专题17多边形与平行四边形（讲义）中考数学一轮复习

专题17多边形与平行四边形1．了解多边形的顶点、边、内角、外角、对角线等概念；2．了解正多边形的概念，能探索并掌握多边形的内角和与外角和公式；3．理解平行四边形的概念、判定及性质，了解四边形的不稳定性；考点1：多边形的内角和与外角和（1）多边形的内角和：边形的内角和为(－2)·180°(≥3)．注：(1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于.（2）多边形的外角和：任意多边形的外角和都为360°.注：多边形的外角和为360°．边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.考点2：平行四边形（1）平行四边形的定义平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.注：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.平行四边形的性质1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.（3）平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；3.两组对角相等的四边形是平行四边形4.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.（4）平行线间的距离两条平行线间的距离：（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.（2）平行线间的距离处处相等任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度.两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.平行四边形的面积：平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等.【题型1：多边形的对角线】【典例1】下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（

）A．1，1，1 B．1，1，8 C．1，2，2 D．2，2，2【答案】D【分析】若四条线段能组成四边形，则三条较短边的和必大于最长边，由此即可完成．【详解】A、1+1+1<5，即这三条线段的和小于5，根据两点间距离最短即知，此选项错误；B、1+1+5<8，即这三条线段的和小于8，根据两点间距离最短即知，此选项错误；C、1+2+2=5，即这三条线段的和等于5，根据两点间距离最短即知，此选项错误；D、2+2+2>5，即这三条线段的和大于5，根据两点间距离最短即知，此选项正确；故选：D．【点睛】本题考查了两点间线段最短，类比三条线段能组成三角形的条件，任两边的和大于第三边，因而较短的两边的和大于最长边即可，四条线段能组成四边形，作三条线段的和大于第四条边，因而较短的三条线段的和大于最长的线段即可．1．一个边形从一个顶点可引3条对角线．则为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】本题考查了多边形的对角线，牢记n边形从一个顶点出发可引出条对角线是解答本题的关键．根据对角线公式计算即可．【详解】解：由题意，得，∴．故选C．2．如图，在正五边形中，若边长，则的长为．

【答案】/【分析】根据正五边形以及等腰三角形的性质得出，再根据相似三角形的性质求出，最后由线段和差即可求出的长．【详解】解：如图，

∵五边形是正五边形，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，即，解得或（舍去），∴，故答案为：．【点睛】此题考查了正五边形以及等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用．3．从多边形的一个顶点出发，分别连接这个点与同它不相邻的各个顶点，得到9个三角形，那么这个多边形为边形．【答案】11【分析】本题主要考查了多边形的性质，解题的关键是从n边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的三角形个数为的规律进行解答即可．【详解】解：设多边形有n条边，则，解得：，故多边形是十一边形．故答案为：11．4．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形，每个小正方形的顶点称为格点）中完成下列各题：(1)画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称的图形；(2)在上画出点P，使最小；(3)在上画出点Q，使Q到B，C两点的距离相等；(4)四边形的面积为_______．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析(4)12【分析】本题考查作图应用与设计作图，网格中求多边形的面积，垂直平分线的性质，轴对称最短问题等知识．（1）根据对称的性质分别找出点关于直线的对称点，依次连接即可；（2）在（1）的基础上，连接交于点P，点P即为所求；（3）取格点H，G，连接并延长交于点Q，点Q即为随求；（4）根据梯形的面积公式代入数值计算即可．【详解】（1）解：如图所示：为所求；（2）解：如图所示：点P为所求；连接交于点P，点C与点关于对称，，此时最小；（3）解：如图所示：点Q为随求；取格点H，G，连接并延长交于点Q，是的垂直平分线，，Q到B，C两点的距离相等；（4）解：四边形的面积为：，故答案为：12．【题型2：多边形的内角和与外角和】【典例2】一个多边形的内角和是，则它是（）边形A．八 B．十 C．十一 D．十二【答案】D【分析】此题考查了多边形的内角和，熟练掌握内角和公式是解题的关键．设多边形的边数是，根据多边形内角和公式列式计算即可．【详解】解：设多边形的边数是，则解得．所以它是十二边形．故选：D．1．已知一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形是（

