2021年中考数学考点一遍过(上海专版) 第6章 四边形一（多边形和平行四边形）（教师版含解析）

备战2021年中考数学考点一遍过(上海专用)

第六章四边形(1)

(多边形和平行四边形)

1多边形

知识梳理

1.在平面内，不在同一直线上的一些线段首尾顺次联结所组成的封闭图形，叫做多边形.

由n条线段组成的多边形就称为〃边形(〃23).

组成多边形的每一条线段叫做多边形的边.

相邻的两条线段的公共端点叫做多边形的顶点.

多边形相邻两边所在的射线组成的角叫做多边形的内角.

联结多边形的两个不相邻顶点的线段，叫做多边形的对角线.

对于一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，

那么这个多边形叫做凸多边形；否则叫做凹多边形.

2.多边形内角和定理：〃边形的内角和等于(〃-2).180°(〃N3).

3.由多边形的一个内角的一边和另一边的反向延长线组成的角，叫做多边形的外角.

对于多边形的每一个内角，从与它相邻的两个外角中取一个，这样取得的所有外角的和,

叫做多边形的外角和.

多边形的外角和等于360°.

例题精讲

【例1】若正〃边形的内角为140°,边数〃为.

【参考答案】9.

【例2】如图，BE为正五边形河8£的一条对角线，则.

B

C'-------，D

【参考答案】360.

【例3】一个正多边形的每个外角都是36°,则这个正多边形的边数是.

【参考答案】10.

【例4】一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形的边数是.

【参考答案】4.

【例5】从多边形一个顶点可作17条对角线，则这个多边形内角和为度.

【参考答案】3240.

2平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）

知识梳理

（一）平行四边形

1.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.

2.平行四边形的性质定理1：如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分

别相等.

简述为：平行四边形的对边相等.

平行四边形的性质定理2：如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分

别相等.

简述为：平行四边形的对角相等.

夹在两条平行线间的平行线段相等.

平行四边形的性质定理3：如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线

互相平分.

简述为：平行四边形的两条对角线互相平分.

平行四边形的性质定理4：平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点.

3.平行四边形的判定定理1：如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行

四边形.

简述为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

平行四边形的判定定理2：如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平

行四边形.

简述为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

平行四边形的判定定理3：如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平

行四边形.

简述为：对角线互相平分的四边形是平行四边形.

平行四边形的判定定理4：如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行

四边形.

简述为：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.

【说明】

1.平行四边形的判定还可以用平行四边形的定义：如果一个四边形的两组对边分别平行，

则这个四边

形是平行四边形.

（二）特殊的平行四边形

1.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

2.矩形的性质定理1：矩形的四个角都是直角.

矩形的性质定理2：矩形的两条对角线相等.

菱形的性质定理1：菱形的四条边都相等.

菱形的性质定理2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.

正方形的性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等.

正方形的性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直，每条对角线平分一组对

角.

3.矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形.

矩形判定定理2：对角线相等的平行四功形是矩形.

菱形判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形.

菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

【说明】

1.菱形、矩形、正方形具有平行四边形的所有性质.

2.菱形和正方形的面积还可用对角线乘积除以2求得

【总结】

1.平行四边形满足的性质：①、②、④、⑤、⑧、⑫

2.菱形满足的性质：①、②、④、⑤、⑥、⑧、⑨、⑪领⑬

3.矩形满足的性质：①、②、③、④、⑤、⑦、⑧、⑩、⑪，领⑬I

例题精讲

【题型--平行四边形】

【例1】四边形他CD中，对角线AC、BD交于点、O.给出下列四组条件：

①AB〃CE>,AD//BC；

@AB=CD,AD=BC-,

@AO=CO,BO=DO；

@AB//CD,AD^BC.

其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件共有（）

A.1组；8.2组；C.3组；D.4组.

【参考答案】C.

【例2】在四边形458中，AD//BC,要使四边形他8是平行四边形，还需

添加一个条件，这个条件可以是.（只要填写一种情况）

【参考答案】AD=3。（答案不唯一）.

【例3】已知：平行四边形他CD中，点”为边CZ）的中点，点N为边钻的中点，联结

AM.CN.

（1）求证：AM//CN；

（2）过点3作3HLiM,垂足为，，联结C”.求证：△BCH是等腰三角形.

【参考答案】

证明：（D：四边形4BCD是平行四边形，AB〃C。且AB=C£>.

:点M、N分别是边C。、A3的中点，ACM=~CD,AN=-AB.

22

：.CM=AN.又‘：AB"CD,

二四边形4VCW是平行四边形AM//CN.

