2023-2024学年人教版九年级数学上册期末复习：锐角三角函数（易错必刷30题7种题型专项训练）解析版

猜想08锐角三角函数（易错必刷30题7种题型专项训练）

一题型目录展示♦

一.锐角三角函数的定义（共4小题）二.同角三角函数的关系（共2小题）

三.特殊角的三角函数值（共5小题）四.解直角三角形（共4小题）

五.解直角三角形的应用（共2小题）六.解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共9小题）

七.解直角三角形的应用-方向角问题（共4小题）

♦题型通关专训＞

锐角三角函数的定义（共4小题）

1.（2022秋•西岗区校级期末）在Rt^ABC中，ZC=90°,AB=5,BC=3,则tanA的值是（）

A.AB.Ac.旦D.旦

5354

【分析】先在RtaABC中，利用勾股定理求出AC的长，再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答.

【解答】解：VZC=90o,AB=5,BC=3,

AC=VAB2-BC2=752-32=4,

故选：D.

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.

2.（2022秋•太仓市期末）在Rt^ABC中，ZC=90°,AB=4,AC=3,那么cosA的值是（）

A.3B.业C.3D.A

5443

【分析】利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答.

【解答】解：在Rt^ABC中，ZC=90°,AB=4,AC=3,

故选：C.

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.

3.（2022秋•城关区校级期末）在中，ZC=90°,AB=13,CB=5,N8的余弦值为_互_.

【分析】在Rt^ABC中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答.

【解答】解：在RtZkABC中，ZC=90°,AB=13,CB=5,

••cosBBC5

AB13,

故答案为：巨

13

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.

4.（2022秋•济南期末）如图，已知RtZXABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,则sin8=旦

一5一

【分析】先根据已知条件，得出A8的长，再根据锐角三角函数的定义即可求出本题的答案.

【解答】解：在中，AC=3,BC=4,

：.AB=5,

.入也8=蚂=2

AB5

故答案为：1.

5

【点评】本题主要考查了锐角三角函数的定义，在解题时要根据锐角三角函数的定义找出相应的对应边

是解题的关键.

二.同角三角函数的关系（共2小题）

5.（2022秋•西安期末）在Rt^ABC中，ZC=90°,8c=3,inA=—>则tanA=（）

s5

A.3B.Ac.4D.立

4354

【分析】在RtaABC中，利用锐角三角函数的定义求出AB=5,然后利用勾股定理求出AC=4,最后利

用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答.

【解答】解：在RtA4BC中，ZC=90°,BC=3,inA=—>

s5

：.AB=-^—=^-=5,

tanAA

5

；•AC=VAB2-BC2=^52-32=4，

BC3_

tanA==

ACI

故选：A.

【点评】本题考查了同角三角函数的关系，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.

6.（2022秋•兴化市期末）在△ABC中，ZC=90°,tanA=2,则sinA的值为（）

A.返B.2娓c.—D.2

552

【分析】先利用正切的定义得到tanA=^=2,则设AC=x,BC=2x,利用勾股定理表示出42=遥了,

然后利用正弦的定义求解.

【解答】解：如图：

/.taiM=^^=2,

AC

设AC=JC,则8c=2x,

•■•AB=A/BC2+AC2=^X,

故选：B.

【点评】本题考查了同角三角函数的关系：利用一个锐角的一个三角函数值表示出边之间的关系，再利

用勾股定理表示出第三边，然后根据三角函数的定义求这个角的另两个三角函数值.

三.特殊角的三角函数值（共5小题）

7.（2022秋•云州区期末）已知Na为锐角，且sina=Y1,则/a=（）

2

A.30°B.45°C.60°D.90°

【分析】根据特殊角的三角函数值，判断即可.

【解答】解：:/a为锐角，且sina=1

2

Za=60°,

故选：C.

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.

8.（2022秋•郑州期末）若sin（尤+15°）=亚，则锐角x=45°.

2

【分析】根据特殊角的三角函数值，即可解答.

【解答】Vsin（尤+15°）=返，

2

；.x+15°=60°,

解得：尤=45°,

故答案为：45.

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.

9.（2022秋•永定区期末）ZkABC中，ZA,N2都是锐角，若cosA=1,tanB=l,则/C=105°.