）A．八边形 B．七边形 C．六边形 D．五边形【答案】A【分析】本题考查多边形的内角和和外角和的综合应用，根据边形的内角和为，外角和为，列出方程进行求解即可．【详解】解：设这个多边形的边数为，由题意，得：，解得：；∴这个多边形是八边形；故选A．2．一个正方形、一个正三角形和一个正五边形如图摆放，若，则．【答案】【分析】本题考查了正多边形的内角和定理；根据正多边形的内角以及三角形的外角和为度，即可求解．【详解】解：正三角形的每一个内角为，正方形的每一个内角为，正五边形的每一个内角为，∵，，∴，故答案为：．3．已知一个多边形的每一个内角都相等，且每个内角都等于与它相邻的外角的9倍，则这个多边形的边数为．【答案】20【分析】本题主要考查多边形的外角和定理以及一元一次方程的应用，多边形的外角和都等于．根据题意，列出关于x的一元一次方程，解方程即可求解．【详解】解：设这个多边形的外角为，那么：，解得：∴这个多边形的边数是，故答案为：20．4．如图，在四边形中，和的平分线交于点E．(1)若，则______；(2)若，则______；(3)请你探究之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)50(2)55(3)结论：，见解析【分析】本题考查了四边形内角和定理，角的平分线，三角形内角和定理，探究角直角的关系．（1）根据，结合，得到，再根据角的平分线，得到，利用三角形内角和定理计算即可．（2）仿照（1）的解答计算即可．（3）仿照（1）的解答计算即可．【详解】（1）根据题意，得，∵，∴，∵和的平分线交于点E，∴，∴，∵∴．故答案为：50．（2）根据题意，得，∵，∴，∵和的平分线交于点E，∴，∴，∵∴．故答案为：55．（3）．理由如下：根据题意，得，∴，∵和的平分线交于点E，∴，∴∵∴．故．【题型3：平行四边形的性质】【典例3】如图，在中，，，于点，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此题考查了平行四边形的性质，等边对等角求角度，直角三角形两锐角互余的性质；根据等边对等角求出，得到，根据平行四边形的对边平行得到，再根据直角三角形两锐角互余求出度数．【详解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故选：D．1．如图，中，过对角线的交点，，，，则四边形的周长为（

）A．16 B．19 C．22 D．32【答案】C【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的性质与判定；证明，得出，，进而可得四边形的周长为，即可求解．【详解】解：四边形是平行四边形，，，．在和中，，，，，，．又，，，，四边形的周长为：．故选C．2．如图，在平行四边形中，，按下列步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点分别为点，；②过点，作直线，交于点．如果的周长为8，那么平行四边形的周长是．【答案】16【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质及平行四边形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质及平行四边形的性质是解答本题的关键；由中垂线的作法可知，然后由的周长为8，可知，继而可求出平行四边形的周长．【详解】解：由作法得：垂直平分，，的周长为8，即，，即，四边形是平行四边形，，，平行四边形的周长．故答案为：16．3．如图，在平行四边形中，的平分线分别与交于点．当时，的值为．【答案】【分析】根据平行四边形的性质得到，根据角平分线的定义、等腰三角形的判定定理得到，根据相似三角形的性质计算，得到答案．【详解】解：四边形是平行四边形，平分，故答案为：．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，等腰三角形的性质，角平分线定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．4．如图，在中，延长到，使，连接交于点，，，求的长．【答案】【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，根据平行四边形的性质得，易得，进而得到，由，即可求解．【详解】解：四边形是平行四边形，，，，，，，即，．【题型4：平行四边形的判定】【典例4】如图，在四边形中，，若添加一个条件，能判断四边形为平行四边形的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，根据平行四边形的判定定理逐项分析判断即可求解．【详解】解：A．根据，，不能判断四边形为平形四边形，故该选项不正确，不符合题意；B．由，，根据一组对边平行且相等的四边形为平形四边形，故该选项正确，符合题意；C．根据，，不能判断四边形为平形四边形，故该选项不正确，不符合题意；D．根据，，不能判断四边形为平形四边形，故该选项不正确，不符合题意；故选：B．1．不能判定一个四边形是平行四边形的条件是（

）A．一组对边相等，另一组对边平行 B．一组对边平行且相等C．两条对角线互相平分 D．两组对边分别相等【答案】A【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法逐项判断即可．【详解】解：一组对边相等，另一组对边平行，不能判定一个四边形是平行四边形，故A选项正确；一组对边平行且相等，能判定一个四边形是平行四边形，故B选项错误；两条对角线互相平分，能判定一个四边形是平行四边形，故C选项错误；两组对边分别相等，能判定一个四边形是平行四边形，故D选项错误；故选A．2．如图，中，，，D，E分别为上的点，，F，G分别为，的中点，连，则的长度是．

【答案】【分析】取的中点，连接，并延长交于点，交于点，根据三角形中位线定理得出，，，，证明四边形是矩形，再根据勾股定理求解即可．【详解】解：如图，取的中点，连接，并延长交于点，交于点，