（2）将CN与BH的交点记为E."：BHLAM,：.NAHB=90°.

AM//CN,：.NNEB=ZAHB=90°.即。V_LBH.

..."6.BN_EB

•AM//CNV,•・----=-----.

ANEH

•・•点N是AB边的中点，:・AN=BN.：.EB=EH.

・・・直线CN是线段BH的垂直平分线.CH=CB.即aBCH是等腰三角形.

【题型二•菱形】

【例1】下列正方形的性质中，菱形（非正方形）不具有的性质是（）

4.四边相等；B.对角线相等；

C.对角线平分一组对角；D.对角线互相平分且垂直.

【参考答案】B.

【例2】如果平行四边形ABCD的对角线相交于点O,那么在下列条件中，能

判断平行四边形MCD为菱形的是（）

A.NOAB=/OBA；B.NOAB=NOBC；

C.NOAB=NOCD；D.ZOAB=ZOAD.

【参考答案】D.

【例3】在四边形ABCD中，如果"〃CO,AB=BC,要使四边形A3CZ）是菱

形，还需添加一个条件，这个条件可以是.

【参考答案】48=8（答案不唯一）.

【例4】己知菱形的面积为96C/T?,两条对角线之比为3：4,则菱形的周长为

【参考答案】40cm.

【例5】如图，在菱形MCD中，BHLAD于H,且A”：印)=3:2.

(1)试求.历叱54。的值；

(2)若菱形ABCD的面积为100,试求其两条对角线BD与AC的长.

【参考答案】

解：⑴令A〃=34,DH=2k,

由四边形ABCD为菱形得AB=AD=+"D=5人.

在心△AB"中，ZBHA=90°,AH=3k,AB=5k.

I-;------rBH4

BH=<AB2-AH2=4k.，sinABAD=—=-.

AB5

2

(2)VS^iABCD=ADBH=5k-4k=20k,

又新以/磔印00，二？。公=100,解得人=括.

又在Rf△BDH中,NBHD=90°,DH=2k=2君,BH=4k=4出,

：.BD=yjBH2+DH2=10,

S焚^形ABCLD=-2BDAC=2-x]QAC=5AC,

又*•'S^ABCD=100-；♦5AC=100,；•AC=20.

【例6】如图(1),在菱形ABC。中，AEYBC,AF±CD,垂足为E、F.

(1)求证：△皿L

(2)若Nfi4£=NE4F,求证：AE=BE；

(3)若对角线8。与AE、A尸交于点例、N,且BM=MN(如图(2)).求证:

ZEAF^2ZBAE.

【参考答案】

解：(1)；四边形43CZ)是菱形，AAB=AD,ZABE=ZADF,

又；AEJLBC,AFA.CD,：.ZAEB=ZAFD,：./\ABE^^ADF.

(2)：四边形ABCD是菱形，A3〃CD,

又,.•AF_LCD,AAFLAB,：.ZBAF=90°,

又Nfi4£=ZE4F,/.ZBAE=45%

,/ZAEB=90°,ZB=45°=ZBAE,AAE=BE.

(3)'：/XABE^^ADF,：.ZBAE=ZDAF,AB=AD,

：.ZABM=ZADN,

：./^ABM^/\ADN.：.AM^AN,

又；Na47V=90°,BM=MN,：.AM=MN=AN,

：.ZMAN=6O°,：.ZMAB=30°,：.ZEAF=2ZBAE.

【例7】已知：如图，在梯形ABCD中，AD〃8C,点E、/在边3c上，DE//AB,AF

//CD,且四边形/1EFD是平行四边形.

(1)试判断线段AD与8c的长度之间有怎样的数量关系？并证明你的结论;

(2)现有三个论断：

®AD=AB；

②NB+NC=90°；

③NB=2NC.

请从上述三个论断中选择一个论断作为条件，证明四边形的D是菱形.

【参考答案】

(D解：线段相＞与5c的长度之间的数量为：BC=3AD.

证明：":〃AB,...四边形ABED是平行四边形.

:.AD=BE.同理可证，四边形加力是平行四边形.

：.AD=FC.又I•四边形田D是平行四边形，

:.AD^EF.：.AD=BE=EF=FC.BC=3AD.

(2)解：选择论断②作为条件.

证明：VDE//AB,:.ZB=ZDEC.

ZB+ZC=90°,/./DEC+NC=90°.即得NEDC=90°.

又；EF=FC,/•DF=EF.

•••四边形AEFD是平行四边形，.•.平行四边形AEFD是菱形.

【题型三】矩形

【例1】下列关于四边形是矩形的判断中，正确的是()

A.对角线互相平分；B.对角线互相垂直；

C.对角线互相平分且垂直；D.对角线互相平分且相等.