2

【分析】根据特殊角的三角函数值可得NA=30°,ZB=45°,然后利用三角形内角和定理，进行计算

即可解答.

【解答】解：•.,COSA=Y^,tanB=l,

2

.•.NA=30°,ZB=45°,

AZC=180°-ZA-ZB=105°,

故答案为：105°.

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.

10.（2022秋•甘井子区校级期末）J5cos45°tan45°=1.

【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可解答.

【解答】解：V2cos45°tan45°

=近乂返XI

2

=1,

故答案为：1.

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.

1L（2023春•朝阳区校级期末）计算：2cos30°-tan600+tan45°^-sin600,

【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算，即可解答.

【解答】解:2cos300-tan600+tan450方sin60°

=2X运-、R+i-小义返

222

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.

四.解直角三角形（共4小题）

12.（2022秋•承德县期末）如图，在RtA4BC中，NBAC=90°,AD_LBC于点下列结论正确的是（）

ACDCBCAB

【分析】根据垂直定义可得/4。2=/&。。=90°,然后在RtaADC中，利用锐角三角函数的定义即可

判断A,B,再在RtaABC中，利用锐角三角函数的定义即可判断C,最后利用同角的余角相等可得NC

=ZBAD,从而在中，利用锐角三角函数的定义即可求出cos/8AO=胆，即可判断。.

AB

【解答】解：•..AOL8C,

/.ZADB^ZADC^90°,

在RtZXAOC中，cosC=—,tanC=—,

ACCD

故A、B不符合题意；

在RtZXBAC中，sinC=金殳，

BC

故C符合题意；

VZB+ZBAD^90°,ZB+ZC=90°,

：.ZC=ZBAD,

在RtABAD中，cosZBAD^^-,

AB

/.cosC—cosZBAD--^-,

AB

故。不符合题意；

故选：c.

【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.

13.（2022秋•丛台区校级期末）如图，在△ABC中，ZABC=45°,ZACB=30°,A8=4,贝！IAC=4

近一

【分析】过点A作ADL8C,垂足为。，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后

在Rt^AOC中，利用含30度角的直角三角形的性质，进行计算即可解答.

【解答】解：过点A作垂足为。，

：.AD=AB'sin450=4Xa2&,

2

在Rt^AQC中，ZACB=30°,

：.AC=2AD=4y[2>

故答案为：4近.

【点评】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

14.（2022秋•烟台期末）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A,B,C在格点上,

则tanB=—.

一2一

【分析】先利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，从而可得/BAC=90°,然后在Rt^ABC

中，利用锐角三角函数是定义进行计算即可解答.

【解答】解：由题意得：

AB2=22+22=8,

AC2=12+12=2,

CB2=l2+32=10,

.,.AB2+AC2=BC2,

/.△ABC是直角三角形,

ZBAC=90°，

在RtZkABC中，AC=&,AB=2小

：.tanB=—=^^=r-=—,

AB2V22

故答案为：1.

2

【点评】本题考查解直角三角形，勾股定理的逆定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.

15.（2022秋•桐柏县期末）如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,。是AB的中点，连接。，过点8作

C。的垂线，交C£）延长线于点E.已知AC=30,C0SA=—•则sin/DBE的值为-

5~25~

【分析】过点C作CPLAB,垂足为E在Rt^ABC中，利用锐角三角函数的定义求出42=50,从而利

用勾股定理求出BC=40,然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得CZ）=LA8=25,再利用面积法求

2

出5=24,从而在RtACDF中，利用勾股定理求出DF=7,进而利用锐角三角函数的定义求出sinZ

。。尸的值，最后利用等角的余角相等可得NEBDu/OCR即可解答.

【解答】解：过点C作垂足为R

在RtZXABC中，AC=30,cosA=旦，

5

.•."=-^-=乎=50,

cosAA

5

BC=VAB2-AC2=7502-302=4。'

是AB的中点，

.•.C£)=_LAB=25,

2

,/AABC的面积=XwCP=』AC・CB,

22

：.AB-CF^AC'CB,

505=30X40,

：.CF=24,

22

在RtACDF中，。尸=VCD-CF=V252-242=7，

VBEXCZ）,

ZE=90°,

ZEDB+ZEBD=90°,

'：ZFCD+ZCDF=90°,ZCDF=ZBDE,

：.ZEBD=ZDCF,

；.sin/DBE=sin/DCF=工,

25

故答案为：JL.

