材料力学：弯曲应力

弯曲应力对称弯曲的概念及计算简图梁的剪力和弯矩•剪力图和弯矩图梁横截面上的正应力•梁的正应力强度条件梁横截面上的切应力•梁的切应力强度条件平面刚架和曲杆的内力图梁的合理设计一、弯曲的概念4-1对称弯曲的概念及梁的计算简图

梁：以弯曲变形为主的杆件。1.弯曲变形外力是作用线垂直于杆轴线的平衡力系（有时还包括力偶）。受力特征：变形特征：梁变形前为直线的轴线，变形后成为曲线。纵向对称面：包含梁横截面的一个对称轴及其梁轴线的平面称为纵向对称面。对称弯曲：作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内，弯曲变形后的轴线是一条在该纵向对称面内的平面曲线，这种弯曲称为对称弯曲。二、对称弯曲AB横截面的对称轴梁的轴线纵向对称面变形后的轴线与外力在同一平面内非对称弯曲

：梁不具有纵向对称面，或具有纵向对称面，

但外力并不作用在纵向对称面内这种弯

曲称为非对称弯曲。三、梁的计算简图RH（1）固定端

在梁的计算简图中用梁的轴线代表梁1.支座的简化RHR（2）固定铰支座(3)可动铰支座2.工程中常用到的静定梁悬臂梁外伸梁简支梁3.几种超静定梁lABCqF例题1:计算悬臂梁的约束力。FqBAlC由平衡方程得：解:

求梁的约束力RA和mR。解得：1m1m1m0.5m3mF=50kNM=5kN.mAECDKB例题2：计算图所示多跨静定梁的约束力。1m1m1m0.5m3mF=50kNM=5kN.mAECDKB再将副梁CB

的两个约束力

XC

，YC

反向，并分别加在主梁AC

的C

点处，求出AC

的约束力。分析：先将中间铰C

拆开，并通过平衡方程求出副梁CB

的约束力。CM=5kN.mDKB1m1m1m0.5m3mP=50kNM=5kN.mAECDKB解：（1）研究CB梁，由平衡方程M=5kN.mDKBF=50kNAEC（2）研究AC梁，由平衡方程aFAB一、梁的剪力（Fs）和弯矩（M

）的定义与计算§4-2梁的剪力和弯矩•剪力图和弯矩图mmx1.用截面法求横截面上的内力Fs用截面法假想地在

横截面mm处把梁分为两段，先分析梁左段。xxmAmyCaFABmmx由平衡方程得可得Fs=FAFs

称为

剪力可得M=FAx由平衡方程FsM内力偶M

称为

弯矩aFABmmxxxmAmyCFsMaFABmmxxxmAmyC梁在弯曲变形时，横截面上的内力有两个，即，结论剪力Fs弯矩MFsMBmmF取右段梁为研究对象。其上剪力的指向和弯矩的转向则与取右段梁为研究对象所示相反。MFsxxmAmyCdxmmFsFs+（1）剪力

Fs

的符号使dx微段有

左端向上而右端向下的相对错动时，横截面m-m上的剪力为

正。2.Fs

和M

的正负号的规定或使

dx

微段有顺时针转动趋势的剪力为

正。使dx

微段有

左端向下而右端向上

的相对错动时，横截面m-m上的剪力为负

。dxmmFsFs-或使

dx

微段有逆时针转动趋势的剪力为

负。mm+_当

dx

微段的弯曲下凸（即该段的下半部受拉

）时，横截面m-m上的弯矩为

正；（2）弯矩符号（受拉）MMmm（受压）MM当

dx

微段的弯曲上凸（即该段的下半部受拉压）时，横截面m-m上的弯矩为为负。BdEDAabclCF例题3：为图示梁的计算简图。已知P1、P2，且P2>P1

，尺寸a、b、c和l亦均为已知。试求梁在E、F点处横截面处的剪力和弯矩。解:BdEDAabclCF解得：BdEDAabclCF记E截面处的剪力为

FsE

和弯矩

ME

。AECBdEDAabclCF假设

FsE和弯矩ME

均为

正值。解得++BdEDAabclCFAECAECa-cb-ccDl-cBE取右段为研究对象BdEDAabclCF解得：++AECa-cb-ccDl-cBEFdB

计算F点横截面处的剪力

FsF和弯矩

MF

。BdEDabclCF-+解得：

例题4：图示简支梁受线性变化的分布荷载作用，最大荷载集度为q0

。试计算梁在C点处横截面上的剪力和弯矩。lABCa解：求梁的支座力RA

和RBlABCa由平衡方程得：解得：CaA此合力距C点的距离为a/3

在C点处梁上的荷载集度为该梁段上分布荷载的合力为lABCa列出平衡方程CaAlABCa解得当时FsC为正MC恒为正CaAlABCa（1）横截面上的

剪力

在数值上等于此横截面的左侧或右侧

梁段上外力的代数和。向上的外力引起正值的剪力向下的外力引起负值的剪力向下的外力引起正值的剪力向上的外力引起负值的剪力求剪力和弯矩的简便方法左侧

梁段：{右侧梁段：{

（2）横截面上的弯矩

在数值上等于此横截面的左侧或右侧梁段上的外力对该截面形心的力矩之代数和。不论在截面的左侧或右侧向上的外力均将引起正值的弯矩，而向下的外力则引起负值的弯矩。顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩逆时针转向的外力偶引起负值的弯矩逆时针转向的外力偶引起正值的弯矩顺时针转向的外力偶引起负值的弯矩左侧梁段：{右侧梁段：{例题5：轴的计算简图如图所示，已知P1=