，分别为，的中点，是的中位线，是的中位线，，，，，四边形是平行四边形，，四边形是矩形，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了三角形中位线的判定与性质，平行四边形的判定，矩形的判定与性质，勾股定理等知识点，根据三角形中位线的性质和已知条件得到是解答本题的关键．3．如图，在中，，，，是的中点，点在上，分别连接、交于点若，则．

【答案】【分析】本题是一道综合性较强的一道几何题，结合矩形和平行四边形的判定和性质，再加构造全等三角形，一线三直角模型，题目中给出的是一个非常关键的数据，先是构造矩形，过点A作的平行线，在过点作的垂线，构造等腰直角三角形，再利用全等，可以求出长度，最后利用，求出长．【详解】解：过点，分别作，的平行线交于点，则四边形为矩形，

过点作交于点，过点作交的延长线于点，过点作的平行线分别交，的延长线于点，，则四边形为矩形，∵，；∴，为等腰直角三角形，，；；；∴；∴，；为的中点，；∴；∵四边形是平行四边形；∴；∴；∴；∴；∵；；；即；∴；故答案为：．【点睛】本题主要考查构造平行四边形，矩形，构造一线三直角模型证全等，相似三角形的判定好性质，遇到角，优先想到构造等腰直角三角形证全等，这样可以转化线段长度，掌握矩形性质和全等条件的高度融合，在平行线中利用相似求线段长度是解题的关键．4．如图，点F是四边形的边上的一点，直线交线段的延长线于点E．，，，．(1)求证：；(2)若，，试判断四边形的形状并说明理由．【答案】(1)见解析(2)四边形是平行四边形，理由见解析【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质．（1）根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可得解；（2）根据相似三角形的性质得到，，即可判定，求得，根据“对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得解．【详解】（1）证明：∵，，，，∴，，∴，又∵，∴；（2）解：四边形是平行四边形，理由如下：由（1）知，∴，，∴，∵，，∴，∴四边形是平行四边形．【题型5：三角形的中位线】【典例5】如图，菱形的对角线，相交于点O，E，F分别是，边上的中点，连接．若，，则菱形的面积为（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键．首先根据三角形中位线定理得到，再计算菱形的面积即可．【详解】E，F分别是，边上的中点，，，四边形是菱形，菱形的面积=，故选：C．1．如图，分别是的边上的中点，如果的周长是，则的周长是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据线段中点的定义、三角形中位线定理得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：分别是的边上的中点是的中位线，，的周长，，的周长故选∶D．2．如图，矩形中，，.F是上一点，将沿所在的直线折叠，点A恰好落在边上的点E处，连接交于点G，取的中点H，连接，则.【答案】【分析】本题考查图形的折叠，熟练掌握翻折的性质，矩形的性质，三角形中位线的性质是解题的关键．由折叠可知，垂直平分，连接，可得是的中位线，求出即可求．【详解】解：由折叠可知，垂直平分，连接，是的中点，是的中点，，，，，，故答案为：．3．如图，平行四边形的对角线与相交于点O，E为边中点，点F在的延长线上，，于G，，则的长为．

【答案】【分析】根据三线合一可得是等腰的中线，进而可得，即有，结合勾股定理可得，再证明是的中位线，问题得解．【详解】∵E为边中点，∴，∵，，∴是等腰的中线，∴，∵，∴，在中，，∴，∵平行四边形的对角线与相交于点O，∴点O是的中点，∵E为边中点，∴是的中位线，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线的判定与性质等知识，求出，进而求出，是解答本题的关键．4．【感知】小明同学在学习相似三角形时遇到这样一个问题：如图，在中，点是的中点，点是的一个三等分点，且．连结，交于点，求的值．小明发现，过点作交于，可证明，得到相关结论后，再利用相似三角形的性质即可得到问题的答案．下面是小明的部分证明过程：解：如图①，过点作交于，则，，∵是的中点，∴，∴，∴，∴，∵是的一个三等分点，且，∴，∴，∴请你补全余下的证明过程．【尝试应用】如图②，在中，为上一点，，连结，若，交、于点、．若，，，则的长为______．【拓展提高】如图③，在平行四边形中，点为的中点，点为上一点，与、分别交于点、，若，则的值为______【答案】【感知】3，补全证明见详解；【尝试应用】；【拓展提高】【分析】[感知]由得，可推导出，进而得出答案．[尝试应用]取的中点H，连接，得，则∥，可证，得，可得，进而求得．[拓展提高]作∥交于点L，得，由平行四边形得∥和，可证，得到，由，得到，进一步得，则有．【详解】解：感知：如图①，过点作交于，则，，∵是的中点，∴，∴，∴，∴，∵是的一个三等分点，且，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，尝试应用：取的中点H，连结，如下图：AI则，∵，，，∴，，∴，，∵，∴，∴，∴，∴．拓展提高：如图，作交于点L，AI∵点E为的中点，∴，∴，则，∵四边形是平行四边形，∴，，∵，∴，∴，则，∵，∴，∴，则，那么，，∴，故．故答案为∶．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的中位线定理、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，解题的关键是作辅助线并转化线段之间的关系．1．从六边形的一个顶点出发，可以画出对角线的条数是（