25

【点评】本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边上的中线，根据题目的已知条件并结合图形添加适

当的辅助线是解题的关键.

五.解直角三角形的应用（共2小题）

16.（2022秋•承德县期末）消防车是救援火灾的主要装备.图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是

其工作示意图，起重臂AC（20米WACW30米）是可伸缩的，且起重臂AC可绕点A在一定范围内上下

转动，张角/C4E（90°WNCAEW150。）,转动点A距离地面的高度AE为4米.

BEFD

图①图2）

（1）当起重臂AC的长度为24米，张角NCAE=120°时，云梯消防车最高点C距离地面的高度CF的

长为16米.

（2）某日一栋大楼突发火灾，着火点距离地面的高度为26米，该消防车在这栋楼下能否实施有效救援？

请说明理由（参考数据：V3^1.7）（提示：当起重臂AC伸到最长且张角/。1E最大时，云梯顶端C可

以达到最大高度）

【分析】（1）过点A作AGLCF,垂足为R先在Rt^AGC中求出CG,再利用直角三角形的边角间关

系求出CF；

（2）先计算当AC长30米、/C4E=150°时救援的高度，再判断该消防车能否实施有效救援.

；.FG=AE=4米，ZEAG=ZAGC=ZAGF=90°.

VZCAE=120°,

：.ZCAG=ZCAE-ZEAG=30°.

在RtZXAGC中，

：sin/C4G=空，AC的长度为24米，

AC

.,.CG=ACXsin30°

=24XA

2

=12（米）.

：.CF=CG+GF

=4+12

=16（米6

答:云梯消防车最高点。距离地面的高度8的长为16米;

故答案为：16；

（2）如图，过点。作交EA的延长线于点H.

Z//AC=30°.

在RtZXAHC中，

：cos/HAC=迎，

AC

：.AH=cosZHACXAC

=cos30°X30

=近乂30

2

=1573

七1.7X15

=25.5（米）.

：.HE=AE+AH

=4+25.5

=29.5（米）.

由题意知，四边形是矩形，

：.CF=HE=29.5米，

V29.5>26,

.♦•该消防车能够实施有效救援.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角间关系及线段的和差关系是解决本题

的关键.

17.（2022秋•南宫市期末）桑梯是我国古代发明的一种采桑工具.图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》

中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知AB=AC=L5米，4。=1.2米，AC与AB的张角为a,

为保证安全，a的调整范围是30°WaW60°,8c为固定张角a大小的绳索.

图1图2

（1）求绳索8c长的最大值.

（2）若a=40°时，求桑梯顶端D到地面BC的距离.（参考数据：sin70°杷0.94,cos70°^0.34,tan70°

心2.75,最后结果精确到0.01米）

【分析】（1）根据题意可得：当NBAC=a=60°时，绳索8C的长最大，然后根据已知易得△A8C是等

边三角形，从而利用等边三角形的性质可得BC=A2=AC=1.5米，即可解答；

（2）过点。作。垂足为E,利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得NABC=NC=

70°,再根据己知可得。C=2.7米，然后在RtZV）EC中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答.

【解答】解：（1）由题意得：

当/8AC=a=60°时，绳索BC的长最大，

VAB=AC=1.5米，

J.AABC是等边三角形，

：.BC=AB=AC=i.5米，

二绳索BC长的最大值为1.5米；

（2）过点。作。E_LBC,垂足为E,

BEC

ZZ)£C=90°，

：A8=AC=L5米，ZBAC=a=40°,

ZABC=ZC=A（180°-NBAC）=70°,

2

：AD=1.2米，

：.DC^AD+AC^2.7（米），

在Rt/VDEC中，Z）E=DC・sin70°^2.7X0.94^2.54（米），

.•.桑梯顶端D到地面BC的距离约为2.54米.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的

关键.