P2=P=60kN

，a=230mm

，b=100mm

和c=1000mm

。求C

、D点处横截面上的剪力和弯矩。ACDBbac

解：ACDBbac（1）计算C

横截面上的剪力

FsC

和弯矩MC

。看左侧（2）计算D

横截面上的剪力FsD

和弯矩MD。看左侧ACDBbac1m2.5m10kN.mABC12解：例题6：求图示梁中指定截面上的剪力和弯矩C12看左侧1m2.5m10KN.mABC121截面看右侧看左侧C121m2.5m10kN.mABC122截面例题7：求指定截面上的内力FsA左，

FsA右，FsD左，FsD右，MD左，

MD右，

FsB左，FsB右。m=3kN.m2m2m4mCADBFAFB解：FA=14.5kN，FB=3.5kN看左侧看右侧计算FsA左，FsA右，

FsD左，

FsD右m=3kN.m2m2m4mCADBFAFB看右侧看左侧看右侧看左侧计算MD左，

MD右m=3kN.m2m2m4mCADBFAFB看右侧计算FsB左，

FsB右m=3kN.m2m2m4mCADBFAFBFs=Fs(x)M=M（x）即：二、剪力方程和弯矩方程·

剪力图和弯矩图1.剪力方程和弯矩方程用函数表达式表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律，分别称作剪力方程和弯矩方程。弯矩图为正值画在x轴下侧，负值画在x

轴上侧2.剪力图和弯矩图剪力图为正值画在x轴上侧，负值画在x

轴下侧绘剪力图和弯矩图的最基本方法是，首先分别写出梁的剪力方程和弯矩方程，然后根据它们作图。Fs

图的坐标系xFs(x)oM

图的坐标系xM(x)oAFBl例题8：图a所示的悬臂梁在自由端受集中荷载F

作用,

试作此梁的剪力图和弯矩图。AFBlx解：将坐标原点取在梁的左端，写出梁的剪力方程和

弯矩方程

：FsxFFlxMAFBlx解：求得两个约束力ABl例题9：

图示的简支梁，在全梁上受集度为q

的均布荷载作用。试作此梁的的剪力图和弯矩图。ABl取距左端为x

的任意横截面。写出剪力方程和弯矩方程。x剪力图为一倾斜直线。绘出剪力图。x=0处，x=l

处，+ABlx弯矩图为一条二次抛物线,由x=l,M=0ABlx令得驻点弯矩的极值ABlx绘出弯矩图ABlx+梁跨中截面上的弯矩值为最大但此截面上，Fs=0两支座内侧横截面上剪力绝对值为最大ABlx++lFABcab解：求梁的约束力例题10:图示的简支梁在C点处受集中荷载

F作用。

试作此梁的剪力图和弯矩图。因为AC

段和CB

段的内力方程不同，所以必须分段写剪力方程和弯矩方程。lFABcablFABcab将坐标原点取在梁的左端

AC段：CB段：xx由（1），（3）两式可知，AC，CB

两段梁的剪力图各是一条平行于x

轴的直线。lFABcabxx+-由（2），（4）式可知，AC，CB

两段梁的弯矩图各是一条斜直线+lFABcabxx在集中荷载作用处的左，右两侧截面上:剪力值（图）有突变

,突变

值等于集中荷载F。弯矩图形成尖角，该处弯矩值最大

，lFABcabxx+-+（2）以集中力、集中力偶作用处，分布荷载开始或结束处，及支座截面处为界点将梁分段。分段写出剪力方程和弯矩方程，然后绘出剪力图和弯矩图。作剪力图和弯矩图的几条规律（1）取梁的左端点为座标原点，x

轴向右为正；剪力图向上为正；弯矩图向下为正。

（3）

梁上集中力作用处左、右两侧横截面上，剪力值（图）有突变，其突变值等于集中力的数值。在此处弯矩图则形成一个尖角。（4）梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩值（图）也有突变，其突变值等于集中力偶矩的数值。但在此处剪力图没有变化。

（5）梁上的最大剪力发生在全梁或各梁段的边界截面处；梁上的最大弯矩发生在全梁或各梁段的边界截面，或Fs=0

的截面处。ABF例题11：一简支梁受移动荷载F

的作用如图所示。试求梁的最大弯矩为极大时荷载F

的位置。解：先设

F在距左支座A为x

的任意位置。求此情况下梁的最大弯矩为极大。lABFFAFB荷载在任意位置时，支座约束力为：C当荷载F

在距左支座为x

的任意位置C时，梁的弯矩值为：令lABFFAFBC此结果说明：当移动荷载

F在简支梁的跨中时，梁的最大弯矩为极大。得最大弯矩值将x=l/2

代入式例题12：已知q=3kN/m,m=3kN.m，列内力方程并画内力图。ACBDqm2m2m4m解：FA=14.5kN，FB=3.5kNxxFs(x)=-qx=-3x(0

x

2)AD:(2<x

6)ACBDqm2m2m4m(0

x<2)CA:(2

x<6)xxxDB:(6

x<8)(6<x

8)ACBDqm2m2m4m画剪力图+--CA:

Fs(x)=-qx=-3xAD:DB:(0

x<2)(2<x

6)(6

x<8)xxxACBDqm2m2m4m6kN8.5kN3.5kNx=4.83m由得14.5-3x=0x=4.83m为弯矩的极值点AD:(2<x

6)(2

x<6)+--xxxACBDqm2m2m4m6kN8.5kN3.5kNx=4.83m画弯矩图+-6.04(6<x

8)(2

x<6)(0

x

2)ACBDqm2m2m4m单位:kN.m467三、弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系及其应用