【参考答案】D.

【例2】我们把两个能够完全重合的图形称为全等图形，则下列命题中真命题是（）

A.有一条边长对应相等的两个矩形是全等图形；

B.有一个内角对应相等的两个菱形是全等图形；

C.有两条对角线对应相等的两个矩形是全等图形；

D.有两条对角线对应相等的两个菱形是全等图形.

【参考答案】D.

【例3】四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）

A.AB=CD；B.AD=BC；C.AB=BC；D.AC=BD.

【参考答案】D.

【例4】已知：如图，在四边形中，点G在边BC的延长线上，CE平分/BCD、CF

平分NGC£>,EF//BC交CD于■点0.

（1）求证：OE=OFx

（2）若点。为CZ）的中点，求证：四边形OECF是矩形.

【参考答案】

证明：（1）；CE平分ZBCD、CF平分ZGCD：.ZBCE=ZDCE,NDCF=NGCF

EF//BC,ZBCE=ZFEC,NEFC=ZGCF

ZDCE=NFEC,AEFC=/DCF：.OE-OC,OF=OC,OE=OF.

(2)：点。为CD的中点，AOD=OC,又OE=OF,

/.四边形DECF是平行四边形CE平分ZBCD、CF平分NGCD,

：.ZDCE=-ZBCD,ZDCF=-ZDCG

22

NDCE+NDCF=g(NBCD+NDCG)=g/BCG=90°

ZDCE+ZJDCF=AECF,：.NECF=90°

.四边形。EC户是平行四边形，.,.平行四边形DEC产是矩形.

【题型四】正方形

【例1】在下列命题中，真命题是（）

A.两条对角线相等的四边形是矩形；

B.两条对角线互相垂直的四边形是菱形；

C.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；

D.两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形.

【参考答案】c.

【例2】已知四边形A8CD中，ZA=ZB=ZC=90\如果添加一个条件，即可判定该四边

形是正方形，那么所添加的这个条件可以是（）

A.Z£>=90°；B.AB=CD；C.AD=BC；D.BC=CD.

【参考答案】D.

【例3】下列命题中，错误的是（）

A.有一个角是直角的平行四边形是正方形；B.对角线相等的菱形是正方形；

C.对角线互相垂直的矩形是正方形；D.一组邻边相等的矩形是正方形.

【参考答案】A.

【例4】已知：如图，在梯形至8中，AD//BC,AB=CD,BC=2AD,DEA.BC,垂

足为点尸，且尸是的中点，联结AE,交边8C于点G.

(1)求证：四边形MG。是平行四边形；

(2)如果4£>=夜48,求证：四边形DGEC是正方形.

【参考答案】

证明：⑴,：DE上BC,尸是OE的中点，，:.DC=EC.

即得“＜才=/£。尸.又二AD"BC,AB=CD,

：.ZB^ZDCF,AB=CE.：.ZB=NECF.：.AB//EC.

y.'：AB^EC,：.四边形AflEC是平行四边形.，BG=CG=』3C.

2

VBC=2AD,：.AD=BG.

又力〃8G,.,.四边形ABGD是平行四边形.

(2)：四边形486£＞是平行四边形，,43〃。6,AB=DG.

又,.,4?〃EC,AB=EC,：.DG//EC,DG=EC.

•••四边形DGEC是平行四边形.

又,：DC=EC,：.四边形DGEC是菱形.二DG=DC.

由4。=夜48,即得CG=V5OC=&OG.

DG2+DC-=CG2.，NGDC=90°.；.四边形DGEC是正方形.

真题训练

1.(2018•上海)已知平行四边形A8C。，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是

A.ZA=ZBB.Z4=ZCC.AC=BDD.ABA.BC

【分析】由矩形的判定方法即可得出答案.

【解答】解：A、Z4+N8=180。，所以NA=NB=90。，可以判定这个平行四边形

为矩形，正确;

B、ZA=NC不能判定这个平行四边形为矩形，错误；

C、AC=小），对角线相等，可推出平行四边形A8c。是矩形，故正确:

D、ABYBC,所以NB=90°,可以判定这个平行四边形为矩形，正确;

故选：B.

2.（2018•上海）对于一个位置确定的图形，如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上,

且该图形与矩形的每条边都至少有一个公共点（如图1）,那么这个矩形水平方向的边长称为该图

形的宽，铅锤方向的边长称为该图形的高.如图2,菱形45co的边长为1,边45水平放

置.如果该菱形的高是矩形的宽的士，那么矩形的宽的值是.

