专题03轴对称-2023年中考数学必考题型规律分析与趋势预测

专题03轴对称【必拿分】一、规律分析“轴对称”通常出现在天津中考数学选择题部分第4题和填空题部分第17题，2022年出现在选择题部分第4题和第10题，主要涵盖以下几个考点：1．轴对称图形；2．等腰三角形。二、考点详解1．轴对称图形（1）定义：如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够相互重合，那么这个图形叫做轴对称图形。（2）常见的轴对称图形：等腰三角形，等腰梯形，矩形，菱形，正多边形，圆。2．等腰三角形的性质（1）定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。（2）性质①等腰三角形的两个底角相等；（等腰对等角）②等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合。（三线合一）3．等腰三角形多解问题（1）关于边的分类讨论若△ABC是等腰三角形，则①AB=AC；②AB=BC；③AC=BC。（2）关于角的分类讨论若△ABC是等腰三角形，则①∠A=∠B；②∠A=∠C；③∠B=∠C。4．等腰三角形存在性问题（1）以AB为腰①以A为顶角顶点（AB=AP）以点A为圆心，线段AB长为半径画圆，点P位于圆上（红圆）任意一点（点B、C位置除外）；②以B为顶角顶点（BA=BP）以点B为圆心，线段AB长为半径画圆，点P位于圆上（紫圆）任意一点（点A、D位置除外）。（2）以AB为底边（PA=PB）作线段AB的垂直平分线EF，点P位于直线EF上任意一点（点G位置除外）。（3）格点作图在如图所示的格点中找点C，使得△ABC是以AB为其中一条腰的等腰三角形。作法：以点A或点B为圆心，线段AB长为半径画圆。（A、B、C共线时不构成三角形）三、真题在线1．（2022•天津中考•第4题）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A． B． C． D．解：选项A、C、B不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，答案：D．2．（2021•天津中考•第4题）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A． B． C． D．解：A．是轴对称图形，故此选项符合题意；B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；D．不是轴对称图形，故此选项不合题意；答案：A．3．（2020•天津中考•第4题）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A． B． C． D．解：A、不是轴对称图形，不合题意；B、不是轴对称图形，不合题意；C、是轴对称图形，符合题意；D、不是轴对称图形，不合题意；答案：C．4．（2022•天津中考•第10题）如图，△OAB的顶点O（0，0），顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴，若AB＝6，OA＝OB＝5，则点A的坐标是（）A．（5，4） B．（3，4） C．（5，3） D．（4，3）解：设AB与x轴交于点C，∵OA＝OB，OC⊥AB，AB＝6，∴AC=12由勾股定理得：OC=O∴点A的坐标为（4，3），答案：D．5．（2021•天津中考•第17题）如图，正方形ABCD的边长为4，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在BC，CD的延长线上，且CE＝2，DF＝1，G为EF的中点，连接OE，交CD于点H，连接GH，则GH的长为132．解：如下图，连接OF，过点O作OM⊥CD交CD于M，∵O为正方形对角线AC和BD的交点，∴OM＝CM＝DM＝CE＝2，易证△OHM≌△EHC，∴点H、点G分别为OE、FE的中点，∴GH为△OEF的中位线，∴GH=12在Rt△OMF中，由勾股定理可得OF=O∴GH=12OF答案：1326．（2020•天津中考•第17题）如图，▱ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG．若AD＝3，AB＝CF＝2，则CG的长为32解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，CD＝AB，DC∥AB，∵AD＝3，AB＝CF＝2，∴CD＝2，BC＝3，∴BF＝BC+CF＝5，∵△BEF是等边三角形，G为DE的中点，∴BF＝BE＝5，DG＝EG，延长CG交BE于点H，∵DC∥AB，∴∠CDG＝∠HEG，在△DCG和△EHG中，∠CDG=∠HEGDG=EG∴△DCG≌△EHG（ASA），∴DC＝EH，CG＝HG，∵CD＝2，BE＝5，∴HE＝2，BH＝3，∵∠CBH＝60°，BC＝BH＝3，∴△CBH是等边三角形，∴CH＝BC＝3，∴CG=12CH答案：32四、趋势预测重点关注“汉字类轴对称图形”和“等腰三角形存在性问题”。7．下列书写的4个汉字中，可以看作轴对称图形的是（）A．B．C．D．解：A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；答案：C．8．如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．解：选项A、C、B不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，答案：D．9．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．解：A．是轴对称图形，故本选项符合题意；B．不是轴对称图形，故本选项不合题意；C．不是轴对称图形，故本选项不合题意；D．不是轴对称图形，故本选项不合题意．答案：A．10．下列品牌的标识中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．解：A．是轴对称图形，故此选项符合题意；B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；D．不是轴对称图形，故此选项不合题意；答案：A．11．下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．解：由轴对称图形的概念可知，选项A，C，D中的图形沿着一条直线翻折，直线两方的部分能够完全重合，所以它们是轴对称图形，而选项B中的图形找不到这样一条直线，翻折后使直线两方的部分能够完全重合，所以它不是轴对称图形．答案：B．12．下列图形中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．解：由轴对称图形的概念可知，选项B中的图形沿着一条直线翻折，直线两方的部分能够完全重合，所以它是轴对称图形，而选项A，C，D中的图形找不到这样一条直线，翻折后使直线两方的部分能够完全重合，所以它们都不是轴对称图形．答案：B．13．如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若△ABC的面积是24，PD＝1.5，则PE的长是（）A．2.5 B．2 C．3.5 D．3解：如图，过点E作EG⊥AD于G，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD＝CD，∴∠PDF＝∠EGP＝90°，EG∥BC，∵点E是AB的中点，∴G是AD的中点，∴EG=12∵F是CD的中点，∴DF=12∴EG＝DF，∵∠EPG＝∠DPF，∴△EGP≌△FDP（AAS），∴PG＝PD＝1.5，∴AD＝2DG＝6，∵△ABC的面积是24，∴12•BC•AD∴BC＝48÷6＝8，∴DF=14∴EG＝DF＝2，由勾股定理得：PE=2答案：A．14．如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，AD与BC相交于点O，小正方形的边长为1，则AO的长等于（）A．2 B．73 C．625解：如图：连接AE，由题意得：AE∥BC，AD=32+∴AD＝DE＝5，∴∠DAE＝∠DEA，∵AE∥BC，∴∠DAE＝∠DOC，∠DEA＝∠DCO，∴∠DOC＝∠DCO，∴DO＝DC＝3，∴AO＝AD﹣DO＝5﹣3＝2，答案：A．15．如图，△ABC是等边三角形，D是AC的中点，点E在BC的延长线上，点F在AB上，∠EDF＝120°，若AB＝5，则BE+BF的值为152解：作DG∥BC交AB于G，如图所示：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，∵D为AC的中点，∴AD＝DC=12∵DG∥BC，∴∠AGD＝∠B＝∠ADG＝∠C＝60°，∴△ADG为等边三角形．