六.解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共9小题）

18.（2023春•怀化期末）如图，为了测量古塔的高，小明在点A测得看古塔顶点C处的仰角为30°,然后

向古塔方向前进到40米的点B处测得古塔顶点C的仰角是60°,A,B,D在同一直线上，那么古塔CD

的高是34.6米.（&-1.414,心1.732,结果保留一位小数）

C

ABD

【分析】根据题意可得：COLA。，A8=40米，NA=30°,ZCBZ）=60°,然后利用三角形的外角性质

可得/A=NACB=30°,从而可得ABMBCM40米，最后在Rt/XCB。中，利用锐角三角函数的定义进

行计算，即可解答.

【解答】解：由题意得：CD1AD,AB=40米，ZA=30°,ZCBD=60a,

"?ZCBD是△ABC的一个外角，

ZACB=ZCBD-ZA=30°,

/.ZA=ZACB=30°,

：.AB=BC=40米，

在RtZXCBO中，CZ）=BC・sin60°=40义亚=20«勺34.6（米），

古塔CD的高约为34.6米，

故答案为：34.6.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.

19.（2022秋•宜宾期末）如图，斜坡OM的坡角/MON=30°,在坡面B处有一棵树8A,小彭在坡底。

处测得树梢A的仰角为45°,沿坡面0M上行30米到达。处，测得NADB=30°.

（1）求的长；

（2）求树区4的高度（结果保留根号）.

【分析】（1）由题意得：NAON=45°,。。=30米，从而可得/4。。=15°,再利用三角形的外角性质

可得/。4£>=15°,然后利用等角对等边即可解答；

（2）过点。作DH〃ON,交AB的延长线于点从而利用平行线的性质可得NBD”=/MON=30°,

进而可得NAZ）8=60°,然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在RtA

8OH中，利用锐角三角函数的定义求出8H的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答.

【解答】解：（1）由题意得：ZAON=45°,。。=30米，

■:/MON=30°,

ZAOD^ZAON-ZMON^45°-30°=15°,

ZADB是△AOD的一个外角，

ZOAD=ZADB-NAOD=15°,

/.ZAOD=ZOAD=15°,

，00—30米，

：.DA的长为30米；

（2）过点。作。〃〃ON,交AB的延长线于点”，

/BDH=NMON=30

VZADB^30°,

・•・ZADH=ZADB+ZBDH=60°,

由题意得：ZAHD=90°,

在RtZXAOH中，A0=3O米，

••・A”=A0・sin6O0=30X返=15禽（米），

2

DH=AD'cos60°=30义工=15（米），

2

在/中，BH^DH'tan30°=15X返=5正（米），

3

:.AB=AH-BH=15M-5M=1。如（米），

.•.树BA的高度为10«米.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合

图形添加适当的辅助线是解题的关键.

20.（2022秋•大连期末）数学兴趣小组测量建筑物48的高度.如图，在建筑物A8前方搭建高台CD进行

测量.高台CD到AB的距离BC为6米，在高台顶端D处测得点A的仰角为40°,测得点B的俯角为

30°.

（1）填空：ZADB^70°；

（2）求建筑物AB的高度（结果保留整数）.

（参考数据：sin40°"0.64,cos40°七0.77,tan40°心0.84,V3=^1.73）

【分析】（1）过点。作。E，AB,垂足为E,根据题意可得：ZADE=40°,/BDE=30°,然后利用角

的和差关系进行计算即可解答；

（2）根据题意可得：OE=BC=6米，然后分别在和Rt△。班中，利用锐角三角函数的定义求

出AE,8E的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答.

【解答】解：（1）过点。作垂足为E,

由题意得：

ZAD£=40°,/BDE=30°,

ZADB=ZADE+ZBDE=400+30°=70°,

故答案为：70；

（2）由题意得：£>E=BC=6米，

在Rt^AOE中，ZADE=40°,

：.AE=DE-tan40°^6X0.84=5.04（米），

在RtZkOEB中，ZBDE=30°,

：.BE=DE-tan30°=6X圆=2M心3.46（米），

3

AB=AE+£B=5.04+3.469（米），

...建筑物AB的高度约为9米.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的

辅助线是解题的关键.