1.弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系设梁上作用有任意分布荷载其集度q=q(x)xyq(x)FMe规定：q(x)向上为正。将x

轴的坐标原点取在梁的左端。xyq(x)FMexyq(x)FMe假想地用坐标为x

和x+dx

的两横截面m-m和n-n从梁中取出dx

一段。mmnnq(x)Cxmmnn

dx由于dx

很小，略去q(x)沿dx

的变化。mmnnq(x)Cm-m截面上内力为Fs(x)

，M(x)Fs(x)M(x)nn截面处内力分别为

Fs(x)+dFs(x),M(x)+dM(x)

。Fs(x)+dFs(x)M(x)+dM(x)xyq(x)FMexmmnn

dx

Fy=0Fs(x)-[Fs(x)+dFs(x)]+q(x)dx=0得到

写出平衡方程=q(x)dFs(x)dxmmnnq(x)CFs(x)M(x)Fs(x)+dFs(x)M(x)+dM(x)写出平衡方程略去二阶无穷小量即得mmnnq(x)CFs(x)M(x)Fs(x)+dFs(x)M(x)+dM(x)得到mmnnq(x)CFs(x)M(x)Fs(x)+dFs(x)M(x)+dM(x)公式的几何意义剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。M(x)

图为一向下凸的二次抛物线Fs(x)

图为一向右下方倾斜的直线xFs(x)o2.q(x)、Fs（x）图、

M（x）图三者间的关系（1）梁上有向下的均布荷载，即

q(x)<0M(x)xo（2）梁段上无荷载作用，即

q(x)=0剪力图为一条水平直线弯矩图为一斜直线xFs(x)oxoM(x)M(x)ox当Fs(x)>0

时，向右下方倾斜。当Fs(x)<0

时，向右上方倾斜。梁上最大弯矩可能发生在Fs(x)=0的截面上，或梁段边界的截面上。最大剪力发生在全梁或梁段的界面。在集中力作用处剪力图有突变，其突变值等于集中力的值。弯矩图的相应处形成尖角。在集中力偶作用处弯矩图有突变，其突变值等于集中力偶的值，但剪力图无变化。q<0向下的均布荷载无荷载集中力FC集中力偶MeC向下倾斜的直线

或下凸的二次抛物线在Fs=0的截面水平直线+一般斜直线或在C处有突变F在C处有尖角或在剪力突变的截面在C处无变化C在C处有突变Me在紧靠C的某一侧截面一段梁上的外力情况剪力图的特征弯矩图的特征最大弯矩所在截面的可能位置表4-1在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征例题13：一简支梁受均布荷载作用，其集度q=100kN/m,如图所示。试用简易法作此梁的剪力图和弯矩图。解：计算梁的约束力EqABCD0.21.612FAFB将梁分为AC、CD、DB

三段。AC和DB上无荷载，CD

段有向下的均布荷载。EqABCD0.21.612FAFB+80kN80kNDB段：水平直线CD段：向右下方的斜直线AC段：水平直线

FsA右

=FA=80kN剪力图EqABCD0.21.612FAFB最大剪力发生在CD和DB段的任一横截面上。+80kN80kNEqABCD0.21.612FAFB弯矩图AC段：向下倾斜的直线CD段：向下凸的二次抛物线+80kN80kNEqABCD0.21.612FAFB其极值点在Fs=0

的中点E处的横截面上。DB段：向上倾斜的直线

MB=

0+80kN80kNEqABCD0.21.612FAFB+单位：kN.m全梁的最大弯矩梁跨中E点的横截面上。EqABCD0.21.612

MB=

0161648例题14：作梁的内力图解：支座约束力为3m4mABcDE4m4m将梁分为AC、CD、DB、BE

四段3m4mABcDE4m4m剪力图AC：向下斜的直线（

）3m4mABcDE4m4m剪力图CD：向下斜的直线(

)3m4mABcDE4m4m剪力图DB：水平直线(—）EB：水平直线(—）7kN++-3m4mABcDE4m4m3kN1kN3kN2kN7kN++-3m4mABcDE4m4m3kN1kN3kN2kNFx=5mF点剪力为零,令其距A点为

xx=5m7kN++-3m4mABcDE4m4m3kN1kN3kN2kNFx=5m弯矩图AC：()（CD：()（7kN++-3m4mABcDE4m4m3kN1kN3kN2kNFx=5m弯矩图DB：(

)BE：(

)3m4mABcDE4m4m单位：kN.m201620.5+-662.分布荷载集度、剪力和弯矩之间的积分关系若在x=a

和x=b

处两个横截面A、B间无集中力则等号右边积分的几何意义是，上述A，B两横截面间分布荷载图的面积。式中，FsA，FsB分别为在x=a,x

=b两处各横截面

A，B

上的剪力。若横截面A，B

间无集中力偶作用则得式中，MA，MB

分别为在

x=a,x=b

处两个横截面

A

及B上的弯矩。等号右边积分的几何意义是，A，B两个横截面间剪力图的面积。例题15：计算梁的C、E两横截面上的剪力和弯矩。

EqABCD0.21.612PAPB在AC段中q=0

，且FsA右=RA解：EqABCD0.21.612PAPB在CE

段中EqABCD0.21.612PAPB在AC

段中FsC=80kN，剪力图为矩形，MA

=0+80kN80kN1EqABCD0.21.612PAPB1EqABCD0.21.612PAPB在CE

段中，剪力图为三角形FsC=80kN，MC=16kN.m+80kN80kN解：支座力为RA=81kN,RB=29kN,mA=96.5kN.m例题16：用简易法作组合梁的剪力图和弯矩图。梁长单位是米(m)