3------

【分析】先根据要求画图，设矩形的宽AF=x,则CF=2x,根据勾股定理列方程可得结论.

3

【解答】解：在菱形上建立如图所示的矩形E4FC,

2

设AF=x,则CV=—x,在RtACBF中，CB=1,BF=x-\,

3

由勾股定理得：BC2=BF2+CF-,l2=(x-l)2+

解得：x=更或0（舍），即它的宽的值是竺，故答案为：-

131313

3.（2017♦上海）已知平行四边形ABC£>,AC、皮）是它的两条对角线，那么下列条件中，能判

断这个平行四边形为矩形的是（）

A.ZBAC=ZDCAB.ZBAC=ZDACC.ZBAC=ZABDD.ZBAC=ZADB

【分析】由矩形和菱形的判定方法即可得出答案.

【解答】解：A、ZBAC=ZDCA,不能判断四边形是矩形；

B、ZBAC-ZDAC,能判定四边形是菱形；不能判断四边形是矩形；

C、ABAC=ZABD,能得出对角线相等，能判断四边形ABCD是矩形；

D、ABAC=ZADB,不能判断四边形是矩形；

故选：C

4.（2017•上海）已知：如图，四边形43CD中，AD//BC,AD=CD,E是对角线比>上一点,

且£4=EC.

（1）求证：四边形A88是菱形;

（2）如果B£=8C,且/€7组:48四=2:3,求证：四边形ABC。是正方形.

【分析】（1）首先证得=由全等三角形的性质可得NADEuNCDE',由A£>〃BC

可得NA£>E=NC8£）,易得NCDB=NCBD,可得3c=8，易得">=3C,利用平行线的

判定定理可得四边形ABCD为平行四边形，由4。=CD可得四边形是菱形；

⑵由BE=BC可得\BEC为等腰三角形，可得N3CE=N8EC,利用三角形的内角和定理可得

ZCBE=180xl=45°,易得ZABE=45。,可得NABC=90。，由正方形的判定定理可得四边

4

形ABC。是止方形.

AD=CD

【解答】证明：（1）在石与ACT）石中，,。后=。后，

EA=EC

:.&\DEw〉CDE,:.ZADE=NCDE,

AD/IBC.：.ZADE=ZCBD,：.NCDE=NCBD,:.BC=CD,

•;AD=CD,.・.BC=AD,

••・四边形A8CD为平行四边形，

・・・AZ）=8,.•.四边形ABC。是菱形；

（2）・・・BE=BCZBCE=/BEC,

2

NCBE:ZBCE=2:3,ZCBE=180x-----------=45°,

2+3+3

•.•四边形是菱形，.•.NABE=45。，.•.NABC=90。，.•.四边形ABC£）是正方形.

模拟题专练

1.（2019•虹口区二模）正六边形的半径与边心距之比为（）

A.1：GB.-73:1C.6:2D.2:73

【分析】求出正六边形的边心距（用R表示），根据“接近度”的定义即可解决问题.

【解答】解：•.•正六边形的半径为R，

.,.边心距r=R:r=i:=2:\/3.故选：D.

22

2.（2019•嘉定区二模）对于一个正多边形，下列四个命题中，错误的是（）

A.正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴

B.正多边形是中心对称图形，正多边形的中心是它的对称中心

C.正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角

D.正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补

【分析】利用正多边形的对称轴的性质、对称性、中心角的定义及中心角的性质作出判断即可.

【解答】解：A、正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴，正确，故此选项

错误；

正奇数多边形多边形不是中心对称图形，错误，故本选项正确；

C、正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角，正确，故本选项错误；

。、正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补，正确，故本选项错误.

故选：B.

3.（2020•奉贤区一模）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当正多边形的边数无限增加时，这

个正多边形面积可无限接近它的外接圆的面积，因此可以用正多边形的面积来近似估计圆的面积,

如图，口O是正十二边形的外接圆，设正十二边形的半径。4的长为1,如果用它的面积来近似

估计口。的面积，那么口。的面积约是.

【分析】设四为正十二边形的边，连接08,过A作A£>_LO8于。，由正十二边形的性质得出

NAO8=30。，由直角三角形的性质得出A£>=，OA=,，求出AAO8的面积=」OBxA£）=’,即

2224

可得出答案.

【解答】解：设的为正十二边形的边，连接08,过A作于O,如图所示：

360°I1

/.ZAOB=——=30。，vAD.LOB,:.AD=-OA=-,

1222

.•.△403的面积=,03'4。=工'1、!=1正十二边形的面积=12x2=3,

22244

，口O的面积"正十二边形的面积=3,故答案为：3.

