2024-2025学年高中数学第二章空间向量与立体几何6距离的计算课时跟踪训练含解析北师大版选修2-1

PAGE其次章空间向量与立体几何[A组基础巩固]1．已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2,1)，点A(－1，3,0)在α内，则平面α外一点P(－2,1,4)到α的距离为()A．10 B．3C.eq\f(8,3) D.eq\f(10,3)解析：eq\o(PA,\s\up6(→))＝(1,2，－4)，又平面α的一个法向量为n＝(－2，－2，1)，所以P到α的距离为|eq\f(1，2，－4·－2，－2，1,\r(4＋4＋1))|＝|eq\f(－2－4－4,3)|＝eq\f(10,3).答案：D2．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，动点P，Q分别在线段C1D，AC上，则线段PQ长度的最小值是A.eq\f(\r(2),3) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(\r(5),3)解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，C1(0,1,2)．设点P的坐标为(0，λ，2λ)，λ∈[0,1]，点Q的坐标为(1－μ，μ，0)，μ∈[0,1]，PQ＝eq\r(1－μ2＋μ－λ2＋4λ2)＝eq\r(2μ2＋5λ2－2λμ－2μ＋1)＝eq\r(5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ－\f(1,5)μ))2＋\f(9,5)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(μ－\f(5,9)))2＋\f(4,9))，当且仅当λ＝eq\f(1,9)，μ＝eq\f(5,9)时，线段PQ的长度取得最小值eq\f(2,3).答案：C3．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为A.eq\r(2)a B.eq\r(3)aC.eq\f(\r(2),3)a D.eq\f(\r(3),3)a解析：A1C⊥平面AB1D1，以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则平面AB1D1的一个法向量为n＝(1，－1,1)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，eq\o(BA,\s\up6(→))＝(0，－a,0)，则两平面间的距离为d＝|eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\f(n,|n|)|＝eq\f(a,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)a.答案：D4.如图，P­ABCD是正四棱锥，ABCD­A1B1C1D1是正方体，其中AB＝2，PA＝eq\r(6)，则B1到平面PAD的距离为()A．6 B.eq\f(3\r(5),5)C.eq\f(6\r(5),5) D.eq\f(3\r(2),2)解析：以A1B1为x轴，A1D1为y轴，A1A为z轴建立空间直角坐标系，设平面PAD的法向量是n＝(x，y，z)，由题意知，B1(2,0,0)，A(0,0,2)，D(0,2,2)，P(1，1,4).eq\o(AD,\s\up6(→))＝(0,2,0)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(1,1,2)，∴eq\o(AD,\s\up6(→))·n＝0，且eq\o(AP,\s\up6(→))·n＝0.∴y＝0，x＋y＋2z＝0，取z＝1，得n＝(－2,0,1)．∵eq\o(B1A,\s\up6(→))＝(－2,0,2)，∴B1到平面PAD的距离d＝eq\f(|\o(B1A,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(6\r(5),5).答案：C5．如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝5，AB＝12，则直线B1C1到平面A1BCDA．5 B．8C.eq\f(60,13) D.eq\f(13,2)解析：解法一：∵B1C1∥BC，∴B1C1∥平面A1BCD1.从而点B1到平面A1BCD1的距离即为所求．如图，过点B1作B1E⊥A1B于点E.∵BC⊥平面A1ABB1，且B1E⊂平面A1ABB1，∴BC⊥B1E.又BC∩A1B＝B，∴B1E⊥平面A1BCD1，B1E的长即为点B1到平面A1BCD1的距离．在Rt△A1B1B中，B1E＝eq\f(A1B1·B1B,A1B)＝eq\f(12×5,\r(52＋122))＝eq\f(60,13)，∴直线B1C1到平面A1BCD1的距离为eq\f(60,13).解法二：以D为坐标原点，eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,12,0)，D1(0,0,5)．设B(x,12,0)，B1(x,12,5)(x≠0)．设平面A1BCD1的法向量为n＝(a，b，c)，由n⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，n⊥eq\o(CD1,\s\up6(→))，得n·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(a，b，c)·(－x,0,0)＝－ax＝0，n·eq\o(CD1,\s\up6(→))＝(a，b，c)·(0，－12,5)＝－12b＋5c＝0，∴a＝0，b＝eq\f(5,12)c，∴可取n＝(0,5,12)．又eq\o(B1B,\s\up6(→))＝(0,0，－5)，∴点B1到平面A1BCD1的距离为eq\f(|\o(B1B,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(60,13).∵B1C1∥平面A1BCD1，∴B1C1到平面A1BCD1的距离为eq\f(60,13).答案：C6．