。10.5113F=50kNM=5kN.mAECDKBRARBmA将梁分为AE，EC，CD，DK，KB五段。剪力图AE段：水平直线FsA右=FsE左

=RA=81kNED段：水平直线FsE右

=RA-P=31kNDK段：向右下方倾斜的直线FsK=-RB=-29kNKB段：水平直线FsB左=-RB=-29kN+81kN31kN29kN10.5113F=50kNM=5kN.mAECDKBRARBmA剪力图+81kN31kN29kN10.5113F=50kNM=5kN.mAECDKBRARBmA设距K

截面为x

的截面上剪力Fs=0

。即x=1.45m弯矩图+81kN31kN29kN10.5113F=50kNM=5kN.mAECDKBRARBmAxAE，EC，CD

梁段均为向下倾斜的直线=1.45m弯矩图+81kN31kN29kN10.5113F=50kNM=5kN.mAECDKBRARBmAx=1.45mDK段：向下凸的二次抛物线在Fs=0

的截面上弯矩有极值KB

段：向下倾斜的直线弯矩图10.5113F=50kNM=5kN.mAECDKBRARBmA+x=1.45m15.5315534596单位：kN.m10.5113F=50kNM=5kN.mAECDKBRARBmA+x=1.45m15.5315534596单位：kN.m+81kN31kN29kN中间铰链传递剪力（铰链左、右两侧的剪力相等）；但不传递弯矩（铰链处弯矩必为零）。+abcd18kN2kN3m3m6m补充例题：已知简支梁，的剪力图作梁的弯矩图和荷载图。已知梁上没有集中力偶作用。CABD14kN+abcd18kN2kN3m3m6mCABD14kN解：画荷载图AB段：没有荷载，在B处有集中力，F=20kN。因为所以F(

)F=20kN+abcd18kN2kN3m3m6mCABD14kN解：画荷载图F=20kNq=2kNBC

段：无荷载CD段：有均布荷载q(

)+abcd18kN2kN3m3m6mcabd14kN解：画弯矩图AB段：向右下倾斜的直线54BC段：向右上倾斜的直线CD段：向下凸的二次抛物线。该段内弯矩没有极值。48+补充例题：已知简支梁的弯矩图，作出梁的剪力图和荷载图。abcd解：作剪力图AB段：因为M(x)=常量，剪力图为水平直线，且Fs(x)=0

。40kN.m+abcd2m2m2mBC段：Fs(x)=常量,剪力图为水平直线CD段：剪力图为水平直线且

Fs(x)=020kNabcd解：作荷载图40kN.m+abcd2m2m2m20kNAB段:无荷载,m=40kN.m(

)在A处有集中力偶ABCDmF=20kN(

)B

处有集中力集中力FBC段：无荷载，C处有集中力。集中力:F=20kN(

)CD段：无荷载F四、按叠加原理作弯矩图当梁上受几项荷载共同作用时，某一横截面上的弯矩就等于梁在各项荷载单独作用下同一横截面上弯矩的代数和。F=ql/3qxl臂梁受集中荷载F

和均布荷载q

共同作用，在距左端为x

的任一横截面上的弯矩为FxFqxlqxF

单独作用q

单独作用F，q作用该截面上的弯矩等于F，q

单独作用该截面上的弯矩的代数和FxFqxlqx-++--+-+例题17：图示一外伸梁，a=425mm,F1、F2

、F3分别为685kN，

575kN，506kN。试按叠加原理作此梁的弯矩图，求梁的最大弯矩。BCF2F3aDEF1Aaaa解：将梁上荷载分开BCaDEF1Aaaa-291adcbeBCF2F3aDEF1Aaaa+adcbe122BCaDEF2AaaaBCF2F3aDEF1AaaaBCaDEF3AaaaBCF2F3aDEF1Aaaa-adcbe215BCF2F3aDEF1Aaaa-adcbe215+adcbe122-291adcbe291215131-adcbe§4-3平面刚架和曲杆的内力图平面刚架的内力：剪力，弯矩，轴力ABC平面刚架是由在同一平面内，不同取向的杆件，通过杆端相互刚性连结而组成的结构。一、平面刚架的弯矩图，轴力图弯矩图：画在各杆的受压一側，不注明正，负号。剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一側（通常正值画在

刚架的外側）。注明正，负号。例题：图示为下端固定的刚架。在其轴线平面内受集中力F1和F2作用，作此刚架的弯矩图和轴力图。alF1F2ABC解：将刚架分为CB，AB两段CB段：FN(x)=0M(x)=F1x(0

x

a)CxM(x)alF1F2ABCxFN(x)Fs(x)Fs(x)=F1(+)(0<x

<a)CBaBA段：FN(x)=F1（—）

(0

x

l)M(x)=F1a+F2

x

(0

x

l)xFs(x)Fs(x)=F2(+)(0<x

<l)alF1F2ABCF1FN图CB段：FN(x)=0BA段：FN(x)=F1（—）alF1F2ABCFs图CB段：BA段：alF1F2ABCF2++F1Fs(x)=F2(+)Fs(x)=F1(+)M图CB段：M(x)=F1x(0

x

a)BA段：M(x)=F1a+F2

x

(0

x

l)alF1F2ABCF1aF1aF1a+F2l二、平面曲杆的弯曲内力引起拉伸的轴力为正使曲杆的曲率增加（即外侧受拉）的弯矩。产生顺时针转动趋势的剪力为正ooPtn

oCFoR

FNM

FsFoR

+FRM外伸梁弯曲内力图§4-4梁截面上的正应力•梁的强度条件当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上既又弯矩

