数学同步优化训练：向量数乘运算及其几何意义

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2.2.3向量数乘运算及其几何意义5分钟训练（预习类训练，可用于课前）1。点C在线段AB上，且=，则=_______________。（）A。B。C.D。解析：=（)=+=-，即=-,故=-.答案:D2.[(2a+8b)-（4a-2b)］等于(）A。2a—bB。2b-aC。b-aD。a—解析：原式=（a+4b—4a+2b)=（6b—3a）=2b—a.答案：B3.向量a、b共线的有()①a=2e,b=-2e②a=e1—e2，b=—2e1+2e2③a=4e1—e2,b=e1-e2④a=e1+e2,b=2e1—2e2A.①②③B。②③④C.①③④D。①②③④解析:对于①②③中的向量a与b，都存在一个相应的实数λ,使a=λb，而④中的两个向量，不存在实数λ使b=λa成立。答案：A4。(2006高考广东卷，理4)如图2—2-图2A。—+B。—C.D.+解析：+，故选A.答案：A10分钟训练（强化类训练，可用于课中)1。(2005高考山东卷，文8）已知向量a，b，且=a+2b，=—5a+6b，=7a—2b，则共线的三点是（)A.A、B、DB.A、B、CC。B、C、DD。A、C、D解析：∵，∴.∴.∴A，B,D三点共线.答案：A2。下列四个命题：①对于实数m和向量a、b，恒有m（a-b)=ma—mb；②对于实数m,n和向量a，恒有(m-n)a=ma—na；③若ma=mb（m∈R)，则有a=b;④若ma=na(m、n∈R，a≠0），则m=n。其中正确命题的序号为_________________.解析:①②满足实数与向量积的运算律；③中若m=0，则ma=mb=0，不一定有a=b；④中由ma=na，则（m—n)a=0，∵a≠0,∴m—n=0。∴m=n。答案：①②④3.求实数λ,使得λa+b与2a+λb解：∵λa+b与2a+λb∴存在一个实数,不妨设为m，使得（λa+b)=m(2a+λb),即（λ-2m)aV+（1-mλ）b=0∴解得λ=±。4。在平行四边形ABCD中,=a，=b，求,。解法一:利用平行四边形的性质得==a，=BD=b。∵,∴=ab.又∵,=，∴=a+b.解法二:将，视为未知量，由向量的加法、减法，得两式相加得，∴=+=a+b。两式相减得，∴==ab.5。一艘船以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船的实际速度.解：如图，表示水流速度，表示船垂直于对岸方向行驶的速度,表示船的实际速度，∠AOC=30°,｜｜=5km/h，∵四边形ABCD为矩形，∴｜|=｜｜cot30°=，||===10.30分钟训练(巩固类训练,可用于课后)1.若3x-2(x—a）=0，则x等于（）A.2aB。—2aC。D。解析：∵3x-2(x-a)=0，∴x+2a=0,即x=—2a。答案：B2.设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是()A.a与-λa的方向相反B。｜-λa|≥｜a｜C。a与λ2a的方向相同D.|-λa|=|λ|解析：如果λ＞0则a与—λa的方向相反，如果λ＜0，则a与—λa的方向相同，A错；如果｜λ｜＜1,则｜—λa｜＜｜a｜，B错；｜—λa｜是一个大于或等于零的实数，而｜λ｜a是向量，它们之间不能比较大小,D错.答案:C3。若｜a|=m，b与a的方向相反，且|b|=2,则a=_____________。解析：由，∴｜a|=｜b｜。∵b与a方向相反，∴b与a共线.∴a=。答案:4。如图2—2—16，求证：M、N、C三点共线.图2-2-16证明：设=a，=b，则=a+（-a+b）=a+b，=a+b，所以.所以M、N、C三点共线.5.设e1、e2是两个不共线向量，已知=2e1+me2，=e1+3e2.若A、B、C三点共线,求实数m的值.解：∵A、B、C三点共线，∴、共线存在实数λ，使=λ,即2e1+me2=λ（e1+3e2）=λe1+3λe2，解得∴λ=2,m=6。6.如图2-2—17所示，在△ABC中，=a，=b，AD为边BC的中线，G为△ABC的重心，求向量图2解法一：∵=a,=b,则==b，∴=a+b。而=，∴=a+b。解法二：过G作BC的平行线，交AB、AC于E、F.∵△AEF∽△ABC，==a，==b，==b，∴=a+b.7。如图2—2—18，在△ABC中，C为直线AB上一点，=λ（λ≠—1)，求证：=图2-2-18证明:因为,，又=λ，所以=λ(),即（1+λ）=+λ。又因为λ≠-1,即1+λ≠0,所以=。8。用向量方法证明：三角形两边中点连线平行于第三边，且其长度等于第三边长度的一半.证明：已知右图所示△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点,求证：DE∥BC，且DE=.证明：∵D、E分别是边AB、AC的中点，∴=，=。∴=（)=。又D不在B