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，则点D1到直线GF的距离为__________解析：如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0,0,2)，F(1,1,0)，G(0,2,1)，于是有eq\o(GF,\s\up6(→))＝(1，－1，－1)，eq\o(GD1,\s\up6(→))＝(0，－2,1)，所以eq\f(\o(GF,\s\up6(→))·\o(GD1,\s\up6(→)),|\o(GF,\s\up6(→))|)＝eq\f(2－1,\r(3))＝eq\f(1,\r(3))，|eq\o(GD1,\s\up6(→))|＝eq\r(5)，所以点D1到直线GF的距离为eq\r(5－\f(1,3))＝eq\f(\r(42),3).答案：eq\f(\r(42),3)7．已知棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M、N分别是线段BB1，B1C1的中点，则直线MN到平面ACD1解析：如图，以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．则平面ACD1的一个法向量为(1,1,1)，∵M(1,1，eq\f(1,2))，A(1,0,0)，∴eq\o(AM,\s\up6(→))＝(0,1，eq\f(1,2))，∴点M到平面ACD1的距离为d＝eq\f(|0，1，\f(1,2)·1，1，1|,\r(3))＝eq\f(\r(3),2).又eq\o(MN,\s\up6(→))綊eq\f(1,2)eq\o(AD1,\s\up6(→))，MN⃘平面ACD1.故MN∥平面ACD1，故MN到平面ACD1的距离也为d＝eq\f(\r(3),2).答案：eq\f(\r(3),2)8．在正三棱柱ABC­A1B1C1中，若AB＝2，AA1＝1，则点A到平面A1BC的距离为________解析：建立如图所示的空间直角坐标系．A(0,0,0)，B(eq\r(3)，1,0)，C(0,2,0)，A1(0,0,1)，∴eq\o(A1B,\s\up6(→))＝(eq\r(3)，1，－1)，eq\o(A1C,\s\up6(→))＝(0,2，－1)．设平面A1BC的法向量n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(A1B,\s\up6(→))＝0，,n·\o(A1C,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(3),3)y，,z＝2y，))令y＝3，则n＝(eq\r(3)，3,6)，n0＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(\r(3),4)，\f(\r(3),2))).又eq\o(AA1,\s\up6(→))＝(0,0,1)，∴d＝|eq\o(AA1,\s\up6(→))·n0|＝eq\f(\r(3),2).答案：eq\f(\r(3),2)9．已知单位正方体ABCD­A1B1C1D1，求点A到平面BDC1的距离解析：以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，由题设可知B(1,1,0)，C1(0,1,1)．设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(DB,\s\up6(→))＝0,n·\o(DC1,\s\up6(→))＝0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0,y＋z＝0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－y，,z＝－y.))令y＝－1，则平面BDC1的法向量为n＝(1，－1,1)．取平面BDC1内的点D(0,0,0)，则eq\o(DA,\s\up6(→))＝(1,0,0)，∴点A到平面BDC1的距离为d＝|eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\f(n,|n|)|＝eq\f(\r(3),3).10.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，求平面AMN与平面EFBD解析：如图所示，建立空间直角坐标系D－xyz，则A(4,0,0)，M(2,0,4)，B(4,4,0)，E(0,2,4)，F(2,4,4)，N(4,2,4)，从而eq\o(EF,\s\up6(→))＝(2,2,0)，eq\o(MN,\s\up6(→))＝(2,2,0)，eq\o(AM,\s\up6(→))＝(－2,0,4)，eq\o(BF,\s\up6(→))＝(－2,0,4)．∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→))，∴EF∥MN，AM∥BF.又EF∩BF＝F，MN∩AM＝M，∴平面AMN∥平面EFBD.设n＝(x，y，z)是平面AMN的法向量，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(MN,\s\up6(→))＝2x＋2y＝0,n·\o(AM,\s\up6(→))＝－2x＋4z＝0))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2z,y＝－2z))，取z＝1，得n＝(2，－2,1)为平面AMN的一个法向量．∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0,4,0)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))在n上的投影为eq\f(n·\o(AB,\s\up6(→)),|n|)＝eq\f(－8,\r(4＋4＋1))＝－eq\f(8,3)，平面AMN与平面EFBD间的距离记为d，∴d＝eq\f(|n·\o(AB,\s\up6(→))|,|n|)＝eq\f(8,3).[B组实力提升]1．已知ABC­A1B1C1是各条棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点，则点C到平面AB1D的距离为A.eq\f(\r(2),4)a B.eq\f(\r(2),8)aC.eq\f(3\r(2),4)a D.eq\f(\r(2),2)a解析：连接A1B交AB1于点E，连接ED，A1D，DB，易证A1B⊥AB1，A1B⊥ED.∴A1B⊥平面AB1D，∴eq\o(A1B,\s\up6(→))是平面AB1D的一个法向量．