2025届辽宁凌源市数学高二上期末调研模拟试题含解析

2025届辽宁凌源市数学高二上期末调研模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．2021年6月17日9时22分，搭载神舟十二号载人飞船的长征二号F遥十二运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射．此后，神舟十二号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，并快速完成与“天和”核心舱的对接，聂海胜、刘伯明、汤洪波3名宇航员成为核心舱首批“入住人员”，并在轨驻留3个月，开展舱外维修维护，设备更换，科学应用载荷等一系列操作．已知神舟十二号飞船的运行轨道是以地心为焦点的椭圆，设地球半径为R，其近地点与地面的距离大约是，远地点与地面的距离大约是，则该运行轨道（椭圆）的离心率大约是（）A. B.C. D.2．展开式的第项为（）A. B.C. D.3．已知实数a，b，c满足，，则a，b，c的大小关系为（）A. B.C. D.4．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.5．对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是（）A.若，则 B.，则C.若，，则， D.若，则6．已知，若，则的取值范围为（）A. B.C. D.7．变量，满足约束条件则的最小值为()A. B.C. D.58．《九章算术》是我国古代的数学巨著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共出百銭.欲令高爵出少，以次渐多，問各幾何？”意思是：“有大夫、不更、簪褭、上造、公士（大夫爵位最高，爵位依次从高变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成等差数列，问这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若公士出28钱，则不更出的钱数为（）A.14 B.20C.18 D.169．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为9.5尺，立夏当日日影长为2.5尺，则冬至当日日影长为（）A.12.5尺 B.13尺C.13.5尺 D.14尺10．已知直线和圆，则“”是“直线与圆相切”的（）.A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件11．为比较甲、乙两地某月时的气温状况，随机选取该月中的天，将这天中时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图（十位数字为茎，个位数字为叶）.考虑以下结论：①甲地该月时的平均气温低于乙地该月时的平均气温；②甲地该月时的平均气温高于乙地该月时的平均气温；③甲地该月时的气温的标准差小于乙地该月时的气温的标准差；④甲地该月时的气温的标准差大于乙地该月时的气温的标准差.其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为（）A.①③ B.①④C.②③ D.②④12．已知，为椭圆上关于短轴对称的两点，、分别为椭圆的上、下顶点，设，、分别为直线，的斜率，则的最小值为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设函数为奇函数，当时，，则_______14．已知双曲线(a，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1且倾斜角为的直线l与双曲线的左、右支分别交于点A，B.且|AF2|=|BF2|，则该双曲线的离心率为____________.15．若分别是平面的法向量，且，，，则的值为________.16．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若数列{an}满足an＋Sn＝An2＋Bn＋C且A＞0，则＋B－C的最小值为________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，.（1）若，求的最大值；（2）若，求证：有且只有一个零点.18．（12分）新高考取消文理分科，采用选科模式，这赋予了学生充分的自由选择权.新高考地区某校为了解本校高一年级将来高考选考物理的情况，随机选取了100名高一学生，将他们某次物理测试成绩（满分100分）按照，，，，分成5组，制成如图所示的频率分布直方图.