21.（2022秋•闵行区期末）2022年11月12日10时03分，搭载天舟五号货运飞船的长征七号遥六运载火

箭，在海南文昌航天发射场成功发射.天舟五号货运飞船重约13.6吨，长度80=10.6米，货物仓的直

径可达3.35米，是世界现役货物运输能力最大、在轨支持能力最全面的货运飞船，堪称“在职最强快递

小哥”.已知飞船发射塔垂直于地面，某人在地面A处测得飞船底部。处的仰角45。，顶部B处的仰角

为53°,求此时观测点A到发射塔C。的水平距离（结果精确到0.1米）.（参考数据：sin53。-0.80,

cos53°^0.60,tan53°仁1.33)

【分析】根据题意可得：ZACD=90°,然后在Rt^ACD和Rt^ABC中，分别利用锐角三角函数的定

义求出BC,C。的长，最后根据30=10.6米，列出关于AC的方程，进行计算即可解答.

【解答】解：由题意得：ZACD=90°,

在RtZkAC。中，ZDAC=45°,

；.OC=AC・tan45°=AC,

在Rtz\A8C中，ZBAC=53°,

；.BC=AC・tan53°F.33AC,

：BD=10.6米，

：.BC-C£）=10.6,

：A33AC-AC=10.6,

32.1米，

此时观测点A到发射塔CD的水平距离约为32.1米.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.

22.（2022秋•碑林区校级期末）某市在地铁施工期间，相关部门在施工路段设立了矩形安全警示牌ABCD

（如图所示），小东同学在距离安全警示牌8米（跖的长）远的建筑物上的窗口P处，测得安全警示牌

顶端A点和底端8点的俯角分别是30°和45°,求安全警示牌宽AB的值.（结果保留根号）

□

P

口

、、、、

、X、、

口、、、、、

\、、、^_________D

口''、地铁拖工

'、、注意安全c

口BC

EF

【分析】延长BA交PH于点G,根据题意可得：EF=PG=8米，ZPGA=90°,在4G中，利用

锐角三角函数的定义求出G4的长，再在Rt^PGB中，利用锐角三角函数的定义求出GB的长，最后进

行计算即可解答.

【解答】解：如图：延长交P”于点G,

由题意得：

EP=PG=8米，ZPGA=90°,

在Rt/XB4G中，/G朋=30°,

.•.AG=PG・tan30°=8X运（米），

33

在Rt^PGB中，/GPB=45°,

：.GB=PG-tan45°=8X1=8（米），

：.AB=GB-GA=（8-旦百）米，

3

安全警示牌宽A8的值为（8-4V3）米.

3

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的

辅助线是解题的关键.

23.（2022秋•槐荫区期末）无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测.如图，某农业特色品牌示范基

地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为135根的A处测得试验田右侧边界N处俯角

为43°,无人机垂直下降40机至B处，又测得试验田左侧边界/处俯角为35°,求的长.

（参考数据：tan43°―0.9,sin43°心0.7,cos35°心0.8,tan35°心0.7,结果保留整数）

【分析】根据题意可得：/AN。=43°,/BMO=35°,AO±MN,然后在Rt/VION中，利用锐角三角

函数的定义求出N。的长，再利用线段的和差关系求出2。的长，最后在中，利用锐角三角函

数的定义求出MO的长，进行计算即可解答.

【解答】解：由题意得:

NANO=43°,ZBMO=35°,AOLMN,

在RtZXAON中，40=135%,

ON=—皿—心1^=150Cm),

tan430.9

"：AB=40m,

J.BO^AO-AB^95(m),

在RtAJWBO中，MO=———2_^_仁135.7(m),

tan350.7

：.MN^N0+M0^150+135,7^286(M,

MN的长约为286%.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.

24.（2023春•零陵区期末）2023年“水州陆港杯”中国龙舟公开赛（湖南一水州站）在冷水滩潇湘平湖举

行，为确保此次龙舟竞赛水域安全，特别是谨防青少年在观赛时溺水，某单位在一处观赛台后方小山坡

上竖立了“防溺水”宣传牌.小刚为了测得宣传牌的高度，他站在山坡底端C处，测得宣传牌顶端A的

仰角NOCA=45°,然后小刚从山坡底端C沿着倾斜角为30°的斜坡走了20米，到达E处平台，与宣

传牌底端B水平，此时测得宣传牌顶端A的仰角/BEA=60°,求“防溺水”宣传牌的高度.