∴点C到平面AB1D的距离为d＝eq\f(|\o(AC,\s\up6(→))·\o(A1B,\s\up6(→))|,|\o(A1B,\s\up6(→))|)＝eq\f(|\o(AC,\s\up6(→))·\o(A1A,\s\up6(→))＋\o(AB,\s\up6(→))|,\r(2)a)＝eq\f(|\o(AC,\s\up6(→))·\o(A1A,\s\up6(→))＋\o(AC,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))|,\r(2)a)＝eq\f(|0＋a×a×cos60°|,\r(2)a)＝eq\f(\r(2),4)a.答案：A2．在空间直角坐标系中，定义平面α的一般方程为：Ax＋By＋Cz＋D＝0(A，B，C，D∈R，且A，B，C不同时为零)，点P(x0，y0，z0)到平面α的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋Cz0＋D|,\r(A2＋B2＋C2))，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O到侧面的距离等于()A.eq\f(\r(5),5) B.eq\f(2\r(5),5)C．2 D．5解析：作出正四棱锥P－A′B′C′D′，如图，以底面中心O为坐标原点，建立空间直角坐标系O－xyz，则A′(1,1,0)，B′(－1,1,0)，P(0,0,2)，设平面PA′B′的方程为Ax＋By＋Cz＋D＝0，将以上3个坐标代入计算得A＝0，B＝－D，C＝－eq\f(1,2)D，所以平面PA′B′的方程为－Dy－eq\f(1,2)Dz＋D＝0，即2y＋z－2＝0，所以点O到侧面的距离d＝eq\f(|2×0＋0－2|,\r(22＋12))＝eq\f(2\r(5),5).答案：B3．如图，P是正方形ABCD所在平面外一点，且PD⊥AD，PD⊥DC，PD＝3，AD＝2，若M是AB的中点，则点M到平面PAC的距离为________．解析：如图建系，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2，2,0)，C(0,2,0)，P(0,0,3)，则M(2,1,0)，设n＝(x，y，z)为平面PAC的一个法向量，eq\o(PA,\s\up6(→))＝(2,0，－3)，eq\o(PC,\s\up6(→))＝(0,2，－3)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(PA,\s\up6(→))＝0，,n·\o(PC,\s\up6(→))＝0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3z＝0，,2y－3z＝0))⇒x＝y＝eq\f(3z,2)，取z＝2，则x＝y＝3，n＝(3,3,2)，eq\o(MA,\s\up6(→))＝(0，－1,0)，d＝eq\f(|n·\o(MA,\s\up6(→))|,|n|)＝eq\f(3,\r(22))＝eq\f(3\r(22),22)，所以点M到平面PAC的距离为eq\f(3\r(22),22).答案：eq\f(3\r(22),22)4．如图，四面体A－BCD中，O，E分别为BD，BC的中点，AB＝AD＝2，CA＝CB＝CD＝BD＝2eq\r(2)，AO⊥平面BCD，则点D到平面ABC的距离为__________．解析：以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0，eq\r(2))，B(eq\r(2)，0,0)，C(0，eq\r(6)，0)，D(－eq\r(2)，0,0)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，0，－eq\r(2))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－eq\r(2)，eq\r(6)，0)．设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))·n＝0,\o(BC,\s\up6(→))·n＝0))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(2)x－\r(2)z＝0,－\r(2)x＋\r(6)y＝0))，令y＝1，得n＝(eq\r(3)，1，eq\r(3))，又eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－eq\r(2)，0，－eq\r(2))，∴点D到平面ABC的距离h＝eq\f(|\o(AD,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(|－\r(2)×\r(3)－\r(2)×\r(3)|,\r(3＋1＋3))＝eq\f(2\r(42),7).答案：eq\f(2\r(42),7)5．在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CC1的中点(1)求证：AD∥平面A1EFD1；(2)求AD到平面A1EFD1的距离．解析：(1)证明：如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D­xyz，则A(a,0,0)，A1(a,0，a)，D(0，0,0)，D1(0,0，a)，E(a，a，eq\f(a,2))，F(0，a，eq\f(a,2))．∵eq\o(DA,\s\up6(→))＝(a,0,0)，eq\o(D1A1,\s\up6(→))＝(a,0,0)．∴DA∥D1A1，而D1A1平面A1EFD1，DA平面A1EFD1，∴DA∥平面A1EFD1.(2)由(1)知eq\o(D1F,\s\up6(→))＝(0，a，－eq\f(a,2))，eq\o(DD1,\s\up6(→))＝(0,0，a)．设n＝(x，y，z)是平面A1EFD1的法向量，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(D1F,\s\up6(→))＝ay－\f(a,2)z＝0，,n·\o(D1A1,\s\up6(→))＝ax＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝\f(1,2)z.))取z＝1得n＝(0，eq\f(1,2)，1)，∴eq\o(DD1