M

，又有剪力

Fs

。mmFsM154只有与正应力有关的法向内力元素

dFN=dA

才能合成弯矩只有与切应力有关的切向内力元素dFs=dA

才能合成剪力所以，在梁的横截面上一般既有正应力，又有切应力mmFsmmM

一、纯弯曲梁截面上的正应力

FFaaCD++FF+Fa简支梁CD

段任一横截面上，剪力等于零，而弯矩为常量，所以该段梁的弯曲就是

纯弯曲

。若梁在某段内各横截面上的弯矩为常量

，剪力为零，则该段梁的弯曲就称为纯弯曲。推导公式时，要综合考虑

几何，物理

和

静力学

三方面

。取一纯弯曲梁来研究。推导纯弯曲梁横截面上正应力的计算公式。1.几何方面以及横向线相垂直的一系列的纵向线（如aa

，bb等）。mmnnaabb梁在加力前先在其侧面上画上一系列的横向线（如mm

，nn等）mm（1）变形前相互平行的纵向直线（aa

，bb等），变形后均为圆弧线（a’a’

，b’b’等)，且靠上部的缩短靠下部的伸长。梁变形后观察到的现象mmnnaabba’a’b'b'mmmmnnaabb（2）变形前垂直于纵向直线的横向线（mm,nn等）变形后仍为直线（m’m’,n’n’等），但相对转了一个角度，且与弯曲后的纵向直线垂直。m’m’n’n’a’a’b'b'平面假设

：梁在受力弯曲后，原来的横截面仍为平面，它绕着该横截面上的某一轴旋转了一个角度，且仍垂直于梁弯曲后的轴线。由平面假设可知，在梁弯曲时，这两个横截面将相对地旋转一个角度d

。用两个横截面从梁中假想地截取长为dx

的一段。d

（3）公式推导d

横截面的转动将使梁的凹边的纵向线段缩短，凸边的纵向线段伸长。由于变形的连续性，中间必有一层纵向线段O1O2无长度改变。此层称为中性层

。O1O2的长度为dx

。O1O2dxd

O1O2dx中性轴与横截面的对称轴成正交。中性层与横截面的交线称为中性轴

。d

O1O2dx中性层中性轴横截面横截面的对称轴d

O1O2dxyZx将梁的轴线取为x

轴。横截面的对称轴取为

y

轴。中性轴取为

z

轴。d

O1O2dx作O2B1

与

O1A

平行。在横截面上取距中性轴为y

处的纵向线

AB。

为中性层上的纵向线段O1O2

变弯后的曲率半径。

AByB1

d

d

O2B1的长度为y

。yd

O1O2dx

AByB1

d

d

yAB1为变形前AB

的长度B1B

为AB1的伸长量

AB1

为A点的纵向线应变。dxd

O1O2dx

AByB1

d

d

中性层的曲率为因为

是个非负的量于是dxyd

O1O2dx

AByB1

d

d

dxy因而，横截面上到中性轴等远的各点，其线应变相等。变

该式说明，

和y

坐标成正比,而与中性轴z坐标无关。，dxd

O1O2dx

AByB1

d

d

dxydxxyZOy2.物理方面纯弯曲时横截面上各点处的处于单轴应力状态。材料在线弹性范围内工作，且拉，压弹性模量相等。由单轴应力状态下的

胡克定律可得物理关系假设：

=E上式为横截面上

正应力变化规律的表达式。上式说明，横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的距离

y

成正比；OxyZy1在距中性轴为y的同一横线上各点处的正应力均相等。yM需要解决的问题如何确定中性轴的位置？如何计算1/

?中性轴

弯曲正应力yZxOM3.静力学方面在横截面上法向内力元素

dA

构成了空间平行力系。dAZydAdA

1dAyZxOMdAZydAdA

1dA该空间平行力系简化为x轴方向的主矢对y轴和z

轴主矩因为该梁段是纯弯曲，因此FN

和My均等于零，而Mz就是上横截面的弯矩M

。yZxOMdAZydAdA

1dA中性轴必通过横截面的形心中性轴过截面形心且与横截面的对称轴y垂直yyCZCZ中性轴中性轴中性轴将横截面分为受拉和受压两部分。MMyyCZCZ中性轴中性轴拉拉压压因为y轴是横截面的对称轴，所以Iyz

