高一数学下册期末考点大串讲(人教A版)第7讲基本不等式(专题测试)特训（学生版+解析）

第7讲基本不等式（专题测试）第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共10小题）1．（2020•黔东南州模拟）若log2x+log4y＝1，则x2+y的最小值为（）A．2 B．2 C．4 D．22．（2020春•西城区校级月考）已知a＞0，b＞0，a+b＝1，若α＝，则α+β的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．63．（2020•温岭市校级模拟）若正实数a，b，满足a+b＝1，则+的最小值为（）A．2 B．2 C．5 D．44．（2019秋•南城县校级期末）已知正数x，y满足x+y＝1，且≥m，则m的最大值为（）A． B． C．2 D．45．（2020•大观区校级模拟）如图所示，矩形ABCD的边AB靠在墙PQ上，另外三边是由篱笆围成的．若该矩形的面积为4，则围成矩形ABCD所需要篱笆的（）A．最小长度为8 B．最小长度为4 C．最大长度为8 D．最大长度为46．（2019秋•淮安期末）函数y＝2x+（x＞1）的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．87．（2020•德阳模拟）已知x，y为正实数，则的最小值为（）A． B． C． D．38．（2019秋•常州期末）在下列函数中，最小值是2的是（）A．（x∈R且x≠0） B． C．y＝3x+3﹣x（x∈R） D．）9．（2020•浙江模拟）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+4b2﹣c＝0，且使|2a+b|最大时，的最小值为（）A． B． C．﹣2 D．210．（2019秋•龙岩期中）已知实数a，b满足a2﹣4lna﹣b＝0，c∈R，则（a﹣c）2+（b+2c）2的最小值为（）A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共4小题）11．（2020•全国Ⅰ卷模拟）已知实数x，y满足y≥2x＞0，则的最小值为．12．（2020•嘉兴模拟）已知正实数x，y满足x+2y＝3，则xy的最大值为，的最小值为．13．（2020•和平区模拟）已知a＞0，b＞0，当（a+4b）2+取得最小值为时，a+b＝．14．（2020•汉中一模）已知函数f（x）＝loga（x+3）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+4＝0上，其中mn＞0，则的最小值为．三．解答题（共3小题）15．（2020•3月份模拟）已知实数x、y、z满足x﹣2y+z＝4．（1）求x2+y2+z2的最小值；（2）若y＝x+z，求xz的最大值．16．（2019秋•葫芦岛期末）设a，b是正实数，求证：（1）若a+2b＝1，求a2+b2的最小值；（2）若a2+4b2＝1，求的最大值．17．（2019秋•南山区校级期末）已知正实数x，y满足等式2x+5y＝20．（1）求u＝lgx+lgy的最大值；（2）若不等式+4m恒成立，求实数m的取值范围．第7讲基本不等式（专题测试）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2020•黔东南州模拟）若log2x+log4y＝1，则x2+y的最小值为（）A．2 B．2 C．4 D．2【解析】解：因为log2x+log4y＝log4x2+log4y＝log（x2y）＝1，∴x2y＝4（x＞0，y＞0），则x2+y≥2＝4，当且仅当x2＝y＝2时等号成立，则x2+y的最小值为4．故选：C．【点睛】本题考查了对数的运算法则与基本不等式的性质应用，属于基础题．2．（2020春•西城区校级月考）已知a＞0，b＞0，a+b＝1，若α＝，则α+β的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解析】解：∵a＞0，b＞0，a+b＝1，若α＝，∴α+β＝a+b++＝1+＝3+≥3+2＝5，当且仅当，也即当a＝b＝时，α+β取最小值5．故选：C．