垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为__________．【答案】12.【分析】根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答．【解析】解：如图，∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D，OB=4，OD=3，∴AB=3，∴图形①与图形②面积相等，∴阴影部分的面积之和=长方形ABOE的面积=4×3=12．故答案为12．【点睛】本题主要考查了长方形的面积及中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．17．如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC＝1，AB＝2，∠BAC＝90°，则AE的长是_________．【答案】2【分析】根据中心对称的性质AD=DE及∠D=90゜，由勾股定理即可求得AE的长．【解析】∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称，∴△ABC≌△DEC，∴AB＝DE＝2，AC＝DC＝1，∠D＝∠BAC＝90°，∴AD＝2，∵∠D＝90°，∴AE＝，故答案为．【点睛】本题考查了中心对称的性质，勾股定理等知识，关键中心对称性质的应用．18．如图，平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2020A2021B2021的顶点A2021的坐标是___【答案】【分析】首先根据△OA1B1是边长为2的等边三角形，可得A1的坐标为(1，)，B1的坐标为(2，0)；然后根据中心对称的性质，分别求出点A2、A3、A4的坐标各是多少；最后总结出An的坐标的规律，求出A2021的坐标是多少即可．【解析】解：∵△OA1B1是边长为2的等边三角形，∴A1的坐标为(1，)，B1的坐标为(2，0)，∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，∴点A2与点A1关于点B1成中心对称，∵，，∴点A2的坐标是，∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，∴点A3与点A2关于点B2成中心对称，∵，，∴点A3的坐标是，∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称，∴点A4与点A3关于点B3成中心对称，∵，∴点A4的坐标是，……，∴An的横坐标是：2n1，当n为奇数时，An的纵坐标是，当n为偶数时，An的纵坐标是，∴顶点A2021的坐标是，故答案为：．【点睛】此题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特点、坐标与图形的性质、等边三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质和中心对称的性质，通过找规律判断出An的横坐标和纵坐标是解题的关键．三、解答题19．在图中，有两个汉字和两个字母，其中有的是中心对称图形．标出中心对称图形的对称中心．【答案】见解析【分析】根据中心对称图形的定义，找出对称中心即可，中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．【解析】解：“由”字不是中心对称图形，“Z”的对称中心如图，点即为对称中心，0“H”的对称中心如图，点即为对称中心“中”字的对称中心如图，点即为对称中心，【点睛】本题考查了中心对称图形的性质，找对称中心，掌握中心对称的意义是解题的关键．中心对称：平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称．20．如图所示，每个小正方形的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上，点、的坐标分别是、．(1)点关于点中心对称的点的坐标为；(2)绕点顺时针旋转后得到△，在图中画出△，并写出点的坐标：．【答案】(1)(2)图见解析，(1)解：（1）如图，点即为所求作．．故答案为：．(2)（2）如图，△即为所求作，点的坐标．故答案为：．【点睛】本题考查作图旋转变换，中心对称等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．正方形绿化场地拟种植两种不同颜色（用阴影部分和非阴影部分表示）的花卉，要求种植的花卉能组成轴对称或中心对称图案，下面是三种不同设计方案中的一部分．(1)请把图①、图②补成既是轴对称图形，又是中心对称图形，并画出一条对称轴；(2)把图③补成只是中心对称图形，并把中心标上字母P．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据轴对称图形，中心对称图形的性质画出图形即可．（2）根据中心对称图形的定义画出图形即可．(1)解：图形如图①②所示．(2)解：图形如图③所示，点P即为所求作．【点睛】本题考查利用旋转变换设计图案，正方形的性质，轴对称图形，中心对称图形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．22．如图是在北京举办的世界数学家大会的会标“弦图”．请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在以下方格纸中设计另外两个不同的图案．画图要求：①每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形互不重叠；②所设计的图案（不含方格纸）必须是中心对称图形或轴对称图形．【答案】见解析【分析】【解析】解析：运用基本图形，按照轴对称和中心对称的特点以及画图规律直接绘制图形即可．答案：解：如下图所示，答案不唯一．

易错：容易把三角形画成重叠的．错因：没有看清题目要求．满分备考：由“基本图形”经过旋转、轴对称、平移等可以得到美丽而丰富的图案，而图案涉及的关键是确定基本图形，制定图形变换的具体操作程序．注意应用几种常见的图形变换．23．如图，在6×6的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，A，B两点均在格点上．请按要求在图①，图②，图③中画图：（1）在图①中，画等腰△ABC，使AB为腰，点C在格点上．（2）在图②中，画面积为8的四边形ABCD，使其为中心对称图形，但不是轴对称图形，C，D两点均在格点上．（3）在图③中，画△ABC，使∠ACB=90°，面积为5，点C在格点上．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）因为AB=5，作腰为5的等腰三角形即可（答案不唯一）；（2）作边长为2，高为4的平行四边形即可；（3）根据（1）的结论，作BG边的中线，即可得解．【解析】解：（1）如图①中，△ABC即为所求作（答案不唯一）；（2）如图②中，平行四边形ABCD即为所求作；（3）如图③中，△ABC即为所求作（答案不唯一）；∵AB=AG，BC=CG，∴AC⊥BG，∵△ABG的面积为，∴△ABC的面积为5，且∠ACB=90°．【点睛】本题考查作图应用与设计，等腰三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．24．如图，已知△ABC中，BD是中线．(1)尺规作图：作出以D为对称中心，与△BCD成中心对称的△EAD．(2)猜想AB+BC与2BD的大小关系，并说明理由．【答案】(1)见详解；(2)AB+BC＞2BD．证明见详解．【分析】（1）延长BD，在BD延长线上截取DE=BD，连结AE，则△ADE与△CDB关于点D成中心对称，根据点D为AC中点，得出AD=CD，再证△ADE≌△CDB（SAS），根据∠CDB+∠ADB=180°，得出△BCD绕点D旋转180°得到△EAD，（2）根据△ADE≌△CDB（SAS），得出AE=BC，BD=ED，得出BE=2BD，在△ABE中，AB+AE＞BE即可．(1)解：延长BD，在BD延长线上截取DE=BD，连结AE，则△ADE与△CDB关于点D成中心对称，∵点D为AC中点，∴AD=CD，在△ADE和△CDB中，

，∴△ADE≌△CDB（SAS），∵∠CDB+∠ADB=180°，∴△BCD绕点D旋转180°得到△EAD，(2)AB+BC＞2BD．证明：∵△ADE≌△CDB（SAS），∴AE=BC，BD=ED，∴BE=2BD，

在△ABE中，AB+AE＞BE，即AB+BC＞2BD．【点睛】本题考查尺规作图，三角形全等判定与性质，中心对称的定义，三角形三边关系，掌握