必刷卷01-2023年中考数学考前信息必刷卷（江苏无锡专用）

2023年中考数学考前信息必刷卷01数学（江苏无锡专用）2023年无锡中考数学试卷结构和内容变化不大！2023年数学试卷满分150分，共28题：10（选择题）+8（填空题）+10（解答题），根据最新考试信息以及模拟考试可以发现：在知识结构方面，考查内容要关注基础性、综合性、应用型和创新性，要关注学科主干知识，对学科基本概念、基本原理和思想方法的考查；从考查内容上看，随着数学教学的逐步深入，为体现数学课程标准对数学教学.从知识点的分布看，实数的概念与分类及运算，方程与不等式的计算及应用，一次函数，反比例函数，三角函数及二次函数仍是考试重点，二次函数作为压轴题项目，对综合能力考察强大较大。几何方面，三角形，四边形的相关综合题型考察居多，在选择，填空，解答题中均在较大难度范围题型中出现，需要作为重点内容复习，圆的相关概念及应用考查难度不大，但需掌握基本概念及计算公式，技巧。统计与概率作为必考内容，2023年仍是重点考察点，难度中等，属于必得分题型。通过对考试信息的梳理以及教学研究成果，中考试卷侧重探究性题型，通过近两次模拟考试可发现，整体结构及考察知识点变化不大，对知识运用的深度和广度提高要求。同时应加强学生的画图能力、识图能力、动手能力、探究能力、思维能力，注重数学思维方法的训练.本套试卷结合去年真题卷以及近期校考模拟卷进行总结性整理。选择题15道涉及实数的有关概念、统计的概念、二元一次方程的基本解法、幂的运算；第68题主要是三视图的辨别、三角形的概念，反比例函数K值的几何意义、第9题考查了菱形的性质，三角函数的特殊角计算以及扇形的面积公式，对计算能力，综合运用能力要求较高。第10题是四边形，勾股定理与全等的综合考察；填空题1116道，主要涉及因式分解、科学计数法、扇形面积公式、三角形、四边形、相似比等题型，考点较为分散，难度中等；解答题第17和18难度加大，主要是相似三角形、四边形的相关综合题，对计算要求，审题能力、作图技巧考察要求较高，第19题第1923题考察难度较低，在计算，几何证明，概率统计方面着重考察；第24题25题对圆中基本作图方法及相关证明进行考察，需要掌握较复杂作图方法，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理等重难点知识．第26题主要考查了考查了分式方程和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键。第2728题考察三角形与二次函数的综合知识。对能力要求比较高，属于压轴题型，做题时需着重把握每小题难度，充分运用综合性知识作答注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的.）1．若|5﹣x|＝x﹣5，则x的取值范围为（）A．x＞5 B．x≥5 C．x＜5 D．x≤5【思路点拨】根据绝对值的定义得到5﹣x≤0即可．【规范解答】解：∵|5﹣x|＝x﹣5，∴5﹣x≤0，即x≥5，故选：B．【考点评析】本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的前提．2．对于函数y＝自变量x的取值范围是（）A．x＞﹣2 B．x≠0 C．x≥﹣2且x≠0 D．x＞﹣2且x≠0【思路点拨】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【规范解答】解：由题意得：x+2≥0且x≠0，解得：x≥﹣2且x≠0，故选：C．【考点评析】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．3．小红连续5天的体温数据如下（单位：℃）：36.6，36.2，36.5，36.2，36.3．关于这组数据，下列说法正确的是（）A．中位数是36.5℃ B．众数是36.2℃ C．平均数是36.2℃ D．极差是0.3℃【思路点拨】根据中位数、众数、平均数、极差的计算方法，分别求出结果即可．【规范解答】解：把小红连续5天的体温从小到大排列得，36.2，36.2，，36.6，处在中间位置的一个数是36.3℃，因此中位数是36.3℃；出现次数最多的是36.2℃，因此众数是36.2℃；平均数为：＝（36.2+36.2+36.3+36.5+36.6）÷5＝36.36℃，极差为：36.6﹣36.2＝0.4℃，故选：B．【考点评析】本题考查中位数、众数、平均数、极差的计算方法，掌握中位数、众数、平均数、极差的计算方法是正确计算的前提．4．已知a，b满足方程组，则a+b的值为（）A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4【思路点拨】将已知二元一次方程组中的两个方程相加即可求解．