（1）求图中的值并估计这100名学生本次物理测试成绩的中位数.（2）根据调查，本次物理测试成绩不低于60分的学生，高考将选考物理科目；成绩低于60分的学生，高考将不选考物理科目.按分层抽样的方法从测试成绩在，的学生中选取5人，再从这5人中任意选取2人，求这2人中至少有1人高考选考物理科目的概率.19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C1：的左、右焦点分别为，且椭圆C1与抛物线C2：y2=2px（p>0）在第一象限的交点为Q，已知.（1）求的面积（2）求抛物线C2的标准方程.20．（12分）一个完美均匀且灵活的平衡链被它的两端悬挂，且只受重力的影响，这个链子形成的曲线形状被称为悬链线（如图所示）.选择适当的坐标系后，悬链线对应的函数近似是一个双曲余弦函数，其解析式可以为，其中，是常数.（1）当时，判断并证明的奇偶性；（2）当时，若最小值为，求的最小值.21．（12分）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为AB，BC上的动点，且.（1）求证：；（2）当时，求点A到平面的距离.22．（10分）已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）（1）求的解析式及单调递减区间；（2）若函数无零点，求的取值范围

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】以运行轨道长轴所在直线为x轴，地心F为右焦点建立平面直角坐标系，设椭圆方程为，根据题意列出方程组，解方程组即可.【详解】以运行轨道长轴所在直线为x轴，地心F为右焦点建立平面直角坐标系，设椭圆方程为，其中，根据题意有，，所以，，所以椭圆的离心率故选：A2、B【解析】由展开式的通项公式求解即可【详解】因为，所以展开式的第项为，故选：B3、A【解析】利用对数的性质可得，，再构造函数，利用导数判断，再构造，利用导数判断出函数的单调性，再由单调性即可求解.【详解】由题意可得均大于，因为，所以，所以，且，令，，当时，，所以在单调递增，所以，所以，即，令，，当时，，所以在上单调递减，由，，所以，所以，综上所述，.故选：A4、A【解析】设，对实数的取值进行分类讨论，求得，解不等式，综合可得出实数的取值范围.【详解】设，其中.①当时，即当时，函数在区间上单调递增，则，解得，此时不存在；②当时，，解得；③当时，即当时，函数在区间上单调递减，则，解得，此时不存在.综上所述，实数的取值范围是.故选：A.5、C【解析】对于选项A，可以举反例判断；对于选项BCD可以利用作差法判断得解.【详解】解：A.若，则不一定成立.如：.所以该选项错误；B.，所以，所以该选项错误；C.，所以该选项正确；D.，所以该选项错误.故选：C6、C【解析】根据题意，由为原点到直线上点的距离的平方，再根据点到直线垂线段最短，即可求得范围.【详解】由，，视为原点到直线上点的距离的平方，根据点到直线垂线段最短，可得，所有的取值范围为，故选：C.7、A【解析】根据不等式组，作出可行域，数形结合即可求z的最小值.【详解】根据不等式组作出可行域如图，，则直线过A(－1，0)时，z取最小值.故选：A.8、D【解析】根据题意，建立等差数列模型，结合等差数列公式求解即可.【详解】解：根据题意，设每人所出钱数成等差数列，公差为，前项和为，则由题可得，解得，所以不更出的钱数为.故选：D.9、B【解析】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，利用等差数列的性质即可求解.【详解】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，则立春当日日影长为，立夏当日日影长为，故所以冬至当日日影长为.故选：B10、B【解析】首先求出直线与圆相切时的取值，再根据充分必要条件的定义判断.【详解】若直线与圆相切，则圆心到直线的距离，则，解得，所以“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件.故选：B【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，充分必要条件，重点考查计算，理解能力，属于基础题型.11、B【解析】根据茎叶图数据求出平均数及标准差即可【详解】由茎叶图知甲地该月时的平均气温为，标准差为由茎叶图知乙地该月时的平均气温为，标准差为则甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温，故①正确，乙平均气温的标准差小于甲的标准差，故④正确，故正确的是①④，故选：B12、A【解析】设出点，的坐标，并表示出两个斜率、，把代数式转化成与点的坐标相关的代数式，再与椭圆有公共点解决即可.