）A．3 B．4 C．6 D．9【答案】A【分析】本题考查多边形的性质，从边形的一个顶点出发，能引出条对角线，这条对角线把多边形分成个三角形．根据多边形的对角线的定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，得出边形从一个顶点出发可引出条对角线．【详解】解：从六边形的一个顶点出发，可以画出条对角线故选A.2．一个正多边形的每个内角都是，那么它是（

）A．正六边形 B．正八边形 C．正十边形 D．正十二边形【答案】C【分析】本题主要考查了正多边形的性质．先求出一个外角的度数，利用正多边开有外角和为即可求出边数．【详解】解：∵该多边形每个内角都是，∴该多边形一个外角，∴该多边形的边数，故选：C．3．如图,在中,,分别为,的中点,若,则是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查相似三角形的判定及性质,根据题意判定,再利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可得到本题答案．【详解】解:∵,分别为,的中点,∴,∴,∴,∵,∴,∴,故选:C．4．如图，在中，E为边延长线上一点，连结．若的面积为6，则的面积为（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】此题主要考查利用平行四边形的性质．首先根据平行四边形的性质，平行四边形和的高相等，即可求解．【详解】解：∵四边形为平行四边形，∴，∴平行四边形和的高相等，，故选：C．5．在中，对角线、交于点O，若，，，的周长为（）A．13 B．16 C．18 D．21【答案】A【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，利用平行四边形的性质对角线互相平分，进而得出，的长，即可得出的周长．【详解】解：∵的两条对角线交于点O，，，，∴，，，∴的周长为：．故选：A．6．一个多边形的内角和是，这个多边形是边形．【答案】/十二【分析】本题考查多边形内角和公式．边形内角和为，根据公式代入题干数据即可得到本题答案．【详解】解：一个多边形的内角和是，∴，解得：，∴这个多边形是边形．故答案为：．7．如果一个正多边形的一个外角是，那么这个正多边形的边数为．【答案】12/十二【分析】本题考查了多边形的内角与外角的关系，根据正多边形的每一个外角都相等，多边形的边数，计算即可求解．【详解】解：这个正多边形的边数为：，故答案为：12．8．如图，D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是．【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形【解析】略9．已知一个直角三角形的两条直角边和分别为6、8．点点分别为和的中点，则，斜边的高线．

【答案】54.8【分析】由勾股定理可求出，根据中位线定理即可求出；根据即可求出．【详解】解：∵∴∵点点分别为和的中点∴∵∴∴故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理、中位线的性质定理．掌握中位线的性质是解题关键．10．如图，D是内一点，，，E，F，G，分别是，，，的中点，则四边形的周长．

【答案】【分析】根据三角形的中位线定理得到，，求出、、、的长，代入即可求出四边形的周长．【详解】解：、、、分别是、、、的中点，，，，，，，四边形的周长是．故答案为：．【点睛】本题主要考查对勾股定理，三角形的中位线定理等知识点的理解和掌握，能根据三角形的中位线定理求出、、、的长是解此题的关键．11．一个多边形的内角和是外角和的倍，则这个多边形是几边形？【答案】六边形【分析】本题考查了多边形内角和与外角和之间的计算，根据边形的外角和是，得到多边形的内角和是，依此列方程即可求解，熟记多边形内角和计算公式及外角和等于是解题的关键．【详解】解：设这个多边形的边数为，∴，解得：，答：这个多边形是六边形．12．如图，一个正方形和一个正六边形有一边重合．

(1)用无刻度的直尺画出这个图形的对称轴，保留作图痕迹，不写作法；(2)求的度数．【答案】(1)见解析(2)的度数为【分析】（1）连接交于点，连接交于点N，过点作直线即可；（2）根据多边形的内角和可得和的度数，再根据周角是即可求解．【详解】（1）解：如图，直线即为所作

