2024-2025学年新教材高中数学第8章立体几何初步8.3.1棱柱棱锥棱台的表面积和体积学案含解析新人教A版必修第二册

PAGE8.3简洁几何体的表面积与体积8.学习目标核心素养1.通过对棱柱、棱锥、棱台的探讨，驾驭棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的求法．(重点)2.会求与棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积．(难点、易错点)1.借助棱柱、棱锥、棱台的表面积、体积的计算，培育数学运算素养.2.通过对棱柱、棱锥、棱台的体积的探究，提升逻辑推理的素养.胡夫大金字塔底边原长230米，高146.59米，经风化腐蚀，现降至136.5米，塔的底角为51°51′.假如把建立金字塔的石块凿成平均一立方英尺的小块，平均每块重2.5吨，像一辆小汽车那样大．问题：(1)如何计算建此金字塔需用多少石块？(2)假如在金字塔的表面涂上一层爱护液以防止风化腐蚀，如何计算爱护液的运用量？1．棱柱、棱锥、棱台的表面积多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．2．棱柱、棱锥、棱台的体积棱柱的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)；棱锥的体积公式V＝eq\f(1,3)Sh(S为底面面积，h为高)；棱台的体积公式V＝eq\f(1,3)h(S′＋eq\r(S′S)＋S)．其中，棱台的上、下底面面积分别为S′、S，高为h.思索：简洁组合体分割成几个几何体，其表面积不变吗？其体积呢？[提示]表面积变大了，而体积不变．1．思索辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)几何体的表面积就是其侧面面积与底面面积的和． ()(2)几何体的侧面积是指各个侧面的面积之和． ()(3)等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相同． ()(4)在三棱锥P­ABC中，VP­ABC＝VA­PBC＝VB­PAC＝VC­PAB． ()[答案](1)√(2)√(3)√(4)√2．棱长为3的正方体的表面积为()A．27 B．64C．54 D．36C[依据表面积的定义，组成正方体的面共6个，且每个都是边长为3的正方形．从而，其表面积为6×32＝54.]3．长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则长方体的体积与表面积分别为()A．6,22 B．3,22C．6,11 D．3,11A[V＝1×2×3＝6，S＝2(1×2)＋2(1×3)＋2(2×3)＝22.]4．棱长都是3的三棱锥的表面积S为________．9eq\r(3)[因为三棱锥的四个面是全等的正三角形，所以S＝4×eq\f(\r(3),4)×32＝9eq\r(3).]简洁几何体的表面积【例1】现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积．[解]如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，对角线A1C＝15，B1D∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，∴a2＝200，b2＝56.∵该直四棱柱的底面是菱形，∴AB2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AC,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(BD,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(a2＋b2,4)＝eq\f(200＋56,4)＝64，∴AB＝8.∴直四棱柱的侧面积S＝4×8×5＝160.求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本几何体，再通过这些基本几何体的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积，另外有时也会用到将几何体绽开求其绽开图的面积进而得表面积.eq\o([跟进训练])1．侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是()A．eq\f(3＋\r(3),4)a2 B．eq\f(3,4)a2C．eq\f(3＋\r(3),2)a2 D．eq\f(6＋\r(3),4)a2A[∵侧面都是等腰直角三角形，故侧棱长等于eq\f(\r(2),2)a，∴S表＝eq\f(\r(3),4)a2＋3×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))eq\s\up12(2)＝eq\f(3＋\r(3),4)a2.]简洁几何体的体积【例2】在三棱台ABC­A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1­ABC，三棱锥B­A1B1C，三棱锥C­A1B1[解]设三棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A1B1C1＝4S∴VA1­ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·h＝eq\f(1,3)Sh，VC­A1B1C1＝eq\f(1,3)S△A1B1C1·h＝eq\f(4,3)Sh.