DC

【分析】延长AB交CD于点凡根据题意可得：AF1.CF,EDLCD,BF=DE,BE=DF,然后在RtA

EDC中，利用含30度角的直角三角形性质求出DE和CD的长，再设BE=DF=x米，则CF=（x+10

百）米，最后在RtaABE中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，从而求出AF的长，再在RtA

AFC中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答.

由题意得：AF±CF,EDLCD,BF=DE,BE=DF,

在RtZkEDC中，CE=20米，ZDC£=30°,

.•.OE=JLCE=10（米），CD=«DE=1WQ（米），

2

.♦.8尸=Z）E=10米，

设8E=OP=x米，

：.CF=DF+CD=（x+10V3）米，

在中，ZAEB=60°,

AB=BE'ta.n60°（米），

：.AF^AB+BF^（V3x+10）米，

在Rt^AEC中，ZACF=45°,

.*.AF=CF«tan45°=（x+10«）米，

A/^X+10=X+1C）V^，

解得：x=10,

.,.AB=y/3x=10^3（米），

“防溺水”宣传牌的高度为10«米.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合

图形添加适当的辅助线是解题的关键.

25.（2022秋•商河县期末）如图大楼AB的高度为373小可为了测量大楼顶部旗杆AC的高度，他从大楼

底部8处出发，沿水平地面前行32机到达。处，再沿着斜坡DE走20机到达E处，测得旗杆顶端C的

仰角为30°.已知斜坡ED与水平面的夹角/EZ）G=37°,图中点A,B,C,D,E,G在同一平面内

（结果精确到0.1m）

（1）求斜坡ED的铅直高度EG和水平宽度GD.

（2）求旗杆的AC高度.

（参考数据：sin37°-0.60,cos37°^0.80,tan37°心0.75,通~1.73）

【分析】（1）在Rt^OEG中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答；

（2）过点E作垂足为根据题意可得：DB=32m,则即=G2=48/",然后在Rt^CEW中,

利用锐角三角函数的定义求出CH的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答.

【解答】解：（1）在RtZXOEG中，/EDG=3V,DE=20m,

：.EG=DE'sin31°^20X0.60=12（加），

DG=DE-cos3rp仁20X0.80=16（相）,

斜坡ED的铅直高度EG约为12m,水平宽度GD约为16m；

（2）过点E作EH_LBC,垂足为H,

c

：.EH=GB=GD+DB=16+32=48Gn),

在中，/CEH=30°,

：.CH^EH'tan30°=48X近=16«(m),

3

：.AC=CH+BH-AB=16y/3+12-37心2.7(m),

.•.旗杆的AC高度约为2.7九

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的

辅助线是解题的关键.

26.(2022秋•北倍区校级期末)如图是某景区的观光扶梯建设示意图.起初工程师计划修建一段坡度为3：

2的扶梯扶梯总长为米.但这样坡度太陡，扶梯太长容易引发安全事故.工程师修改方案：

修建AC、DE两段扶梯，并减缓各扶梯的坡度，其中扶梯AC和平台CD形成的NACO为135°,从E

点看。点的仰角为30°,AC段扶梯长20米.(参考数据：、历—1.41，北=1.72)

(1)求点A到BE的距离.

(2)OE段扶梯长度约为多少米？(结果保留1位小数)

【分析】(1)过点A作垂足为R根据已知可设AF=3尤米，贝米，然后在RtZXABF

中，利用勾股定理求出米，从而列出关于尤的方程，进行计算即可解答；

(2)延长。C交A尸于点G,过点。作。HLEF,垂足为X,根据题意可得：DGLAG,DH=GF,再利

用平角定义可得/ACG=45°,然后在Rt^ACG中，利用锐角三角函数的定义求出AG的长，从而求出

DH,FG的长，最后在RtAZJE”中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算即可解答.