（2）解：∵四边形是正方形，∴∵正六边形的内角和为，∴正六边形一个内角的度数为∴∴∴的度数为【点睛】本题考查作图，正多边形的内角和：且为正整数)，角的和差，应用正多边形的性质是解题的关键．13．如图，在6×6的网格中，请用无刻度的直尺完成画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．

(1)在图1中，作中边上的中线；(2)在图2中，作中边上的高；(3)在图3中，找一个格点D，使以为顶点的四边形是平行四边形，在图中画出D点，并写出所有符合条件的D点坐标_________．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)或或【分析】（1）借助矩形的对角线互相平分即可找到的中点，即可完成作图；（2）根据“一线三垂直”的全等模型可作出过点且垂直的线段，再过点作平行线即可；（3）分类讨论当以作为平行四边形的对角线、当以作为平行四边形的对角线、当以作为平行四边形的对角线即可求解．【详解】（1）解：如图，即为所求：

（2）解：如图，即为所求：

（3）解：如图所示：

设点当以作为平行四边形的对角线时：有解得：∴当以作为平行四边形的对角线时：有解得：∴当以作为平行四边形的对角线时：有解得：∴故答案为：或或【点睛】本题考查了尺规作图、平行四边形的性质．掌握相关结论即可．14．如图，在矩形中，点在的延长线上，，求证：四边形是平行四边形．

【答案】见解析【分析】由矩形的性质，得出，，，再由等腰三角形的性质得到，进而推出结论．【详解】四边形矩形，∴，，，∵，即是等腰三角形，∴，∴，∴四边形是平行四边形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质，熟记平行四边形的判定和性质是解题的关键．15．已知，如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于O点，点E、F分别为BO、DO的中点，试证明：

(1)，；(2)四边形AECF是平行四边形；(3)如果E、F点分别在DB和BD的延长线上时，且满足，上述结论仍然成立吗？请说明理由．【答案】(1)见详解1(2)见详解2(3)见详解3【分析】平行四边形的对角线互相平分，从而可得到结论；对角线互相平分的四边形是平行四边形，根据这个判定定理可证明；仍然成立的，仍旧根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可证明．【详解】（1）证明：，是平行四边形中的对角线，O是交点，，．（2），点E、F分别为、的中点，，，四边形AECF是平行四边形．（3）结论仍然成立．理由：，，，，四边形是平行四边形，所以结论仍然成立．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，对角线互相平分的四边形是平行四边形以及全等三角形的判定和性质．1．如图，正五边形和正方形的边重合，连接，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查的是正多边形的内角和，等腰三角形的性质，先分别求解正五边形与正方形的每一个内角的大小，再证明，可得，再利用三角形的内角和定理可得，问题随之得解．【详解】解：∵正五边形，∴，∵正方形，∴，∵正五边形和正方形的边重合，∴，，∴，∴，故选：A．2．如图所示，为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了三角形外角的性质，四边形内角和为，根据三角形外角的性质，将各角转化为四边形的内角和求解．【详解】解：如图，，，，，故选：C．3．如图，在中，点，分别是，的中点，点M，在对角线上，，则下列说法正确的是（）

A．若，则四边形是矩形B．若，则四边形是矩形C．若，则四边形是矩形D．若，则四边形是矩形【答案】D【分析】取中点O，连接、，先证明四边形是平行四边形，再根据矩形的判定定理依次判定即可得到答案．本题考查了平行四边形、矩形的判定定理，掌握矩形的判定定理是解题的关键．【详解】如图，取中点O，连接、，

∵中，点E，F分别是，的中点，，，，，，，，，∴E，O，F三点共线，又，，，即，四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），A选项，不能推出四边形有内角，故不能证明四边形是矩形；B、C、D选项，只有D选项能由、，得到，根据对角线相等的平行四边形是矩形可得四边形是矩形．故选：D4．如图，反比例函数的图像经过平行四边形的顶点，，若点、点、点的坐标分别为，，，且，则的值是（

）A．9 B．10 C．12 D．15【答案】A【分析】本题考查反比例函数与几何图形的结合、平移的性质及平行四边形的性质，解题的关键是根据题目条件，用同一个未知数设出反比例函数图象上的点，然后用反比例函数图象上点的性质列式求解．根据平移和平行四边形的性质将点坐标用、表示，再根据反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积相等列式算出、，再由点坐标求出的值即可．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，∴可由平移得到，∵点、点、点的坐标分别为，，，∴点坐标为，∵反比例函数的图像经过平行四边形的顶点，，∴，∴，∵，∴，，∴，故选：A．5．如图，已知是的中线，E是线段上一点，且，的延长线交于点，则的值为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，取的中点H，连接，则是的中位线，可得，再证明得到，则，据此可得答案．【详解】解：如图所示，取的中点H，连接，∵是的中线，即点D是的中点，∴是的中位线，∴，∴，∴，∴，∴，∴．故选D．