又V台＝eq\f(1,3)h(S＋4S＋2S)＝eq\f(7,3)Sh，∴VB­A1B1C＝V台－VA1­ABC－VC­A1B1＝eq\f(7,3)Sh－eq\f(Sh,3)－eq\f(4Sh,3)＝eq\f(2,3)Sh，∴三棱锥A1­ABC，B­A1B1C与C­A1B1C求几何体体积的常用方法eq\o([跟进训练])2．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1­eq\f(1,6)[利用三棱锥的体积公式干脆求解．VD1­EDF＝VF­DD1E＝eq\f(1,3)S△D1DE·AB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6).]棱台与棱锥之间关系的综合问题【例3】已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积．

[解]如图，E，E1分别是BC，B1C1的中点，O，O1分别是下、上底面正方形的中心，则O1O为正四棱台的高，则O1O连接OE，O1E1，则OE＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×12＝6，O1E1＝eq\f(1,2)A1B1＝3.过E1作E1H⊥OE，垂足为H，则E1H＝O1O＝12，OH＝O1E1＝3，HE＝OE－O1E1＝6－3＝3.在Rt△E1HE中，E1E2＝E1H2＋HE2＝122＋32＝32×17，所以E1E＝3eq\r(17).所以S侧＝4×eq\f(1,2)×(B1C1＋BC)×E1E＝2×(6＋12)×3eq\r(17)＝108eq\r(17).在本例中，把棱台还原成棱锥，你能利用棱锥的有关学问求解吗？[解]如图，正四棱台的侧棱延长交于一点P.取B1C1，BC的中点E1，E，则EE1的延长线必过P点(以后可以证明)．O1，O分别是正方形A1B1C1D1与正方形ABCDCC1的延长线过P点，且有O1E1＝eq\f(1,2)A1B1＝3，OE＝eq\f(1,2)AB＝6，则有eq\f(PO1,PO)＝eq\f(O1E1,OE)＝eq\f(3,6)，即eq\f(PO1,PO1＋O1O)＝eq\f(1,2).所以PO1＝O1O＝12.在Rt△PO1E1中，PEeq\o\al(2,1)＝POeq\o\al(2,1)＋O1Eeq\o\al(2,1)＝122＋32＝32×17，在Rt△POE中，PE2＝PO2＋OE2＝242＋62＝62×17，所以E1E＝PE－PE1＝6eq\r(17)－3eq\r(17)＝3eq\r(17).所以S侧＝4×eq\f(1,2)×(BC＋B1C1)×E1E＝2×(12＋6)×3eq\r(17)＝108eq\r(17).解决有关正棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中去解决；二是把正棱台还原成正棱锥，利用正棱锥的有关学问来解决.方法必备1．棱柱、棱锥、棱台的表面积分别是它们侧面绽开图的面积，因此弄清侧面绽开图的形态及侧面绽开图中各线段的长，是驾驭它们的表面积有关问题的关键．2．计算棱柱、棱锥、棱台的体积，关键是依据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面，将空间问题转化为平面问题．3．在几何体的体积计算中，留意体会“分割思想”、“补体思想”及“等价转化思想”．1．如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1­ACDA．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．1A[三棱锥D1­ADC的体积V＝eq\f(1,3)S△ADC×D1D＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×AD×DC×D1D＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6).]2.已知高为3的棱柱ABC­A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1­ABCA．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),6) D．eq\f(\r(3),4)[答案]D3．若正方体的棱长为eq\r(2)，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积为()A．eq\f(\r(2),3) B．2eq\r(3)C．eq\r(3) D．eq\f(\r(2),6)B[所求凸多面体的表面积是两个底面边长为1，高为eq\f(\r(2),2)的四棱锥的侧面积之和，如图，四棱锥的侧棱长l＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(12＋12),2)))eq\s\up12(2))＝1，所以，以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积S＝8×eq\f(1,2)×1×1×sin60°＝2eq\r(3).故选B．]4．把一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则全部小正方体的表面积为________．18a2[原正方体的棱长为a，切成的27个小正方体的棱长为eq\f(1,3)a，每个小正方体的表面积S1＝eq\f(1,9)a2×6＝eq\f(2,3)a2，所以27个小正方体的表面积是eq\f(2,3)a2×27＝18