一定为零。该式自动满足中性轴是横截面的形心主惯性轴EIz称为截面的弯曲刚度M

横截面上的弯矩。该式为等直梁纯弯曲

时横截面上任一点处正应力的计算公式y

求应力点的y

坐标。式中：横截面对中性轴的惯性矩。Iz4.讨论

（1）应用公式时，一般将

M，y

以绝对值代入。根据梁变形

的实际情况直接判断

的正，负号。以中性轴为界

梁变形后凹入边的应力为压应力（

为负号）梁变形后凸出边的应力为拉应力（

为正号）（2）横截面中性轴上各点的正应力最小。且

min=0MMyyCZCZ中性轴中性轴（3）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处

中性轴为对称轴ZyCM

tmax

Cmax压拉用ymax

表示最大拉（压）应力点到中性轴的距离。ZyCM

tmax

Cmax压拉WZ称为弯曲截面系数。ZyCM

tmax

Cmax压拉中性轴是对称轴的梁横截面上最大正应力的计算公式为yzhb矩形截面的弯曲截面系数圆形截面的弯曲截面系数dyzM矩形截面梁横截面上正应力分部图zy

对于中性轴不是对称轴的横截面M

tmax

Cmax应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离ytmax

和

yCmax

直接代入公式。求得相应的最大拉应力和最大压应力。zyM

tmax

CmaxzyM

tmax

Cmax当梁上有横向力作用时，横截面上既又弯矩

又有

剪力。梁在此种情况下的弯曲称为

横力弯曲。二、纯弯曲理论的推广横力弯曲

时，梁的横截面上既有正应力

，又有切应力

。切应力使横截面发生翘曲横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应力纯弯曲时所作的

平面假设

和

各纵向线段间互不挤压的假设都不成立。但工程中常用的梁，纯弯曲时的正应力可以精确的计算公式计算横力弯曲时横截面上的正应力。等直梁横力弯曲时，某一横截面上的最大正应力发生在距中性轴最远的位置。三、梁的正应力强度条件梁的最大正应力发生在

最大弯矩的横截面上距中性轴最远的各点处。该处的切应力都等于零，纵截面上由横向力引起的挤压应力可略去不计。因此，可将横截面上最大正应力所在各点处的应力状态，看作

单轴应力状态

。梁的正应力强度条件为：梁的横截面上最大工作正应力

max

不得超过材料的许用弯曲正应力[]

即1.对于中性轴为对称轴的截面Wz

称为抗弯截面系数正应力强度条件为2.对于中性轴不是对称轴的截面比如铸铁等

脆性材料

制成的梁，由于材料的（两者有时并不发生在同一横截面上）且梁横截面的中性轴

一般也不是对称轴，所以梁的要求梁上最大的拉应力和最大的压应力分别不超过材料的许用拉应力

和

许用压应力

。正应力强度条件为可对梁按正应力进行强度校核3.正应力强度条件解决三方面问题（中性轴是对称轴）（中性轴不是对称轴）选择梁的截面确定梁的许可荷载例题：长为l

的矩形截面梁，在自由端作用有集中力F。已知：

h=0.18m，b=0.12m，y=0.06m，a=2m，F=1.5kN。求C

截面上K点的正应力。ABCFalyKbhzABCFal解：（+）yKbhzBACP10mz12.556021166a5m例题：图示简支梁由

56a工字钢制成，其横截面见图P=

150kN。求(1)梁上的最大正应力

max(2)同一截面上翼缘与腹板交界处a

点的应力BACP10mz12.556021166a5mRARB解：支座力为+375kN.m作弯矩图z12.556021166a查型钢表，56a

工字钢中间截面为危险截面。

最大弯矩为+375kN.mz12.556021166a+375kN.m166(1)梁的最大正应力梁的最大正应力发生在弯矩最大截面距中性轴最远的上，下边缘各点处，即(2)危险截面上a点的正应力a点到中性轴的距离为所以a

点的正应力为z12.556021166a+375kN.m例题

:跨长l=2m

的铸铁梁受力如图所示。已知材料的拉，压许用应力分别为[

t]=30MPa，[

C]=90MPa。试根据截面最为合理的要求：（1）确定T字形截面梁横截面的一个尺寸

。（2）校核梁的强度。AB1m2mP=80kN220y60280z解：AB梁各截面弯矩均为正值，且中间截面是危险截面。假设截面形心位置如图所示，z轴为中性轴。要使截面最合理，必须使同一截面的oz220y60280z已知：oz220y60280z

tmax

Cmaxoz220y60280z

tmax

Cmax以上边缘为参考边oz220y60280z

tmax

Cmax12220y60280z12220y60280z(2)校核梁的强度12220y60280zoz220y60280z

tmax

Cmax例题

:一槽形截面铸铁梁如图所示。已知，b=2m，Iz=5493104mm4

，铸铁的许用拉应力[

t]=30MPa，许用压应力[

C]=90MPa。试求梁的许可荷载[P]。bCbDAPbB-+CB解：弯矩图如图所示。最大负弯矩在B

截面上，最大正弯矩在C

上。bCbDAPbBy202013486120180z40Cy1y2梁的截面图如图所示，中性轴到上，下边缘的距离分别为C截面y202013486120180z40Cy1y2-+CBC截面的强度条件由最的拉应力控制y202013486120180z40Cy1y2-+CBB截面y202013486120180z40Cy1y2-+CB取其中较小者，得该梁的许可荷载为10m2.5m75kN75kN75kN2.5m2.5mAB例题

:

图示梁由工字钢制成。钢的许用弯曲正应力[]=152MPa，试选择工字钢的号码。解：梁的最大弯矩为+37528128110m2.5m75kN75kN75kN2.5m2.5mABRARBRA=RB=112.5kN单位:kN.m梁所必需的抗弯截面系数为由型钢表查得