6．一个多边形的每一个外角都是，那么这个多边形的内角和为．【答案】/度【分析】此题考查了多边形的内角和与外角和．由一个多边形的每一个外角都是，可求得其边数，然后由多边形内角和定理，求得这个多边形的内角和．【详解】解：一个多边形的每一个外角都是，多边形的外角和等于，这个多边形的边数为：，这个多边形的内角和为：．故答案为：．7．在正三角形纸片上按如图方式画一个正五边形，其中点F、G在边上，点E、H分别在边、上，则的大小是．【答案】/度【分析】本题考查了等边三角形的性质，多边形内角和，三角形外角的性质，掌握多边形内角和公式是解题关键．由边三角形的性质得到，由多边形内角和得出，再利用三角形外角的性质，即可求出的大小．【详解】解：是正三角形，，正五边形的内角和为，，是的外角，，，故答案为：．8．正比例函数与反比例函数的图象相交于A，C两点，轴于B，轴于D，则四边形的面积为．【答案】2【分析】本题考查的是平行四边形的判定，反比例函数的性质，掌握k的几何意义是解本题的关键；由反比例函数的性质先判断四边形是平行四边形，可得，再利用k的几何意义可得答案．【详解】解：如图，∵轴于B，轴于D，由反比例函数的对称性可得：，，∴四边形是平行四边形，∴，∵，∴，∴；故答案为：2．9．如图，在边长为2的正方形中，，分别是边，上的动点（可与端点重合），，分别是，的中点，则的最大值为．【答案】【分析】本题考查正方形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，确定何时有最大值是解题关键．连接，则是的中位线，，当最大时，有最大值求出即可．【详解】解：连接，如图：，分别是，的中点，是的中位线，，当最大时，有最大值，，分别是边，上的动点，当与重合时，最大为的长，正方形边长为2，，的最大值为，故答案为：．10．如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，，过点O作交于点E，连接．已知，，则的周长是．

【答案】【分析】根据平行四边形的性质，得到，，根据勾股定理得，利用平行线分线段成比例定理，得，得，利用勾股定理，计算周长即可．【详解】∵平行四边形，，，，，∴，，，∴，，∴，∴，的周长是，故答案为：．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，直角三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握勾股定理，平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理是解题的关键．11．如图，在四边形中，，，，，是的平分线，与边交于点．(1)求的度数；(2)______度．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了角平分线的定义，多边形内角和以及三角形内角和定理；（1）根据垂直定义求出，在四边形中根据四边形内角和定理求出；（2）根据三角形内角和定理求出，在四边形中根据四边形内角和定理求出，根据角平分线的定义求出，即可求出答案．【详解】（1）解：，，，．（2），是的平分线，即：，解得：．故答案为：15．12．探究归纳题：(1)如图1，经过四边形的一个顶点可以作条对角线，它把四边形分成个三角形；(2)如图2，经过五边形的一个顶点可以作条对角线，它把五边形分成个三角形；(3)探索归纳：对于边形，过一个顶点可以作条对角线，它把边形分成个三角形；（用含的式子表示）(4)如果经过多边形的一个顶点可以作100条对角线，那么这个多边形的边数为．【答案】(1)12(2)23(3)(4)103【分析】本题考查多边形的对角线、边及三角形分割等规律探究．（1）根据题意画出对图中的一个顶点的对角线即可得到结论；（2）根据题意画出对图中的一个顶点的对角线即可得到结论；（3）根据（1）（2）中的结论，可找到规律即可得到结论；（4）将100代入（3）的结论中即可得到答案．【详解】（1）如图1：经过1个顶点做1条对角线，它把四边形分为2个三角形，故答案为：1，2（2）如图2：经过五边形一个顶点，共有2条对角线，将这个多边形分为3个三角形；故答案为：2，3．（3）∵经过四边形的一个顶点可以作条对角线，它把四边形分成个三角形；经过五边形的一个顶点可以作条对角线，它把五边形分成个三角形；经过六边形的一个顶点可以作条对角线，它把六边形分成个三角形；经过七边形的一个顶点可以作条对角线，它把七边形分成个三角形；……∴经过n边形的一个顶点可以作条对角线，它把n边形分成个三角形；故答案为：，．（4）∵过多边形的一个顶点可以作100条对角线，∴根据（3）中结论可得，，∴，故答案为：103．13．如图，中，，，点D在的延长线上，取的中点F，连结，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连结．(1)依题意，请补全图形；(2)判断的数量关系及它们所在直线的位置关系，并证明．【答案】(1)见解析(2)，，证明见解析【分析】（1）根据题意描述画图即可；（2）取中点M，连结，结合F为中点，得出，，根据旋转性质可得，结合可得，，证出，即可得出，，再根据，得出，即可证明；【详解】（1）如图：（2），，证明：取中点M，连结，∵F为中点，∴，，∵线段绕点C顺时针旋转得到线段，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴．【点睛】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，旋转的性质，三角形中位线定理，平行线的性质，解题的关键是正确作出辅助线和对应图形．14．如图，是的中线．(1)如图1，若点恰好在的垂直平分线上，求的度数；(2)如图2，若，过点作，垂足为点，求证：．【答案】(1)(2)见解析【分析】本题考查了垂直平分线的性质，中位线定理，等边三角形的判定和性质：（1）设的垂直平分线交于点，连接，根据垂直平分线的性质可得，再由中位线定理即可得到答案；（2）令，可得，，进而根据直角三角形斜边中线的性质可得是等边三角形，进而根据等边三角形的性质得出结论．【详解】（1）解：如图1，设的垂直平分线交于点，连接，，点、为、的中点，，；（2）证明：令，，，，，是的中线，，是等边三角形，，．15．如图，在平行四边形中，点是边上一点，且，直线与相交于点.(1)求的值；(2)如果，，，求四边形的面积.【答案】(1)(2)【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质等知识，熟练运用相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质是解题的关键．（1）根据平行四边形的性质得到，，根据相似三角形的判定与性质得到，根据比例的性质求解即可；（2）根据平行四边形的性质得出，则，根据锐角三角函数定义求出，则，根据勾股定理求出，根据平行四边形的面积公式求解即可．【详解】（1），，四边形是平行四边形，，，，，，，；（2）四边形是平行四边形，，，，，，，，，，平行四边形的面积．1．（2020·江苏淮安·统考中考真题）正六边形的内角和度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用多边形的内角和定理解答即可．【详解】解：一个正六边形的内角和的度数为：，故选：B．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，利用多边形的内角和定理解答是解题的关键．2．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，在正方形网格内，线段的两个端点都在格点上，网格内另有四个格点，下面四个结论中，正确的是（