【详解】椭圆中：，设则，则，，令，则它对应直线由整理得由判别式解得即，则的最小值为故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由奇函数的定义可得，代入解析式即可得解.【详解】函数为奇函数，当时，，所以.故答案为-1.【点睛】本题主要考查了奇函数的求值问题，属于基础题.14、【解析】由双曲线的定义和直角三角形的勾股定理，以及解直角三角形，可得a，c的关系，再由离心率公式可得所求值【详解】过F2作F2N⊥AB于点N，设|AF2|＝|BF2|＝m，因为直线l的倾斜角为，所以在直角三角形F1F2N中，，由双曲线的定义可得|BF1|﹣|BF2|＝2a，所以|BF1|＝2a+m，同理可得|AF1|＝m﹣2a，所以|AB|＝|BF1|﹣|AF1|＝4a，即|AN|＝2a，所以|AF1|＝c﹣2a，因此，在直角三角形ANF2中，|AF2|2＝|NF2|2+|AN|2，所以（c）2＝4a2+c2，所以c＝a，则，故答案为：15、－1或－2【解析】由题可得，即求.【详解】依题意，，解得或.故答案为：或.16、2【解析】因为{an}为等差数列，设公差为d，由an＋Sn＝An2＋Bn＋C，得a1＋(n－1)d＋na1＋n(n－1)d＝an＋Sn＝An2＋Bn＋C，即(d－A)n2＋(a1＋－B)n＋(a1－d－C)＝0对任意正整数n都成立所以(d－A)＝0，a1＋d－B＝0，a1－d－C＝0，所以A＝d，B＝a1＋d，C＝a1－d，所以3A－B＋C＝0.＋B－C＝＋3A≥2.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）证明见解析【解析】（1）利用导数判断原函数单调性，从而可求最值.（2）求导后发现导数中无参数，故单调性与（1）中所求一致，然后利用零点存在定理结合的范围，以及函数单调性证明在定义域内有且只有一个零点.【小问1详解】若，则，其定义域为，∴，由，得，∴当时，；当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，∴【小问2详解】证明：，由（Ⅰ）知在上单调递增，在上单调递诚，∵，∴当时，，故在上无零点；当时，，∵且，∴在上有且只有一个零点.综上，有且只有一个零点.18、（1），中位数为；（2）.【解析】（1）由频率和为1求参数a，根据直方图及中位数性质求中位数即可.（2）首先由分层抽样原则求选取的5人在、的人数分布情况，再应用列举法求古典概型的概率即可.【小问1详解】由图知：，解得.学生成绩在的频率为；学生成绩在的频率为.设这100名学生本次物理测试成绩的中位数为，则，解得，故估计这100名学生本次物理测试成绩的中位数为.【小问2详解】由（1）知，学生成绩在的频数为，学生成绩在的频数为.按分层抽样的方法从中选取5人，则成绩在的学生被抽取人，分别记为，，成绩在的学生被抽取人，分别记为，，.从中任意选取2人，有，，，，，，，，，这10种选法，其中至少有1人高考选考物理科目的选法有，，，，，，，，这9种，∴这2人中至少有1人高考选考物理科目的概率.19、（1）（2）【解析】（1）设，由椭圆的定义可得，结合余弦定理可得出的值，从而可得面积.(2)设,根据的面积结合椭圆的方程求出点的坐标，代入抛物线可得答案.【小问1详解】由椭圆方程知a=2，b=1，，设，则即，求得所以的面积为【小问2详解】设由（1）中，得又，，所以代入抛物线方程得，所以所以抛物线的标准方程为20、（1）偶函数（2）10【解析】(1)根据偶函数定义直接判断可知；(2)由基本不等式求得的最小值，得到a、b的关系，然后代入目标式，分离常数，然后可得.【小问1详解】当时，，定义域为R，因为所以为偶函数.【小问2详解】因为，所以，当且仅当，即时，取等号.由题知，即，因为，所以，即所以令，，则，所以，所以，当，即时，取等号.所以的最小值为10.21、（1）证明见解析（2）【解析】(1)如图，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法分别求出和，再证明即可；(2)利用空间向量的数量积求出平面的法向量，结合求点到面距离的向量法即可得出结果.【小问1详解】证明：如图，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，所以，故，所以；【小问2详解】当时，，，，，则，，，设是平面的法向量，则由，解得，取，得，设点A到平面的距离为，则，所以点A到平面的距离为.22、（1）单调减区间为和；（2）的取值范围为：或【解析】（1）先求