2024-2025学年新教材高中数学第七章统计案例1一元线性回归学案北师大版选择性必修第一册

PAGE第七章统计案例§1一元线性回来必备学问·自主学习导思1.什么是散点图？2．如何求线性回来方程？1.散点图每个点对应的一对数据(xi，yi)，称为成对数据．这些点构成的图称为散点图．随意两个统计数据是否均可以画出散点图？提示：可以，不管这两个统计量是否具备相关性，以一个变量值作为横坐标，另一个作为纵坐标，均可画出它的散点图．2．曲线拟合从散点图上可以看出，假如变量之间存在着某种关系，这些点会有一个大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似地描述．这样近似描述的过程称为曲线拟合．若在两个变量X和Y的散点图中，全部点看上去都在一条直线旁边波动，此时就可以用一条直线来近似地描述这两个量之间的关系，称之为直线拟合．3．最小二乘法对于给定的两个变量X和Y，可以把其成对的观测值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)表示为平面直角坐标系中的n个点．现在希望找到一条直线Y＝a＋bX，使得对每一个xi(i＝1，2，…，n)，由这个直线方程计算出来的值a＋bxi与实际观测值yi的差异尽可能小．为此，希望[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2达到最小．换句话说，我们希望a，b的取值能使上式达到最小，这个方法称为最小二乘法．4．一元线性回来方程直线方程Y＝＋X称作Y关于X的线性回来方程，相应的直线称作Y关于X的回来直线，，是这个线性回来方程的系数．＝eq\f(x1y1＋x2y2＋…＋xnyn－n\x\to(x)\x\to(y),xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋…＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))－n\x\to(x)2)＝eq\x\to(y)－eq\x\to(x)其中eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)i，eq\x\to(y)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,y)i.任何一组数据都可以由最小二乘法得出回来方程吗？提示：用最小二乘法求回来方程的前提是先推断所给数据具有线性相关关系(可利用散点图来推断)，否则求出的回来方程是无意义的．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)回来直线方程中，由x的值得出的y值是精确值．()(2)回来直线方程肯定过点(eq\x\to(x)，eq\x\to(y)).()(3)回来直线方程肯定过样本中的某一个点．()(4)选取一组数据中的部分点得到的回来方程与由整组数据得到的回来方程是同一个方程．()提示：(1)×(2)√(3)×(4)×2．已知X，Y的对应值表为：X013456Yy1y2y3y4y5y6且X，Y线性相关，由于表格污损，Y的对应值看不到了，若eq\i\su(i＝1,6,y)i＝19.2，且线性回来直线方程为Y＝0.6X＋，则X＝8时，Y的预报值为()A．6.1B．22.1C．12.6D．3.5【解析】选A.由表格知eq\x\to(x)＝eq\f(19,6)，因为eq\i\su(i＝1,6,y)i＝19.2，所以eq\x\to(y)＝3.2，代入Y＝0.6X＋得3.2＝0.6×eq\f(19,6)＋，所以＝1.3，则回来方程为Y＝0.6X＋1.3，当X＝8时，Y＝0.6×8＋1.3＝6.1.3．期中考试后，某校高三(9)班对全班65名学生的成果进行分析，得到数学成果y对总成果x的回来直线方程为y＝6＋0.4x.由此可以估计：若两个同学的总成果相差50分，则他们的数学成果大约相差________分．【解析】令两人的总成果分别为x1，x2，则对应的数学成果估计为y1＝6＋0.4x1，y2＝6＋0.4x2，所以|y1－y2|＝|0.4(x1－x2)|＝0.4×50＝20.答案：20

关键实力·合作学习类型一散点图(直观想象)【典例】5名学生的数学和物理成果(单位：分)如下：ABCDE数学成果8075706560物理成果7066686462推断它们是否具有线性相关关系．【思路导引】结合题中数据画出散点图直观推断．【解析】以x轴表示数学成果，y轴表示物理成果，得相应的散点图如图所示．由散点图可知，各点分布在一条直线旁边，故两者之间具有线性相关关系．线性相关关系的推断方法(1)推断两个变量x和y间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，假如图上发觉点的分布从整体上看大致在一条直线旁边，那么这两个变量就是线性相关的，留意不要受个别点的位置的影响．(2)画散点图时应留意合理选择单位长度，避开图形过大或偏小，或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论．某男孩的年龄与身高的统计数据如下．年龄(岁)123456身高(cm)788798108115120画出散点图，并推断它们是否有相关关系？【解析】散点图如图：由图可见，具有线性相关关系．