A

O

4.（2020•闵行区一模）正五边形的边长与边心距的比值为—.（用含三角比的代数式表示）

【分析】根据圆内接正五边形的性质求出NBOC，再根据垂径定理求出Nl=36。，然后利用勾股

定理和解直角三角形即可得解

【解答】解：•.PO是正五边形ABCZ9E的外接圆，

ZBOC=-x360°=72°.

J5

Z1=-ZBOC=-x72°=36°,

22

设这个正五边形的边长为。，半径为R，边心距为r,/?2一,=（；〃了=；/,

—a=/?sin36°»a=27?sin36°：—a=rtan36°>.,.a=2；"tan36°,z.—=2tan36°,

22r

故正五边形的边长与边心距的比值为2tan36。，故答案为：2tan36。.

5.（2020•崇明区一模）正五边形的中心角的度数是.

【分析】根据正多边形的圆心角定义可知：正”边形的圆中心角为36更0°，则代入求解即可.

n

【解答】解：正五边形的中心角为：弛=72。.

5

故答案为：72°.

6.（2019•浦东新区二模）已知一个正多边形的中心角为30度，边长为x厘米（x>0）,周长为y

厘米，那么y关于x的函数解析式为.

【分析】由正多边形的中心角的度数，根据圆心角定理求出正多边形的边数，即可得出结果.

【解答】解：•.•正多边形的中心角为30度，

二”⑵

30°

二正多边形为正十二边形，

设边长为x厘米(x>0),周长为y厘米，则y关于x的函数解析式为：y=12x；

故答案为：y=12x.

7.(2019•金山区二模)一个正多边形的对称轴共有10条，且该正多边形的半径等于4,那么该

正多边形的边长等于.

【分析】根据釉对称图形的性质得到这个正多边形是正十边形，求出正十边形的中心角，作4C

平分NQAB交08于C,根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可.

【解答】解：•.•正多边形的对称轴共有10条，

这个正多边形是正十边形，

设这个正十边形的中心为O,则。4=。8=4,

ZAOB=^36—0°=36°,-：OA=OB,:.AOAB=AB=1T,

10

作AC平分NOAB交08于C,则NQ4C=NO,ZACB=ZB.

,-.OC=CA=AB-^ABC^\OAB.即AB?=4x(4-A8),

OAAB

解得，Aq=2逐-2,=-2后-2(舍去)，

:.AB=2亚一2,故答案为：2后-2.

'B

8.（2019♦崇明区一模）如果一个正六边形的半径为2,那么这个正六边形的周长为.

【分析】根据正六边形的半径等于边长进行解答即可.

【解答】解：正六边形的半径等于边长，

.••正六边形的边长。=2,

正六边形的周长=&/=12,

故答案为：12.

9.（2019•松江区二模）正六边形的中心角等于度.

【分析】根据正六边形的六条边都相等即可得出结论.

【解答】解：•.•正六边形的六条边都相等，

.••正六边形的中心角="=60°.

6

故答案为：60.

10.（2019•长宁区一模）边长为6的正六边形的边心距为.

【分析】已知正六边形的边长为6,欲求边心距，可通过边心距、边长的一半和内接圆半径构造

直角三角形，通过解直角三角形求解即可.

【解答】解：如图所示，此正六边形中48=6,

则Z4O8=6（）。：-：OA=OB^，A04B是等边三角形，

•：OGLAB,/.ZAOG=30%OG=OADcos30°=6x—=3>/3,故答案为30.

2

UAGB/

11.（2019春•嘉定区期末）如果平行四边形ABCD两条对角线的长度分别为AC=8,〃，

BD=12cm,那么3c边的长度可能是（）

A.BC=2cmB.BC=6cmC.BC=lOcmD.BC=20cm

【分析】根据平行四边形的对角线互相平分确定对角线的一半的长，然后利用三角形的三边关系

确定边长的取值范围，从该范围内找到一个合适的长度即可.

【解答】解：设平行四边形的对角线交于。点，

,-.OA=OC=4,OB=OD=6,/.6-4<BC<6+4.-.2<BC<10,

.•.6cm符合，故选：B.

12.（2019春•浦东新区期中）下列条件中不能判定一定是平行四边形的有（）

A.一组对角相等，一组邻角互补

B.一组对边平行，另一组对边相等

C.两组对边相等

D.一组对边平行，且一条对角线平分另一条对角

【分析】平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）

两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）

两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形.根据平

行四边形的判定逐一验证.

【解答】解：A、能用两组对角相等的四边形是平行四边形判定平行四边形；

8、不能判定平行四边形，如等腰梯形；

C、能用两组对边相等的四边形是平行四边形判定平行四边形；

D、能用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定平行四边形：

故选：B.