【解答】解：（1）过点A作垂足为R

:扶梯的坡度为3：2,

•.•AF_-3-

BF2

.•.设4尸=3尤米，则BF=2x米，

22

在Rt^AB尸中，AB=A/AF2+BF2=^（3X）+（2X）=V13x（米），

•.•AB=10、几米，

V13^—IOA/13-

.*.x=10,

.".AF=3x=30（米），

・••点A到BE的距离为30米；

（2）延长。C交A厂于点G,过点。作垂足为H,

A

由题意得：

DG±AG,DH=GF,

VZACD=135°,

AZACG=180°-ZAC£）=45°,

在RtZXACG中，AC=20米，

.,.AG=AC«sin45°=20X亚=106（米）,

2

•；AB=30米,

：.DH^GF^AF-AG=(30-1072)米，

在RtzYDEH中，ZDEH=30°,

.\D£=2DH=60-2072^31.8(米)，

..•£)E段扶梯长度约为31.8米.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，含30度角的直角三角形，根

据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

七.解直角三角形的应用-方向角问题(共4小题)

27.(2023春•桥西区期末)学校在小明家南偏东30°方向上，距小明家6碗，以小明家所在位置为坐标原

点建立直角坐标系，1初1为一个单位长度，则学校所在位置的坐标为()

A.(-3V3._3)B.(-3,-3^3)C.(-3^3»3)D.(3,-3^3)

【分析】过点A作轴，垂足为8,在Rt^AOB中，利用含30度角的直角三角形的性质求出AB和

QB的长，即可解答.

.,.AB=-AO—3(km),OB=-f^AB—3A/3(km),

2

.♦.点A的坐标为(3,-3A/3),

...学校所在位置的坐标为(3,-3«),

故选：D.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，坐标与图形的性质，根据题目的已知条件画出

图形进行分析是解题的关键.

28.(2023春•厦门期末)如图所示的四边形ABCD是正在建设的某景区小意图，A—B一C一D一A是环绕景

区的道路，点。在点A的北偏西45°方向，点8在点A的正东方向，点C在点8的正北方向，经测量

AD=2km,AB=lkm.设计单位计划在该景区内修建一个观景平台P,并铺设若干条小路连接景区道路.其

中点尸在点A的正北方向，在点。的正东方向.

(1)求AP的长度；

(2)延长。P与8c交于点E,测得CE=2hw,设计单位设计了两种铺设小路的方案：

方案1：铺设小路。E和AP；

方案2：铺设小路CP和AP.

要使得铺设小路的总长度更短，应选择哪种铺设方案，并说明理由.

【分析】(1)根据题意可得：APLDP,NZMP=45°,然后在RtaA。尸中，利用锐角三角函数的定义

求出AP的长，即可解答；

(2)在RtZXA。尸中，利用锐角三角函数的定义求出。尸的长，然后根据题意可得：DE±BC,AB1BC,

PE=AB=lkm,AP=BE=Mkm,从而可得。E=(J5+1)km,再在RtZ\CPE中，利用锐角三角函数

的定义求出CP的长，最后分别求出方案一和方案二铺设小路的总长度，比较即可解答.

【解答】解：(1)由题意得：AP±DP,NZMP=45°,

在尸中，AD=2km,

：.AP=AD-cos45°=2X退_=&(km),

2

*,.AP的长度为

(2)要使得铺设小路的总长度更短，应选择铺设方案二，

理由：在RtZXAZ）尸中，AD=2km,ND4尸=45°,

.*.Z）P=AD-sin45°=2X”=的（km）,

2

由题意得：DE±BC,AB±BC,PE=AB=lkm,AP=BE=yf2km,

；.DE=DP+PE=（A/2+1）km,

在RtZ\CPE中，CE=2km,

•*,CP=VPE2<E2=Vl2+22=（km）,

♦,•方案一：DE+AP—y[2+l+-\[2—（2,\/2+l）km；

方案二：CP+AP=（V5+V2）km,

,?（2A/2+Dkm>（V5+V2）km,

，要使得铺设小路的总长度更短，应选择铺设方案二.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.

29.（2023春•丰都县期末）在奥林匹克运动的故乡古希腊，奥林匹亚阿尔菲斯河岸的岩壁上保留着古希腊

人的一段格言：“如果你想聪明，跑步吧!如果你想强壮，跑步吧!如果你想健康，跑步吧!”古人对聪明、

强壮、健康的奔跑追求，至今仍然在爱跑步的人群中得到传承.跑步已经成为一种大众化运动，越来越

多的人从跑步中受益.如图，四边形48。是一个环湖公园的步行道，AB=AD=Akm,8在A正东方;

C在D正东方，。在A的东北方，C在8北偏东60°方向.

（1）求的长度（结果保留根号）；

（2）小强