广东第二师范学院番禺附中2025届高二数学第一学期期末教学质量检测模拟试题含解析

广东第二师范学院番禺附中2025届高二数学第一学期期末教学质量检测模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．过坐标原点作直线的垂线，垂足为，则的取值范围是（）A. B.C. D.2．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是6”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则下列判断正确的是（）A.甲与丙是互斥事件 B.乙与丙是对立事件C.甲与丁是对立事件 D.丙与丁是互斥事件3．已知四面体，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则（）A.1 B.2C.-1 D.-24．已知抛物线，过点与抛物线C有且只有一个交点的直线有（）条A.0 B.1C.2 D.35．定义焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线为一对相关曲线.已知，是一对相关曲线的焦点，Р是这对相关曲线在第一象限的交点，则点Р与以为直径的圆的位置关系是（）A.在圆外 B.在圆上C.在圆内 D.不确定6．若x，y满足约束条件,则的最大值为（）A.2 B.3C.4 D.57．下列命题正确的是（）A.经过三点确定一个平面B.经过一条直线和一个点确定一个平面C.四边形确定一个平面D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面8．已知集合，则（）A. B.C. D.9．数列1，6，15，28，45，…中的每一项都可用如图所示的六边形表示出米，故称它们为六边形数，那么第11个六边形数为（）A.153 B.190C.231 D.27610．已知椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则（）A. B.C. D.11．已知直线l经过，两点，则直线l的倾斜角是（）A.30° B.60°C.120° D.150°12．已知等比数列满足，则q＝（）A.1 B.－1C.3 D.－3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知数列满足：，且，记，若，则___________.（用表示）14．如图，某湖有一半径为的半圆形岸边，现决定在圆心O处设立一个水文监测中心（大小忽略不计），在其正东方向相距的点A处安装一套监测设备．为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C处，再分别安装一套监测设备，且，．定义：四边形及其内部区域为“直接监测覆盖区域”，设．则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为________15．一个高为2的圆柱，底面周长为2，该圆柱的表面积为.16．2021年7月24日，在东京奥运会女子10米气步枪决赛中，中国选手杨倩以251.8环的总成绩夺得金牌，为中国代表团摘得本届奥运会首金．已知杨倩其中5次射击命中的环数如下：10.8，10.6，10.6，10.7，9.8，则这组数据的方差为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数（）（1）讨论函数的单调区间；（2）若有两个极值点，（），且不等式恒成立，求实数m的取值范围18．（12分）已知函数，.（1）若在单调递增，求的取值范围；（2）若，求证：.19．（12分）已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）求在的最大值.20．（12分）已知，，其中.（1）求的值；（2）设（其中、为正整数），求的值.21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），直线l与x轴交于点P．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值22．（10分）已知抛物线经过点.（Ⅰ）求抛物线C的方程及其焦点坐标；（Ⅱ）过抛物线C上一动点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，求四边形面积的最小值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】求出直线直线过的定点A，由题意可知垂足是落在以OA为直径的圆上，由此可利用的几何意义求得答案,【详解】直线，即，令，解得，即直线过定点,由过坐标原点作直线的垂线，垂足为，可知：落在以OA为直径的圆上，而以OA为直径的圆为，如图示：故可看作是圆上的点到原点距离的平方，而圆过原点，圆上点到原点的最远距离为，但将原点坐标代入直线中，不成立，即直线l不过原点，所以不可能和原点重合，故，故选：D2、D【解析】根据互斥事件和对立事件的定义判断【详解】当第一次取出1，第二次取出4时，甲丙同时发生，不互斥不对立；第二次取出的球的数字是6与两次取出的球的数字之和是5不可能同时发生，但可以同时不发生，不对立，当第一次取出1，第二次取出3时，甲与丁同时发生，不互斥不对立，两次取出的球的数字之和是5与两次取出的球的数字之和是偶数不可以同时发生，但可以同时不发生，因此是互斥不对立故选：D3、D【解析】在四面体中，取定一组基底向量，表示出，，再借助空间向量数量积计算作答.【详解】四面体所有棱长均为2，则向量不共面，两两夹角都为，则，因点E，F分别为棱AB，CD的中点，则，，，所以.故选：D4、D【解析】设出过点与抛物线C只有一个公共点且斜率存在的直线方程，再与的方程联立借助判别式计算、判断作答.【详解】抛物线的对称轴为y轴，直线过点P且与y轴平行，它与抛物线C只有一个公共点，设过点与抛物线C只有一个公共点且斜率存在的直线方程为：，由消去y并整理得：，则，解得或，因此，过点与抛物线C相切的直线有两条，相交且只有一个公共点的直线有一条，所以过点与抛物线C有且只有一个交点的直线有3条.