13.（2019春•杨浦区期中）如图，在平行四边形ABC。中，对角线AC=1O,

BD=24,则A£>=.

【分析】利用平行四边形的性质和勾股定理易求AO的长.

【解答】解：•.•□ABCZ）的对角线AC与即相交于点O,

.-.BO=DO=-BD=\2,AO=CO=-AC=5,

22

■.■ABrAC.AD=V52+122=13,故答案为：13.

14.（2019•嘉定区二模）如图，平行四边形45co的对角线AC、BD交于点、O,过点O的线段

EF与AD、8c分别交于点E、F,如果4?=4,BC=5,OE=-,那么四边形EF8的周

2

长为.

【分析】根据平行四边形的性质知，AB=CD=4,AD=BC=5,AO=OC,ZOAD=ZOCF,

NAOE和NCOF是对顶角相等，根据全等三角形的性质得到OF=OE=1.5,CF=AE,所于是

得到结论.

【解答】解：•.•四边形平行四边形，

.-.AB=CD=4,AD=BC=5,AO=OC，ZOAD=ZOCF,ZAOE=NCOF,

:.\OAE=\OCF{AAS),：.()F=OE=\.5,CF=AE,

.•.四边形EFCD的周长=££>+CD+CF+OF+OE

^ED+AE+CD+OE+OF

AD+CD+OE+OF

=4+5+1.5+1.5

=12.

故答案为：12.

15.（2019春•浦东新区校级月考）如图，在平行四边形4JCD中，ZABC=60°,BC=2AB=S,

点C关于4）的对称点为E,连接BE交AD于点F,点G为CO的中点，连接EG,8G,则

S&BEG=----------'

【分析】如图，取8c中点“，连接AH,连接EC交AD「N,作EM_LC£>交CD的延长线于

M.构建5AMe=SARCE+S^-S^计算即可；

【解答】解：如图，取BC中点4,连接AH,连接EC交AD于N,作项f_LCD交CD的延长

线于M.

•：BC=2AB,BH=CH,Z4BC=60。，：.BA=BH=CH,

.■.AABH是等边三角形，:.HA=HB=HC.ABAC=90°,.-.ZACB=30°.

■.■ECA-BC,ZBCD=180°-ZABC=120°,.-.ZACE=60°,ZECM=30°,

•.-8C=248=8,:.CD=4,CN=EN=26/.EC=4^.EM=273,

•,^AHEG=S,\BCE+SKG-^MiCG

=5x8x4,y3+—x2x2#--S平行四边彩48co

=16^+2>/3-45/3

=146.

故答案为46.

E

16.(2019春♦杨浦区期中)如果一个平行四边形的一个内角的平分线分它的一边为1:2两部分，

那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”，当协调边为6时,它的

周长为.

【分析】由平行四边形的性质和角平分线的定义得出/归=AE；分两种情况：①当他=2,

£)E=4时；②当A£=4,£>E=2时；即可求出平行四边形的周长.

【解答】解：如图所示：①当AE=2,叱=4时.，

•.•四边形438是平行四边形，

:.BC=AD=6,AB=CD，AD//BC,;.ZAEB=NCBE,

•.•BE平分ZA8C,:.ZABE=ZCBE,:.ZABE=ZAEB..-.AB=AE=2,

.•・平行四边形ABCD的周长=2(AB+AD)=16：

②当AE=4,止=2时，同理得：AB=A£=4,.•.平行四边形ABCD的周长=2(AB+AD)=20；

故答案为：16或20.

17.(2019春•金山区期末)已知：如图，LI/WCD中，AE,CF分别是和ZBCO的角平分

线，分别交边。C、A8于点E\F,求证：AE=CF.

D,EC

【分析】根据平行四边形的性质及角平分线的定义，证明=尸即可判断A£=CF.

【解答】解：•.•四边形A3CZ）是平行四边形，.•.N£MB=NDCB,ZD=ZB,AD=BC.

■：AE^C厂分别是NS4£）和N8CD的角平分线，:.ZDAE=ZBCF.

MDE=ACBF（ASA）.:.AE=CF.

18.（2019春•杨浦区期中）在平行四边形A8CD中，ZA=45°,BD1AD,BD=2.

（1）求平行四边形43CZ）的周长和面积；

（2）求A、C两点间的距离.

【分析】⑴由等腰直角三角形的性质得出4>=切>=2,由勾股定理求出

AB=y]AD2+BD2=2>/2,由平行四边形的性质得出。C=AB=2四，BC=AD=2,即可得出

平行四边形的周长和而积；

（2）连接AC,与皿相交于点O,由平行四边形的性质得出8=1B£>=1,AC=2AO,由勾股

2

定理求出。4，得出AC=24即可.

