广东省普宁华侨中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷

普宁华侨中学2024-2025学年度高二第一学期第一次月考数学试卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x≤0}，B＝{y|y＝2x}，则A∩(∁UB)＝()A．(0，3]B．{0}C．(－∞，0] D．[－3，1]2．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且α∩β＝m，则“m⊥n”是“n⊥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3.若复数z满足z(1＋i)＝|eq\r(3)－i|，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限 D．第四象限4.已知α为锐角，且cos(α＋eq\f(π,4))＝－eq\f(1,2)，则cos(α＋eq\f(3π,4))＝()A．－eq\f(1,2)B．eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(3),2)5.已知平面向量a，b满足|a|＝4，b＝(1，2eq\r(2))，且(a＋2b)⊥(3a－b)．则向量a与向量b的夹角是()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3) D.eq\f(5π,6)6.如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（

）A．B．C． D．7.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)．则当x<0时，f(x)的解析式为()A．f(x)＝x(1＋x)B．f(x)＝x(x－1)C．f(x)＝－x(1＋x) D．f(x)＝x(1－x)8.如图，四棱锥S­ABCD中，SD⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，SD＝CD，AB＝AD，CD＝2AD，M是BC中点，N是线段SA上的点，设MN与平面SAD所成角为α，则sinα的最大值为()A．eq\f(3\r(5),7)B．eq\f(3\r(3),7)C．eq\f(2\r(5),7)D．eq\f(2\r(3),7)二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设正实数a，b满足a＋b＝1，则()A．eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)有最小值4B．eq\f(ab,a＋b)有最大值eq\f(1,2)C．eq\r(a)＋eq\r(b)有最大值eq\r(2) D．a2＋b2有最小值eq\f(1,2)10．下列说法正确的是()A．1、2、3、4、5、6、7、8、9、10的第60百分位数是6B．已知一组数据2、3、5、x、8的平均数为5，则这组数据的方差是5.2C．用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大D．若x1、x2、…、x10的标准差为2，则3x1＋1、3x2＋1、…、3x10＋1的标准差是611．如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（

）A．三棱锥的体积是定值B．存在点P，使得与所成的角为C．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为D．若，则P的轨迹的长度为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．在空间直角坐标系中，点为平面外一点，其中、，若平面的一个法向量为，则点到平面的距离为．13.已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为________．14.在棱长为的正方体中，是正方体外接球的直径，点是正方体表面上的一点，则的取值范围是．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知点，，，设，，．(1)若实数使与垂直，求值．(2)求在上的投影向量．16．（15分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求B的大小；（2）若，求△ABC的面积．17（15分）某机械零件工厂为了检验产品的质量，质检部门随机在生产线上抽取了100个零件并称出它们的重量(单位：克)．重量按照[495，505)，[505，515)，…，[535，545]分组，得到频率分布直方图如图所示．(1)估计该工厂生产的零件重量的平均数；(每组数据用该组的中点值作代表)(2)估计该工厂生产的零件重量的80%分位数；(3)按各组零件数量比例用分层随机抽样方法从样本里重量不低于525克的零件中抽取6个零件，再从这6个零件中任取2个，求这2个零件的重量均在[525，535)内的概率．（17分）如图，在直三棱柱中，，E为的中点，．(1)证明：．(2)求二面角的余弦值．19．（17分）如图，棱长为2的正方体中，E、F分别是棱AB，AD的中点，G为棱上的动点．(1)是否存在一点G，使得面？若存在，指出点G位置，并证明你的结论，若不存在，说明理由；(2)若直线EG与平面所成的角为，求三棱锥的体积；(3)求三棱锥的外接球半径的最小值．普宁市华侨中学2024—2025学年度第一学期高二级第一次月考数学科试题参考答案1-8BBACCBDA9.ACD10.BD11.ACD12.13.39π14.15．【解析】（1）依题意，，…3分，…5分由与垂直，得，解得，所以.…………7分(2)由（1）知，，，…10分所以在上的投影向量为.……………13分16．解：（1）因为，由正弦定理可得，…2分又，…4分所以，…5分因为，则，所以，…6分因为，所以.…7分(2)因为，，由余弦定理可得，…9分整理得，…11分又，解得，…13分所以.…15分17[解](1)由题意得：(0.005＋0.015＋0.02＋0.035＋t)×10＝1，解得t＝0.025.…………2分则各个小组的频率分别为0.15，0.2,0.35,0.25,0.05.…3分估计该工厂生产的零件重量的平均数约为500×0.15＋510×0.2＋520×0.35＋530×0.25＋540×0.05＝518.5.…5分(2)设80%分位数为x，∵前三组频率和为0.7，前四组频率和为0.95，∴x∈[525，535)，………6分∴0.7＋eq(\a\vs4\al\co1(x－525))×0.025＝0.8，…8分解得x＝529，该工厂生产的零件重量的80%分位数为529.……………9分(3)由条件知：6个零件中，重量在[525，535)内的零件个数为5，分别记为A，B，C，D，E；重量在[535，545]内的零件个数为1，记为f.…10分从中随机抽取2个，样本空间为Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，eq(\a\vs4\al\co1(A，E))，eq(\a\vs4\al\co1(A，f))，eq(\a\vs4\al\co1(B，C))，eq(\a\vs4\al\co1(B，D))，eq(\a\vs4\al\co1(B，E))，eq(\a\vs4\al\co1(B，f))，eq(\a\vs4\al\co1(C，D))，eq(\a\vs4\al\co1(C，E))，eq(\a\vs4\al\co1(C，f))，eq(\a\vs4\al\co1(D，E))，eq(\a\vs4\al\co1(D，f))，eq(\a\vs4\al\co1(E，f))}，∴neq(\a\vs4\al\co1(Ω))＝15.……12分设“这2个零件的重量均在[525，535)内”为事件M，则M＝{(A，B)，eq(\a\vs4\al\co1(A，C))，eq(\a\vs4\al\co1(A，D))，eq(\a\vs4\al\co1(A，E))，eq(\a\vs4\al\co1(B，C))，eq(\a\vs4\al\co1(B，D))，eq(\a\vs4\al\co1(B，E))，eq(\a\vs4\al\co1(C，D))，eq(\a\vs4\al\co1(C，E))，eq(\a\vs4\al\co1(D，E))}，∴neq(\a\vs4\al\co1(M))＝10，…13分∴Peq(\a\vs4\al\co1(M))＝eq\f(n(\a\vs4\al\co1(M)),n(\a\vs4\al\co1(Ω)))＝eq\f(10,15)＝eq\f(2,3).…15分18.证明：（1）在直三棱柱中，平面,平面,所以，………………2分又由题可知，，…3分因为,平面且,所以平面,…6分又因为平面,所以.…7分（2）以为坐标原点，分别为轴建系如图，…8分由，，可得，…9分则有…10分设平面的一个方向量为,所以即令则，所以…13分因为平面,所以为平面的一个法向量，…………14分所以,,…16分即二面角的余弦值等于.…17分19．【解析】（1）存在一点G，当点G为的中点，使得面，…………1分连接，如图所示：∵点分别是的中点，，…2分又，且，∴四边形是平行四边形，………………3分，，…4分又∵平面，且平面EFG，∴平面．…5分（2）取的中点，连接，，由题意可知，平面，且，是直线与平面所成的角，即，…6分在中，，…7分∴在中，，…8分又，…9分．…10分（3）以点为坐