故选：D5、A【解析】设椭圆的长轴长为，椭圆的焦距为，双曲线的实轴长为，根据题意可得，设，根据椭圆与双曲线的定义将分别用表示，设，再根据两点的距离公式将点的坐标用表示，从而可判断出点与圆的位置关系.【详解】解：设椭圆的长轴长为，椭圆的焦距为，双曲线的实轴长为，设椭圆和双曲线的离心率分别为，则，所以，以为直径的圆的方程为，设，则有，所以，设，，所以①，②，则①②得，所以，所以，将代入②得，所以，，则点到圆心的距离为，所以点Р在以为直径的圆外.故选：A.6、C【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义即可求解【详解】作出可行域如图所示，把目标函数转化为，平移，经过点时，纵截距最大，所以的最大值为4.故选：C7、D【解析】由平面的基本性质结合公理即可判断.【详解】对于A，过不在一条直线上三点才能确定一个平面，故A不正确；对于B，经过一条直线和直线外一个点确定一个平面，故B不正确；对于C，空间四边形不能确定一个平面，故C不正确；对于D，两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，故D正确.故选：D8、D【解析】由集合的关系及交集运算，逐项判断即可得解.【详解】因为集合，，所以，，.故选：D.【点睛】本题考查了集合关系的判断及集合的交集运算，考查了运算求解能力，属于基础题.9、C【解析】细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时联系相关知识,如等差数列、等比数列等，结合图形即可求解.【详解】由题意知，数列的各项为1，6，15，28，45，...所以，，，，，，所以.故选：C10、D【解析】根据给定的方程求出离心率，的表达式，再计算判断作答.【详解】因椭圆的离心率为，则有，因双曲线的离心率为，则有，所以.故选：D11、C【解析】设直线l的倾斜角为，由题意可得直线l的斜率，即，∵，∴直线l的倾斜角为，故选：.12、C【解析】根据已知条件，利用等比数列的基本量列出方程，即可求得结果.【详解】因为，故可得；解得.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由可得，结合已知条件，利用裂项相消求和法即可得答案.【详解】解：因为，所以，即，所以，因为，所以，又，所以.故答案为：.14、【解析】由题意，根据余弦定理得的值，则四边形的面积表示为，再代入面积公式化简为三角函数，根据三角函数的性质求解最大值即可.【详解】在中，，，，，，则（其中），当时，取最大值，所以“直接监测覆盖区域”面积的最大值.故答案为：.【点睛】解答本题的关键是将四边形的面积表示为，代入面积公式后化简得三角函数的解析式，再根据三角函数的性质求解最大值.15、6【解析】2r=2，r=1，S表=2rh+2r2=4+2=6.16、128【解析】先求均值，再由方差公式计算【详解】由已知，所以，故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）时，在递增，时，在递减，在递增（2）【解析】（1）求出函数导数，分和两种情况讨论可得单调性；（2）根据导数可得有两个极值点等价于有两不等实根，则可得出，进而得出，可得恒成立，等价于，构造函数求出最小值即可.【小问1详解】的定义域是，，①时，，则，在递增；②时，令，解得，令，解得，故在递减，在递增．综上，时，在递增时，在递减，在递增【小问2详解】，定义域是，有2个极值点，，即，则有2个不相等实数根，，∴，，解得，且，，从而，由不等式恒成立，得恒成立，令，当时，恒成立，故函数在上单调递减，∴，故实数m的取值范围是【点睛】关键点睛：本题考查利用导数解决不等式的恒成立问题，解题的关键是将有两个极值点等价于有两不等实根，以此求出，再将不等式恒成立转化为求的最小值.18、（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）由函数在上单调递增，则在上恒成立，由求解.（2）由（1）的结论，取，有，即在上恒成立，然后令，有求解.【详解】（1）因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，则有在上恒成立，即.令函数，，所以时，，在上单调递增，所以，所以有，即，因此.（2）由（1）可知当时，为增函数，不妨取，则有在上单调递增，所以，即有在上恒成立，令，则有，所以，所以，因此.【点睛】方法点睛：(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到19、（1）（2）【解析】（1）利用两角和的余弦公式以及辅助角公式可得，再由正弦函数单调区间，整体代入即可求解.（2）根据三角函数的单调性即可求解.【小问1详解】，，解得，所以函数的单调递增区间为【小问2详解】由（1），解得函数的单调递减区间为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，，，所以函数的最大值为.20、（1）；（2）.【解析】（1），，写出的展开式通项，由可得出关于的方程，解出的值，再利用赋值法可求得所求代数式的值；（2）写出的展开式，求出、的值，即可求得的值.【小问1详解】解：设，，的展开式通项为，所以，，即，，解得，所以，.【小问2详解】解：，，，因此，21、（1）直线l的普通方程，曲线C的直角坐标方程（2）【解析】（1）直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果【小问1详解】解：直线的参数方程为为参数），转换为直角坐标方程，曲线的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为；小问2详解】直线转换为参数方程为为参数），代入，得到，所以，，所以22、（1），；（2）.【解析】（1）将点代入抛物线方程求解出的值，则抛物线方程和焦点坐标可知；（2）