类型二求回来直线方程(数学运算)【典例】一个车间为了规定工时定额，须要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下：零件数X(个)102030405060708090100加工时间Y(分)626875818995102108115122(1)Y与X是否具有线性相关关系？(2)假如Y与X具有线性相关关系，求Y关于X的回来直线方程．【思路导引】eq\x(画散点图)→eq\x(确定相关关系)→eq\x(求回来直线系数)→eq\x(写回来直线方程)【解析】(1)画散点图如下：由上图可知Y与X具有线性相关关系．(2)列表、计算：＝eq\f(\i\su(i＝1,10,x)iyi－10\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－10\x\to(x)2)＝eq\f(55950－10×55×91.7,38500－10×552)≈0.668，＝eq\x\to(y)－eq\x\to(x)＝91.7－0.668×55＝54.96.即所求的回来直线方程为：Y＝0.668X＋54.96.1．求回来直线方程的一般步骤(1)收集样本数据，设为(xi，yi)(i＝1，2，…，n)(数据一般由题目给出).(2)作出散点图，确定x，y具有线性相关关系．(3)把数据制成表格，计算出xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))，xiyi.(4)计算eq\x\to(x)，eq\x\to(y)，eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))，eq\i\su(i＝1,n,x)iyi.(5)代入公式计算，，公式为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(＝\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－n\x\to(x)2)，,＝\x\to(y)－\x\to(x)．))(6)写出回来直线方程Y＝bX＋a.2．回来直线方程必过点(eq\x\to(x)，eq\x\to(y)).某种产品的广告费支出X(单位：百万元)与销售额Y(单位：百万元)之间有如下对应数据：X24568Y3040605070(1)画出散点图；(2)求回来方程．【解析】(1)散点图如图所示．(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算．于是可得，＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－5\x\to(x)2)＝eq\f(1380－5×5×50,145－5×52)＝6.5，＝eq\x\to(y)－eq\x\to(x)＝50－6.5×5＝17.5.于是所求的回来方程是Y＝6.5X＋17.5.课堂检测·素养达标1．下面是四个散点图中的点的分布状态，直观上推断两个变量之间具有线性相关关系的是()【解析】选C.散点图A中的点无规律的分布，范围很广，表明两个变量之间的相关程度很小；B中全部的点都在同一条直线上，是函数关系；C中点的分布在一条带状区域上，即点分布在一条直线的旁边，是线性相关关系；D中的点也分布在一条带状区域内，但不是线性的，而是一条曲线旁边，所以不是线性相关关系．2．设一个回来方程Y＝3＋1.2X，则变量X增加一个单位时()A．Y平均增加1.2个单位B．Y平均增加3个单位C．Y平均削减1.2个单位D．Y平均削减3个单位【解析】选A.由＝1.2>0可知Y平均增加1.2个单位．3．已知变量X与Y正相关，且由观测数据算得样本平均数eq\x\to(x)＝3，eq\x\to(y)＝3.5，则由该观测数据算得的线性回来方程可能是()A．Y＝0.4X＋2.3B．Y＝2X－2.4C．Y＝－2X＋9.5D．Y＝－0.3X＋4.4【解析】选A.因为变量X与Y正相关，则回来直线的斜率为正，故可以解除选项C和D.因为点(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))在回来直线上，把点(3，3.5)的坐标分别代入选项A和B中的直线方程进行检验，可以解除B.4．陕西关中的秦腔表演朴实，粗犷，细腻，深刻，再有电子布景的独有特效，深得观众宠爱．戏曲相关部门特意进行了“宠爱看秦腔”调查，发觉年龄段与爱看秦腔的人数比存在较好的线性相关关系，年龄在[40，44]，[45，49]，[50，54]，[55，59]的爱看人数比分别是0.10，0.18，0.20，0.30.现用各年龄段的中间值代表年龄段，如42代表[40，44].由此求得爱看人数比Y关于年龄段X的线性回来方程为Y＝kX－0.4188.那么，年龄在[60，64]的爱看人数比为()A．0.42B．0.39C．0.37D．0.35【解析】选D.由题意，对数据进行处理，得出表格：年龄段X42475257爱看人数比Y0.100.180.200.30求得eq\x\to(x)＝49.5，eq\x\to(y)＝0.195，因点(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))过线性回来方程，将(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))代入Y＝kX－0.4188，得k＝0.0124，即Y＝0.0124X－0.4188，年龄在[60，64]对应的X为62，将X＝62代入Y＝