【解答】（1）解：；8。_1_4）；./4£）8=90。

又•.•ZA=45°，ZA8r>=45°，">=8D=2,r.AB=4AD?+BD?=2&,

•.•四边形ABC。是平行四边形，:.DC=AB=2叵,BC=AD=2,

'''C平行四边形Aso?=2AB+2AD=2（2^+2）=4P+4.

$平行四边形ABCO=A。xBD=2x2=4；

（2）解：连接AC,与迎相交于点O,如图所示:

•.•四边形AB8是平行四边形，,AC=2AO,

2

•••在RlAAOD中，ZADO=90°,OA=>JAD2+OD2=V22+12=石,

AC=245,所以A、C两点间的距离为2逐.

19.（2018秋•黄浦区校级月考）已知：如图，在UABCD中，AC=4,BD=6,CA±AB,求

A8a）的周长和面积.

【分析】依据平行四边形的对角线互相平分，即可得到AO=2,BO=3,再根据勾股定理即可

得出45与8c的长，进而得到口ABCD的周长和面积.

【解答】解：如图所示，♦.•AC=4,BD=6..\AO=2,80=3,

又•.•C4JLAB,.〔RtAAOB中，AB=《BO?-AO?=招-22=亚,

RtAABC中，BC=4AB-+AC2=个电丫+42=后,

的周长=2(石+庖)=2逐+2历，E1/W8的面积=A8xAC=&x4=46.

20.（2018春•金山区期中）己知，如图，在等边AABC中，。是3c边上一点，F为边上一

点，且C£>=3尸，以为边作等边AADE,联结砂、FC.求证：

(1)MZX7SACFB；

(2)四边形£尸8是平行四边形.

【分析】(1)A4C。和AC8尸中，已知的条件有：AC=BC，CD=BF,ZACD=ZCBF=60°

根据SAS即可判定两个三角形全等.

(2)由⑴的全等三角形知：AD=CF,即OE=CF=AO；因此只需判断DE与C尸是否平行即

可，由⑴的全等三角形，可得ZDAC=NBCF,而ZBCF+ZACG=60°,即

ZC4£>+ZACG=60°；根据三角形外角的性质，可得NAGF=60。=NCGD,由此可判定

DE//FC，即可得出四边形CDE产的形状.

【解答】证明：(D8c为等边三角形，

AC=BC，ZACD=ZB=60°,•:CD=BF,:.AACD=ACBF(SAS)；

(2)四边形CDEF为平行四边形；

-.-M.CD=ACBF；:.ZDAC=ZBCF.CF=AD-

•.•A4£E>是等边三角形；;.AD=DE；;.CF=DE①;

♦.•ZACG+N8C尸=60°；ZACG+ZDAC=^)°■,

ZAGC=]80°-(ZACG+ADAC)=120°；ADGF=ZAGC=120°；

•.•A4ED是等边三角形；.-.ZADE=60°；:.ZDGF+ZADE=i80°；:.CF//DE@x

综合①②可得四边形CDEF是平行四边形.

21.(2018春•浦东新区期中)如图，口ABCD中，E、F是直线AC上两点，且AE=C尸.

求证：(1)BE=DF：

(2)BE!IDF

E

D.

【分析】(1)利用平行四边形的性质借助全等三角形的判定与性质得出即可：

(2)利用全等三角形的性质结合平行线的判定方法得出即可.

【解答】证明：(1A.•四边形ABCD是平行四边形，

;.AD=BC，AD//BC,:.ZDAC=ZBCA■ZDAF=ZBCE,

•：AE=CF,AF=EC,

AF=CE

在AFAD和A£CB中，＜ZFAD=ZECB,AFAD=^ECB(SAS),:.BE=DF；

AD=BC

(2)-.-^FAD=AECB,

;.NF=NE,:.BE//DF.

22.(2018春•浦东新区期中)在平行四边形至8中，分别以4)、8c为边向内作等边A4DE

和等边ABC/，连接8£\DF.求证：四边形尸是平行四边形.

【分析】由题意先证NZM£=NBCF=60。，再由SAS证ADC尸三AS4£,继而题目得证.

【解答】证明：•.•四边形ABCD是平行四边形，.•.CD=AB,AD=CB,ZDAB=ZBCD.

又♦.•AM织和AC8产都是等边三角形，/，AE=CF.