）

A．连接，则 B．连接，则C．连接，则 D．连接，则【答案】B【分析】根据各选项的要求，先作图，再利用平行四边形的判定与性质，垂线的性质逐一分析判断即可．【详解】解：如图，连接，取与格线的交点，则，

而，∴四边形不是平行四边形，∴，不平行，故A不符合题意；如图，取格点，连接，

由勾股定理可得：，∴四边形是平行四边形，∴，故B符合题意；如图，取格点，

根据网格图的特点可得：，根据垂线的性质可得：，，都错误，故C，D不符合题意；故选B【点睛】本题考查的是垂线的性质，勾股定理的应用，平行四边形的判定与性质，熟记网格图形的特点与基本图形的性质是解本题的关键．3．（2022·江苏常州·统考中考真题）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边的中点，若DE＝2，则BC的长度是（）A．6 B．5C．4 D．3【答案】C【分析】直接利用三角形中位线定理得出答案．【详解】∵在△ABC中，D，E分别是AB，AC边的中点，∴DE是△ABC的中位线，∵DE＝2，∴BC的长度是：4．故选：C．【点睛】此题主要考查了三角形的中位线，正确把握三角形中位线定理是解题关键．4．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在中，为的中点．若点在边上，且，则的长为（

）

A．1 B．2 C．1或 D．1或2【答案】D【分析】根据题意易得，然后根据题意可进行求解．【详解】解：∵，∴，∵点D为的中点，∴，∵，∴，①当点E为的中点时，如图，