【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题．3．（2020•温岭市校级模拟）若正实数a，b，满足a+b＝1，则+的最小值为（）A．2 B．2 C．5 D．4【解析】解：根据题意，若正实数a，b，满足a+b＝1，则+＝+＝++3≥2×+3＝5，当且仅当b＝3a＝时等号成立，即+的最小值为5；故选：C．【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用，注意基本不等式的形式，属于基础题．4．（2019秋•南城县校级期末）已知正数x，y满足x+y＝1，且≥m，则m的最大值为（）A． B． C．2 D．4【解析】解：根据题意，正数x，y满足x+y＝1，则＝+＝（y+1）+﹣4+（x+1）+﹣4＝（+）﹣5，又由+＝（+）[（x+1）+（y+1）]＝[8++]≥，当且仅当x＝y＝时等号成立，则＝（+）﹣5≥﹣5＝，即的最小值为，若≥m，则m的最大值为；故选：B．【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用，注意对的变形，属于基础题．5．（2020•大观区校级模拟）如图所示，矩形ABCD的边AB靠在墙PQ上，另外三边是由篱笆围成的．若该矩形的面积为4，则围成矩形ABCD所需要篱笆的（）A．最小长度为8 B．最小长度为4 C．最大长度为8 D．最大长度为4【解析】解：设BC＝a，CD＝b，则ab＝4，所以围成矩形ABCD所需要的篱笆长度为2a+b＝2a+，当且仅当2a＝即a＝时取等号，此时长度取得最小值4．故选：B．【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础试题．6．（2019秋•淮安期末）函数y＝2x+（x＞1）的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．8【解析】解：因为y＝2x+（x＞1），＝2（x﹣1）++2＝6，当且仅当2（x﹣1）＝即x＝2时取等号，此时取得最小值6．故选：C．【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础试题．7．（2020•德阳模拟）已知x，y为正实数，则的最小值为（）A． B． C． D．3【解析】解：∵x，y为正实数，∴＝+（1+）﹣1≥2﹣1＝4﹣1＝3，当且仅当即x＝3y时“＝”成立，故选：D．【点睛】本题考查了基本不等式的性质，注意应用性质的条件，本题是一道基础题．8．（2019秋•常州期末）在下列函数中，最小值是2的是（）A．（x∈R且x≠0） B． C．y＝3x+3﹣x（x∈R） D．）【解析】解：当x＜0时，y＝＜0，排除A，∵lgx＝在1＜x＜10无解，∴大于2，但不能等于2，排除B∵sinx＝在0＜x＜上无解，∴）大于2，但不能等于2，排除D对于函数y＝3x+3﹣x，令3x＝t，则t＞0，y＝t+≥2＝2，（当且仅当t＝1，即x＝0时取等号）∴y＝3x+3﹣x的最小值为2故选：C．【点睛】本题考察了均值定理求函数最值的方法，解题时要牢记口诀一“正”，二“定”，三“等号”，并用此口诀检验解题的正误9．（2020•浙江模拟）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+4b2﹣c＝0，且使|2a+b|最大时，的最小值为（）A． B． C．﹣2 D．2【解析】解：∵4a2﹣2ab+4b2﹣c＝0，∴＝（a﹣）2+，由柯西不等式得，[（a﹣）2+][22+（）2]≥[2（a﹣）+b•]2＝|2a+b|2故当|2a+b|最大时，有＝，∴a＝b，c＝10b2，∴＝﹣+＝（）2﹣＝（）2﹣2，b＝时，取得最小值为﹣2．故选：C．【点睛】本题考查了柯西不等式，以及二次函数的最值问题，属于中档题．10．（2019秋•龙岩期中）已知实数a，b满足a2﹣4lna﹣b＝0，c∈R，则（a﹣c）2+（b+2c）2的最小值为（）A． B． C． D．【解析】解：x代换a，y代换b，则x，y满足：x2﹣4lnx﹣y＝0，即y＝x2﹣4lnx（x＞0），以x代换c，可得点（x，﹣2x），满足2x+y＝0．因此求（a﹣c）2+（b+2c）2的最小值，即为求曲线y＝x2﹣4lnx上的点到直线2x+y＝0的距离的最小值的平方．