数学同步优化训练：向量加法运算及其几何意义

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2。2平面向量的线性运算2。2.1向量加法运算及其几何意义5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.如图2—2-1所示，在圆O中，向量、、图2A。有相同起点的向量B。单位向量C.模相等的向量D。相等的向量解析：指定大小和方向后就可以确定一个向量,不能说某些向量是有相同起点的，A错；本题中没有给定向量的长度是1，所以不能说它们是单位向量,B错；这三个向量的方向是不同的，所以不是相等的向量，D错；这三个向量的模都是圆的半径，所以它们的模相等。答案：C2.(1）把平面上所有单位向量的起点平行移动到同一点P，则这些向量的终点构成的几何图形为_____________________。（2）把平行于直线l的所有单位向量的起点平行移动到直线l上的点P，这些向量的终点构成的几何图形为___________________.（3）把平行于直线l的所有向量的起点平行移动到直线l上的点P，这些向量的终点构成的几何图形为___________________.解析：向量是自由向量，根据向量相等,可以把向量的起点平移到同一点.(1)因为单位向量的模都是单位长度，所以同起点时，终点构成单位圆.应填：一个圆。(2)因为平行于直线l的所有单位向量只有两个方向,故这样的单位向量只有两个，起点为P，则终点应为:直线l上与P的距离相等的两个点。（3)因为平行于直线l的向量只有两个方向，但长度不同，任何长度都有，所以终点应为：直线l上的任意一点.答案：(1）一个圆。(2）直线l上与点P的距离相等的两个点.（3)直线l上的任意一点.3。如图2—2-2，试作出向量a与b的和图2解析：如图，首先作=a，再作=b,则=a+b.4.若a=“向北走8km”，b=“向东走8km”，则｜a+b|=__________；a+b的方向是___________.解析：如图所示。答案：东北方向10分钟训练(强化类训练，可用于课中）1。如图2-2—图2A。1B.C.3D。解析:｜|=｜|=2||=.答案：D2。如图2—图2A.B.C。D。解析：由三角形法则和平行四边形法，可知,A错；,B错；，D错.只有C是正确的。答案：C3.已知向量a∥b,且|a｜＞|b｜＞0，则向量a+b的方向(）.A.与向量a方向相同B。与向量a方向相反C。与向量b方向相同D.与向量b方向相反解析:已知a平行于b，如果a和b方向相同,则它们的和的方向应该与a的方向相同;如果它们的方向相反，因为a的模大于b的模，所以它们的和仍然与a的方向相同。答案：A4.如图2—2-5所示,已知向量a,b，c，d，求向量a+b+图2解：在空间中任取一点O，作=a,=b，=c，=d，则=a+b+c+d.5。如图2-2-6所示，已知向量a、b、c,求作向量a+图2-2解：如图，首先作=b，再作=a，=c则=a+b+c.30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）1.已知平行四边形ABCD,设(）+(）=a，而b是一非零向量,则下列结论正确的有（）①a∥b②a+b=a③a+b=b④｜a+b｜＜|a｜+｜b｜A.①③B.②③C.②④D.①②解析:在平行四边形ABCD中,=0，=0，所以a为零向量，零向量和任何向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，所以①③正确。答案：A2.向量a、b都是非零向量，下列说法不正确的是()A.向量a与b同向,则向量a+b与a的方向相同B。向量a与b同向，则向量a+b与b的方向相同C。向量a与b反向,且|a|＜|b|,则向量a+b与a的方向相同D.向量a与b反向，且|a｜＞|b|,则向量a+b与a的方向相同解析:向量a与b反向，且｜a｜＜|b｜，则向量a+b的方向应该和模较大的向量相同,即和b的方向相同，所以C错.答案：C3.a、b为非零向量，且|a+b|=｜a|+|b｜，则下列说法正确的是(）A。a∥b，且a与b方向相同B.a、b是共线向量C.a=-bD.a、b无论什么关系均可解析:当两个非零向量a与b不共线时，a+b的方向与a、b的方向都不相同，且｜a+b|＜|a|+｜b|；向量a与b同向时,a+b的方向与a、b的方向都相同，且|a+b|=｜a|+|b|;向量a与b反向且｜a｜＜｜b|时，a+b的方向与b的方向相同(与a方向相反），且｜a+b|=|b|-｜a｜.答案：A4。在平行四边形ABCD中，下列式子:①；②;③；④；⑤;⑥.其中不正确的个数是()A。1B。2C。4解析：，所以⑥错，其他各项都是正确的。答案：A5.下列命题①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a+b的方向必与a、b之一的方向相同；②△ABC中，必有=0；③若=0，则A、B、C为一个三角形的三个顶点;④若a、b均为非零向量，则|a+b|与|a|+|b|一定相等.其中真命题的个数为(）A。0B.1C。2解析:①假命题。当a+b=0时，命题不成立；②真命题;③假命题.当A、B、C三点共线时也可以有=0；④假命题。只有当a与b同向时,相等,其他情况均为|a+b|＞｜a|+｜b|.答案：B6。如图2-图2A。,B。C.D.解析：因为,,所以。答案：C7.已知向量a、b，比较|a+b|与｜a|+｜b|的大小.解:（1)当a、b至少有一个为零向量时，有｜a+b|=｜a|+|b|;(2）当a、b为非零向量且a、b不共线时,有｜a+b｜＜｜a｜+｜b｜；（3)当a、b为非零向量且a、b同向共线时，有｜a+b|=｜a｜+|b｜；（4）当a、b为非零向量且a、b异向共线时，有｜a+b|＜｜a｜+|b｜.8.已知四边形ABCD，对角线AC与BD交于点O，且AO=OC，DO=OB。求证：四边形ABCD是平行四边形。证明:由已知得,。∵,且A、D、B、C不在同一直线上.故四边形ABCD是平行四边形.9.轮船从A港沿东偏北30°方向行驶了40nmile（海里）到达B处,再由B处沿正北方向行驶40nmile到达C处.求此时轮船与A港的相对位置。解：设、分别表示轮船的两次位移，则表示轮船的合位移，.在Rt△ADB中,∠ADB=9