∴，②当点E为的四等分点时，如图所示：

∴，综上所述：或2；故选D．【点睛】本题主要考查含30度直角三角形的性质及三角形中位线，熟练掌握含30度直角三角形的性质及三角形中位线是解题的关键．5．（2021·江苏苏州·统考中考真题）如图，在平行四边形中，将沿着所在的直线翻折得到，交于点，连接，若，，，则的长是（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】利用平行四边形的性质、翻折不变性可得△AEC为等腰直角三角形，根据已知条件可得CE得长，进而得出ED的长，再根据勾股定理可得出；【详解】解：∵四边形是平行四边形∴AB=CD∠B=∠ADC=60°，∠ACB＝∠CAD由翻折可知：BA＝AB′＝DC，∠ACB＝∠ACB′=45°，∴△AEC为等腰直角三角形∴AE=CE∴Rt△AEB′≌Rt△CDE∴EB′=DE∵在等腰Rt△AEC中，∴∵在Rt△DEC中，，∠ADC=60°∴∠DCE=30°∴DE=1在等腰Rt△DEB′中，EB′=DE=1∴=故选：B【点睛】本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．6．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）七边形的内角和是．【答案】【分析】由n边形的内角和是：180°（n2），将n=7代入即可求得答案．【详解】解：七边形的内角和是：180°×（72）=900°．故答案为：900°．【点睛】此题考查了多边形的内角和，熟记n边形的内角和公式是解题的关键．7．（2023·江苏盐城·统考中考真题）在中，，分别为边，的中点，，则的长为cm.【答案】【分析】由于、分别为、边上的中点，那么是的中位线，根据三角形中位线定理可求．【详解】如图所示，

、分别为、边上的中点，是的中位线，；又∵，∴；故答案为：．【点睛】本题考查了三角形中位线定理．三角形的中位线等于第三边的一半．8．（2023·江苏连云港·统考中考真题）以正五边形的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新五边形的顶点落在直线上，则正五边形旋转的度数至少为°．【答案】【分析】依据正五边形的外角性质，即可得到的度数，进而得出旋转的角度．【详解】解：∵五边形是正五边形，∴，∴新五边形的顶点落在直线上，则旋转的最小角度是，故答案为：．【点睛】本题主要考查了正多边形、旋转性质，关键是掌握正多边形的外角和公式的运用．9．（2022·江苏南京·统考中考真题）如图，四边形内接于，它的3个外角，，的度数之比为，则．【答案】/72度【分析】根据圆内接四边形的对角互补以及外角的性质可求出，再根据平角的定义求解．【详解】解：如图，延长到H，四边形内接于，，，，，的度数之比为，，，，的度数之比为，，，．故答案为：．【点睛】本题考查圆内接四边形，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补，外角和是360度．10．（2022·江苏镇江·统考中考真题）如图，在和中，，、、分别为、、的中点，若，则．【答案】1【分析】由直角三角形斜边中线的性质得出AB=2DE，再由三角形中位线的性质可得FG的长；【详解】解：∵Rt△ABC中，点E是AB的中点，DE=1，∴AB=2DE=2，∵点F、G分别是AC、BC中点，∴，故答案为：1【点睛】本题考查了直角三角形的性质及三角形中位线的性质等知识；熟练掌握中位线定理是解题的关键．11．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在中，，，．

(1)求出对角线的长；(2)尺规作图：将四边形沿着经过点的某条直线翻折，使点落在边上的点处，请作出折痕．（不写作法，保留作图痕迹）【答案】(1)(2)作图见解析【分析】（1）连接，过作于，如图所示，由勾股定理先求出，在中再由勾股定理，；（2）连接，根据轴对称性质，过点尺规作图作线段的垂直平分线即可得到答案．【详解】（1）解：连接，过作于，如图所示：

在中，，，，，，在中，，，，则；（2）解：如图所示：

【点睛】本题考查平行四边形背景下求线段长，涉及勾股定理、尺规作图作线段垂直平分线，熟练掌握勾股定理求线段长及中垂线的尺规作图是解决问题的关键．12．（2023·江苏扬州·统考中考真题）如图，点E、F、G、H分别是各边的中点，连接相交于点M，连接相交于点N．

(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若的面积为4，求的面积．【答案】(1)见解析(2)12【分析】（1）根据平行四边形的性质，线段的中点平分线段，推出四边形，四边形均为平行四边形，进而得到：，即可得证；（2）连接，推出，，进而得到，求出，再根据，即可得解．【详解】（1）证明：∵，∴，∵点E、F、G、H分别是各边的中点，∴，∴四边形为平行四边形，同理可得：四边形为平行四边形，∴，∴四边形是平行四边形；（2）解：连接，

∵为的中点，∴，∴，∴，∴，同理可得：∴，∴，∵，∴．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，以及三角形的中位线定理，证明三角形相似，是解题的关键．13．（2023·江苏苏州·统考中考真题）四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，为长度固定的支架，支架在处与立柱连接（垂直于，垂足为），在处与篮板连接（所在直线垂直于），是可以调节长度的伸缩臂（旋转点处的螺栓改变的长度，使得支架绕点旋转，从而改变四边形的形状，以此调节篮板的高度）．已知，测得时，点离地面的高度为．调节伸缩臂，将由调节为，判断点离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：）

【答案】点离