设直线2x+y+m＝0与曲线y＝x2﹣4lnx＝f（x）相切于点P（x0，y0），f′（x）＝2x﹣，则f′（x0）＝2x0﹣＝﹣2，解得x0＝1，∴切点为P（1，1）．∴点P到直线2x+y＝0的距离d＝＝，∴则（a﹣c）2+（b+c）2的最小值为（）2＝．故选：B．【点睛】本题考查了利用导数研究曲线的切线性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，问题转化是解题的关键，属于中档题．二．填空题（共4小题）11．（2020•全国Ⅰ卷模拟）已知实数x，y满足y≥2x＞0，则的最小值为．【解析】解：设t＝，由题意知t≥2，则＝t+，令f（t）＝t+，t≥2，∵f'（x）＝1﹣＞0，∴f（t）在t≥2上单调递增，∴f（t）≥f（2）＝，故答案为：．【点睛】本题考查导数求最值，使用不等式求最值时，注意取等号时的条件，属于中档题．12．（2020•嘉兴模拟）已知正实数x，y满足x+2y＝3，则xy的最大值为，的最小值为2．【解析】解：正实数x，y满足x+2y＝3，由基本不等式可得，3＝x+2y≥2，当且仅当x＝2y时取等号，则xy，即最大值；∵＝＝＝2，故答案为：【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑．13．（2020•和平区模拟）已知a＞0，b＞0，当（a+4b）2+取得最小值为8时，a+b＝．【解析】解：因为a＞0，b＞0，所以a+4b，当且仅当a＝4b时取等号，所以（a+4b）2≥16ab，则（a+4b）2+＝8，当且仅当即a＝1，b＝时取等号，此时取得最小值8，a+b＝．故答案为：8，【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关于是在两次基本不等式的应用中等号成立条件的检验．14．（2020•汉中一模）已知函数f（x）＝loga（x+3）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+4＝0上，其中mn＞0，则的最小值为．【解析】解：由f（x）＝loga（x+3）﹣1知，f（x）过定点A（﹣2，﹣1）．因为点A在直线mx+ny+4＝0上，所以2m+n＝4，又mn＞0，所以m＞0，n＞0，所以＝≥＝，当且仅当，即m＝，n＝3时取等号，所以的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查了函数过定点问题和利用基本不等式求最值，考查了转化思想和计算能力，属中档题．三．解答题（共3小题）15．（2020•3月份模拟）已知实数x、y、z满足x﹣2y+z＝4．（1）求x2+y2+z2的最小值；（2）若y＝x+z，求xz的最大值．【解析】解：由柯西不等式可得（x﹣2y+z）2≤[12+（﹣2）2+12]（x2+y2+z2），∴x2+y2+z2，当且仅当且x﹣2y+z＝4即x＝，y＝，z＝时取等号，故x2+y2+z2的最小值，（2）由y＝x+z及x﹣2y+z＝4可得x+z＝﹣4，因为x2+z2≥2xz，∴（x+z）2≥4xz，即xz≤4，当且仅当x＝z＝2时取等号，此时xz取得最大值4．【点睛】本题主要考查了利用基本不等式及柯西不等式求解最值问题，属于基础试题．16．（2019秋•葫芦岛期末）设a，b是正实数，求证：（1）若a+2b＝1，求a2+b2的最小值；（2）若a2+4b2＝1，求的最大值．【解析】解：（1）法一：由得，0＜b＜，于是a2+b2＝（1﹣2b）2+b2＝5b2﹣4b+1，当b＝时，a2+b2取得最小值为，法二：（a2+b2）（12+22）≥（a+2b）2＝1，当且仅当a＝时等号成立，此时a2+b2的最小值为；（2）法一：（）2≤[a2+（2b）2][（）2+12]＝4，当且仅当＝2b时等号成立，因为a，b是正实数，所以的最大值为2，法二：设a＝cosθ，b＝sinθ，0＜θ＜，＝cosθ+sinθ＝2sin（θ+），∵＜θ+＜，∴当θ+＝时sin（θ+）max＝1，的最大值为2，【点睛】本题主要考查了利用不等式的性质求解最值或范围，要注意多种解法的灵活应用．17．（2019秋•南山区校级期末）已知正实数x，y满足等式2x+5y＝20．（1）求u＝lgx+lg