56b

号工字钢的误差不到1%，故可选用56b号工字钢。80y1y22020120z例题：T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示。铸铁的抗拉许用应力为[

t]=30MPa,抗压许用应力为[

C]=160MPa。已知截面对形心轴Z的惯性矩为Iz=763cm4,y1=52mm。校核梁的强度。

P1=9kNP2=4kNAcBD1m1m1mRARB80y1y22020120z解：P1=9kNP2=4kNAcBD1m1m1m80y1y22020120z最大正弯矩在截面C上最大负弯矩在截面B上+-2.5kN4kNCBP1=9kNP2=4kNAcBD1m1m1m80y1y22020120z+-2.5kN4kNCBP1=9kNP2=4kNAcBD1m1m1mB截面{80y1y22020120z+-2.5kN4kNCBP1=9kNP2=4kNAcBD1m1m1mC截面故该梁满足强度要求例题：由n片薄片组成的梁lFZbh当每片间的磨擦力甚小时，每一薄片就独立弯曲lFZbh近似地认为每片上承担的外力等于每一薄片中的最大正应力等于lFZbhlFZbh若用刚度足够的螺栓将薄片联紧，杆就会象整体梁一样弯曲最大正应力等于图示一矩形截面梁受任意横向荷载作用。4-5梁横截面上的切应力•切应力强度条件F2F1q(x)一、梁横截面上的切应力1.矩形截面梁mmnnF2F1q(x)mmnnxdx（1）推导公式的思路MM+dMFsFs1假想地用横截面m—m,

n—n

从梁中截取dx

一段。剪力产生切应力。两横截面上均有剪力和弯矩。弯矩产生正应力，两横截面上的弯矩不等

。所以两截面上到中性轴距离相等的点（用y

表示）其正应力也不等。正应力（）分布图mmnnMM+dMFsFsmmnnymnnmohbdxxyz2假想地从梁段上截出体积元素mB1yABA1B1y体积元素mB1在两端面mA1

,nB1

上两个法向内力不等。3mnnmohbdxxyzyABA1B1xzyBmnAB1A1dxymnnmohbdxxyzyABA1B1xzyBmnAB1A1dx4在纵截面AB1上必有沿x

方向的切向内力dFs。此面上也就有切应力’dFs因为微元段

dx

的长度很小，所以假设切应力在

AB1

面上均匀分布。ymnnmohbdxxyzyABA1B1xzyBmnAB1A1dxdFs根椐切应力互等定理，在横截面的横线AA1

上也应有切应力。且横截面的横线AA1上各点的切应力相等。由静力平衡方程，求出dFs。推导公式的步骤1和分别求出横截面mA1和nB1上正应力的合力234dFs

除以AB1

面的面积得纵截面上的切应力

。

由此得到横截面上距中性轴为任意y的点上的切应力

。yxzyBmnB1A1AdFsdxb（2）公式推导yxzBmnAB1A1假设m—m,n—n上的弯矩为M

和M+dM

。两截面上距中性轴y1

处的正应力为

1

和

2。y1dAdFs1求yxzBmnAB1A1y1用A*

记作mA1的面积dFsyxzBmnAB1A1y1Sz*是面积A*对中性轴z的静矩。同理A*为横截面距中性轴为y的横线以外部分mA1

的面积。dFsyxzBmnAB1A1y1dFs2由静力平衡方程求dFs3求纵截面AB1上的切应力’yxzBmnAB1A1y1dFs4横截面上距中性轴为任意y的点，其切应力

的计算公式。上式为

矩形截面梁对称弯曲时横截面上任一点处的切应力计算公式。ZbyIz—整个横截面对中性轴的惯性矩b—矩型截面的宽度Sz*—过求切应力的点做与中性轴平行的直线，该线任一边的横截面面积对中性轴的静矩

—其方向与剪力Fs

的方向一致y3.切应力沿截面高度的变化规律nBmAxyzOy

沿截面高度的变化由静矩Sz*

与y

之间的关系确定。nBmAxyzOybh/2A1B1m1y1dy1可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化。

处，（即在横截面上距中性轴最远处)，切应力等于零y=0处，(

即在中性轴上各点处），切应力达到最大值式中，

A=bh

,为矩形截面的面积。矩形截面切应力沿截面高度的变化如图所示。

maxz截面静矩的计算方法AA为截面面积yC为截面的形心坐标yC例题：一矩形截面简支梁。已知l=3m，h=160mm，b=100mm，

h1=40mm，F=3kN，求m—m上K点的切应力。l/6ABFFmml/3l/3l/3bhzKh1解：因为两端的支座约束力均为F=3kN所以m—m截面的剪力为Fs=3kNl/6ABFFmml/3l/3l/3bhzKh1A*y02.工字形截面梁横截面腹板上的切应力假设求应力的点到中性轴的距离为y。toyhbxdzyFs——距中性轴为

y

的横线以外部分的横截面面积对中性轴的静矩。d

——腹板的厚度ozydxyo(c)zy（2）最大切应力也在中性轴上。这也是整个横截面上的最大切应力。（1）腹板上的切应力沿腹板高度按二次抛物线规律变化。ozy式中——中性轴任一边的半个横截面面积对中性轴的静矩。zy3.薄壁环形截面梁图式为薄壁环形梁横截面截面。环壁厚度为，环的平均半径为r0。（

«r0）zy（1）横截面上切应力的大小沿壁厚无变化。（2）切应力的方向与圆周相切。假设：zyA=2r0

为环形截面的面积横截面上最大的切应力发生中性轴上，其值为4.圆截面梁在截面边缘上各点的切应力的方向与圆周相切。yzodyzod假设：（1）沿宽度kk´上各点处的切应力均汇交于o´点。（2）各点处切应力沿

y

方向的分量沿宽度相等。k´kyo´yzodk´kyo´为圆截面的面积最大切应力发生在中性轴上5.等直梁横截面上最大切应力的一般公式对于等直梁，其最大切应力

max

一定在最大剪力Fs,max所在的横截面上，而且一般说是位于该截面的中性轴上。全梁各横截面中最大切应力可统一表达为b——

横截面在中性轴处的宽度——全梁的最大剪力——

整个横截面对中性轴的惯性矩——中性轴一侧的横截面面积对中性轴的静矩例题：图示简支梁由56号a工字钢制成。求梁的最大切应力

max和同一截面腹板部分a点处的切应力

a，并分析切应力沿腹板高度的变化规律。a1665602112.5zABF5m10m解：作剪力图75kN75kNa1665602112.5zABF5m10m查型钢表将代入公式d=12.5mm,,和a1665602112.5za点以外的截面面积对中性轴的静矩