∴AG＝DG＝AD，∴DG＝DC，∵∠EDF＝∠GDC＝120°，∴∠GDF＝∠CDE，在△DCE和△DGF中，∠DGF=∠DCEDC=DG∴△DCE≌△DGF（SAS），∴DF＝DE，DG＝DC．∵BE+BF＝BC+GF+BF，∴BE+BF＝BG+BC，设BA＝BC＝AC＝2a，∴CD＝AD＝BG＝a，∴BC+BG＝3a，∴BC+BG=32即：BE+BF=32AB=3答案：15216．如图，边长为2的菱形ABCD的顶点D在等边△EFA的边EA上，点B在FA的延长线上，若D为AE的中点，连接FC，则FC的长为27．解：如图，过C作CM⊥AB于M，则∠CMB＝∠CMF＝90°，∵菱形ABCD是边长为2，∴AD＝AB＝BC＝2，AD∥BC，∵D为AE的中点，∴AE＝2AD＝4，∵△EFA是等边三角形，∴∠EAF＝60°，AF＝AE＝4，∵AD∥BC，∴∠B＝∠EAF＝60°，∵∠CMB＝90°，∴∠BCM＝90°﹣∠B＝30°，∴BM=12∴CM=B∵FB＝AF+AB＝4+2＝6，∴FM＝FB﹣BM＝6﹣1＝5，在Rt△CMF中，由勾股定理得：FC=FM2答案：27．17．如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，点E，F在边BC上，BE＝CF＝2EF，点D在△ABC内，且AG＝GD＝GE=19，则△ABC的周长为15解：如图，连接AE，连接AD并延长交BC于点N，过点G作GMIDE于点M，连接BD、CD，设EF＝2x，且x＞0，则BE＝CF＝2EF＝4x，∴BC＝BE+EF+CF＝4x+2x+4x＝10x，∵△DEF是等边三角形，∴DE＝DF＝EF＝2x，∠DEF＝∠DFE＝60°，∴∠BED＝∠CFD＝120°，在△BED和△CFD中，DE=DF∠BED=∠CFD∵△BED≌△CFD（SAS），∴BD＝CD，∴点D在BC的垂直平分线上，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝10x，∴点A在BC的垂直平分线上，∴AN垂直平分BC，∴BN＝CN=12BC=12x10∵∠ANE＝90°，BE＝CF＝4x，∴EN＝FN＝5x﹣4x＝x，∴AN=AB2−B∵GD＝GE，GM⊥DE，∴∠GMD＝∠ANE＝90°，∴DM=12DE＝∵∠DGM＝∠EGM=12∴EN＝DM＝x，∵AG＝GD＝GE=19∴A、D、E在以G为圆心、以19为半径的圆上，∴∠EAN=12∴∠EAN＝∠DGM，在△EAN和△DGM中，∠EAN=∠DGM∠ANE=∠GMD∴△EAN≌△DGM（AAS），∴AE＝GD=19∵∠ANE＝90•（已证），∴EN2+AN2＝AE2，∴x2+（53x）2＝（19）2，解得x=12或x∴BC＝10x＝10×1∵△ABC是等边三角形，∴△ABC的周长为3BC＝3×5＝15，答案：15．18．如图，在正方形ABCD中，点E，P分别是边AD，BC上的点，PE交AC于点F，∠PEA＝∠CED，DE=3，过点F作CE的垂线，分别交CE，CD于点H，G，则CG的值为23解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∠BDC＝∠D＝90°，∴∠CED＝90°﹣∠DCE，∵∠PEA＝∠CED，∴∠PEC＝180°﹣2∠CED＝180°﹣2×（90°﹣∠DCE）＝2∠DCE，∵AD∥BC，∴∠EPC＝∠PEA＝∠CED＝90°﹣∠DCE，过点E作EM⊥CP于M，如图1所示：则四边形CDEM为矩形，∴DE＝CM，∵AD∥BC，∴∠ECP＝∠CED，∠EPC＝∠PEA，∵∠PEA＝∠CED，∴∠ECP＝∠EPC，∴△CEP是等腰三角形，∵EM⊥CP，∴CM＝PM，∴PC＝2CM＝2DE＝23，∵FG⊥CE，∴∠DCE+∠CGF＝90°，∵∠DCE+∠CED＝90°，∴∠CGF＝∠CED，∵∠CPF＝∠CED，∴∠CGF＝∠CPF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠GCF＝∠PCF＝45°，∵CF＝CF，∴△CGF≌△CPF（AAS），∴CG＝CP＝23．答案：23．19．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均为格点．点D为边AC上一点，且AD＝AB．（Ⅰ）AC的长等于5；（Ⅱ）点P，B分别在边AC的两侧，PD⊥AC，且PA＝AC，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）．解：（Ⅰ）由勾股定理得，AC=A答案：5；（Ⅱ）如图所