ZDAE=ZBCF=6O°.ZDCF=ZBCD-ZBCF,ZBAE=ZDAB-ZDAE,

:.ZDCF=ZBAE.:.ADCF=ABAE(SAS).:.DF=BE.

.•・西边形尸是平行四边形.

23.（2019•杨浦区三模）如图，在四边形ABCD中，AC与比>相交于点O,ZBAD=90°,

BO=DO,那么添加下列一个条件后，仍不能判定四边形A8CD是矩形的是（）

A.ZABC=90°B.ZfiCD=90°C.AB=CDD.AB//CD

【分析】根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形

是矩形分别进行分析即可.

【解答】解：A、•.•/^4£>=90。，BO=DO,.\OA=OB=OD,

-,•Z4BC=90°.:.AO=OB=OD=OC,即对角线平分且相等，

四边形ABCD为矩形，正确；

B、•.•NBAD=90°,BO=DO,

：.OA=OB=OD,vZBCD=90°.：.AO=OB=OD=（XJ,

即对角线平分且相等，.•.四边形钻8为矩形，正确；

C、NBAD=90°,BO=DO,AB=CD,无法得出AABO三ADCO，

故无法得出四边形43co是平行四边形，进而无法得出四边形A8CD是矩形，错误；

D、­■•AB\\CD,ZBAD=90°，/.ZADC=90°，

■：BO=DO,:.OA=OB=OD,ZDAO=ZADO•;.ZBAO=NODC，

•.•ZAOB=ZD（）C,.♦.AAOBMADOC,..AB=CD,二四边形ABCD是平行四边形，

­.•ZBAD=90°..1ABCD是矩形，正确；故选：C.

24.（2019•浦东新区二模）已知在四边形45a）中，ADHBC,对角线AC与8/）相交于点O,

AO=CO,如果添加下列一个条件后，就能判定这个四边形是菱形的是（）

A.BO=DOB.AB=BCC.AB=CDD.ABHCD

【分析】根据平行线的性质得到NAQ8=NCQ,根据全等一角形的性质得到AQ=8C,于是得

到四边形是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到即可.

【解答】解：//BC,ZAQ3=NCB£＞，

ZDB=ZCBD

在AADO与ACBO中，■NAOD=ZCOB.

OA=CO

:.^ADO^\CBO{AAS）,.•.4）=CS,.•.四边形ABCD是平行四边形,

•.•钻=8。.・.四边形钻8是菱形；故3正确；故选：B.

25.（2019•普陀区二模）如图，口A3C£）的对角线4C、8£）交于点O,顺次连接口488各边中

点得到一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：®ACYBD；②〃加=68。；

③ZDAO=NCBO；④ZDA0=NBAO,可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数

是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关,

利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形.逐一对四个条件进行判断.

【解答】解：顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关,

利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形.

®-.-AC±BD..•.新的四边形成为矩形，符合条件；

②•四边形ABCD是平行四边形，.♦.AO=OC,BO=DO.

^MRO=C\cBO'''''BC.

根据等腰三角形的性质可知BOLAC,；.5£＞，AC.所以新的四边形成为矩形，符合条件;

③・・•四边形ABC。是平行四边形，.•.NC3O=NAPO.

•••NZMO=NC8O，,\ZADO=ZDAO.

AO=OD.

;.AC=B3，.•.四边形是矩形，连接各边中点得到的新四边形是菱形，不符合条件；

@-.-ZDAO=ZBAO,BO=DO,

AOrBD,即平行四边形ABCD的对角线互相垂直，

,新四边形是矩形.符合条件.所以①②④符合条件.故选：C.

26.（2019•徐汇区二模）在四边形ABCD中，AB//CD,AB=AD,添加下列条件不能推得四边

形ABCD为菱形的是（）

A.AB=CDB.AD/IBCC.BC=CDD.AB=BC

【分析】根据菱形的定义及其判定、矩形的判定对各选项逐一判断即可得.

【解答】解：A选项：若钻=8,•.♦AB//CO，.•.四边形是平行四边形，

当=AT>nJ判定四边形ABCD是菱形；

B选项：当AD//8C时，又A8//CD,.•.四边形是平行四边形，

当=可判定四边形ABC。是菱形；

C选项：当3c=8时，AABCaMC£>（SAS）,.-.ZA=ZC.

•：AB//CD..­.ZC+ZABC=180°.:.ZA+ZABC=\S（T.:.AD//BC.乂AB//CD,

四边形ABCD是平行四边形，当/W=AD可判定四边形AfiCD是菱形；

。选项只能说明四边形的三条边相等，所以不能判定是菱形.故选：D.

27.（2018•闵行区二模）已知四边形43co是平行四边形，下列结论中不正确的是（