为a1665602112.5zdthtbz切应力的变化规律应与Sz*

的变化规律相同。y12此式说明

沿腹板高度按二次抛物线规律变化。二、梁的切应力强度条件梁除满足正应力强度外，还需满足切应力强度。对于横力弯曲下的等直梁，其横截面上一般既有弯矩又有剪力。梁上最大正应力发生在弯矩最大的横截面上距中性轴最远的各点处。而梁上最大的切应力发生在剪力最大的横截面上中性轴的各点处

。等直梁的最大切应力一般在最大剪力所在横截面的中性轴上各点处，这些点的正应力

=0

，略去纵截面上的挤压力后，最大切应力所在的各点均可看作是处于纯剪切应力状态。讨论:全梁承受均布荷载的矩形截面简支梁C,D,E,F,G,H各点的应力状态。EGHCDFmqlmEGHCDFmqlm在最大弯矩截面上，距中性轴最远的C

和D

点处于单轴应力状态

；在最大剪力截面上，中性轴上的E,F

点处于纯剪切应力状态;而G,H

点处于一般应力状态。Fs

图M

图㈩EGHCDFmqlmC,D为单轴应力状态CDFs

图M

图㈩EGHCDFmqlmFEE

,F

为纯剪切应力状态Fs

图M

图㈩EGHCDFmqlmG

,H

为一般应力状态GHFs

图M

图㈩仿照纯剪切应力状态下的强度条件公式，即梁的切应力强度条件为式中：[]

为材料在横力弯曲时的许用切应力。为中性轴任一边的半个横截面面积对中性轴的静矩在选择梁的截面时，通常先按正应力选出截面，再按切应力进行强度校核。例题：

简支梁受均布荷载作用，其荷载集度梁的跨长l=3m,横截面为,许用弯曲正应,许用切应力,校核梁的强度。

力ABq(1)梁的正应力强度校核最大弯矩发生在跨中截面上，其值为ABq梁横截面的的抗弯截面系数为横截面上的最大正应力(2)梁的切应力强度校核矩形截面的面积为梁横截面上的最大切应力梁最大的剪力为

所以此木梁是安全的。p例题：一简易起重设备如图a所示。起重量（包含电葫芦自重）P=30kN。跨长l=5m。吊车大梁AB

由20a工字钢制成。其许用弯曲正应力[]=170MPa，许用弯曲切应力[]=100MPa，试校核梁的强度。5mAB解：此吊车梁可简化为简支梁p2.5mPC37.5kN.m+力P在梁中间位置时有最大弯矩。由型钢表查得20a工字钢的所以梁的最大正应力为(1)正应力强度校核(2)切应力强度校核在计算最大切应力时，应取荷载P

在紧靠任一支座。例如支座A

处所示，因为此时该支座的支反力最大，而梁的最大切应力也就最大。5mABP查型钢表中，20a号工字钢，有

d=7mm+FsmaxRARB以上两方面的强度条件都满足，所以此梁是安全的。据此校核梁的切应力强度例题：一简支梁受四个集中荷载P1=120kN，P2=30kN，P3=40kN，P4=12kN。此梁由两根槽钢组成，已知梁的许用应力

=170MPa，=100MPa。试选择槽钢型号。zyo0.60.40.40.32.4ABzyo0.60.40.40.32.4ABRARB解：支座约束力为RA=138kNRB=64kN138181252+55.262.45438.464画内力图Fs,max=138kNMmax=62.4kN.mFs--(kN)M--(kN.m)（1）由正应力强度条件选择槽钢型号根据正应力强度条件公式，此梁所需要的抗弯截面系数为138181252+55.262.45438.464Fs--(kN)M--(kN.m)每一槽钢所需要的抗弯截面系数为从型钢表中选用

20a

号槽钢，其抗弯截面系数为小于所需

Wz约

3%

。当此梁选用两根20a

号槽钢时，梁的最大正应力超过许用正应力约3%

，在工程上是允许的。（2）校核最大切应力2007310011713818125264Fs--(kN)由型钢表查得20a

号槽钢的Iz=1780cm4。由此可见，所选的20a

号工字钢满足切应力强度条件，

因而可用。由于梁是由两根槽钢组成，故每一根槽钢分担的最大剪力为例题：对于图中的吊车大梁，现因移动荷载P

增加为50kN，故在20a号工字钢梁的中段用两块横截面为120mm10mm而长度2.2mm的钢板加强，加强段的横截面尺寸如图所示。已知许用弯曲正应力[]=152MPa,许用切应力[]=95MPa。试校核此梁的强度。2.2m200Z22012010解：加强后的梁是阶梯状变截面梁。所以要校核（3）P

移至未加强的梁段在截面变化处的正应力（2）P

靠近支座时支座截面上的切应力（1）P位于跨中时跨中截面上的弯曲正应力（1）校核P位于跨中时截面时的弯曲正应力从型钢表中查得20a

工字钢最大弯矩值