【规范解答】解：，①+②得，8x+8y＝16，∴x+y＝2，故选：A．【考点评析】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．5．下列计算正确的是（）A．（﹣2a）（﹣a）2＝2a3 B．4a2÷2b2＝2a2 C．﹣（﹣a2）3＝a6 D．（a﹣b）（﹣a+b）＝b2﹣a2【思路点拨】根据整式的运算法则即可求出答案．【规范解答】解：A、原式＝﹣2a3，故A错误．B、原式＝，故B错误．C、原式＝﹣（﹣a6）＝a6，故C正确．D、原式＝﹣（a﹣b）2＝﹣a2+2ab﹣b2，故D错误．故选：C．【考点评析】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．6．如图，是一个底面为等边三角形的正三棱柱，它的主视图是（）A． B． C． D．【思路点拨】找到从正面看所得到的图形即可．【规范解答】解：如图所示的正三棱柱，其主视图是矩形，矩形中间有一条纵向的虚线．故选：A．【考点评析】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．7．如图，在△ABC中，点D是△ABC的内心，连接DB，DC，过点D作EF∥BC分别交AB、AC于点E、F，若△AEF的周长为9，BC＝8，则△ABC的周长为（）A．18 B．17 C．16 D．15【思路点拨】由点D是△ABC的内心，得∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB，由EF∥BC得∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，则∠EBD＝∠EDB，∠FCD＝∠FDC，即可证明DE＝BE，DF＝CF，进而推导出AB+AC＝AE+AF+EF＝9，则AB+AC+BC＝9+8＝17，于是得到问题的答案．【规范解答】解：∵点D是△ABC的内心，∴∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB，∴EF经过点D，且EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，∴∠EBD＝∠EDB，∠FCD＝∠FDC，∴DE＝BE，DF＝CF，∵△AEF的周长为9，∴AB+AC＝AE+BE+AF+CF＝AE+DE+AF+DF＝AE+AF+EF＝9，∵BC＝8，∴AB+AC+BC＝9+8＝17，∴△ABC的周长是17，故选：B．【考点评析】此题重点考查三角形的内心的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定、三角形的周长等知识，证明DE＝BE，DF＝CF是解题的关键．8．如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，tanB＝，双曲线y＝（x＜0）经过点A，双曲线y＝（x＞0）经过点B，则k的值为（）A．﹣5 B．﹣10 C．﹣ D．﹣2【思路点拨】作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，则∠AMB＝∠BNO＝∠AOB＝90°，得出△AOM∽△OBN，由相似三角形的性质即可得出结果，求出＝，由相似三角形的性质求出△AOM的面积，即可得出k的值．【规范解答】解：如图所示，作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，则∠AMB＝∠BNO＝∠AOB＝90°，∴∠OAM＝∠BON，∴△AOM∽△OBN．∵双曲线y＝（x＜0）经过点A，双曲线y＝（x＞0）经过点B，∴S△OBN＝1，S△AOM＝﹣k，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，tanB＝，∴＝，∴＝（）2＝5，∴△AOM的面积＝5，∴k＝﹣10．故选：B．【考点评析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，通过作辅助线证明三角形相似是解决问题的关键．9．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝120°，以点C为圆心画弧，且与AB，AD边相切，则图中阴影部分的面积是（）A． B． C． D．【思路点拨】由菱形的性质得出AD＝AB＝6，∠ADC＝120°，由三角函数求出菱形的高DF，图中阴影部分的面积＝菱形ABCD的面积﹣扇形DEFG的面积，根据面积公式计算即可．【规范解答】解：以点C为圆心画弧，弧与AB相切的切点为点E，连接CE，如图：∵四边形ABCD是菱形且边长为2，∠BAD＝120°，∴AB＝BC＝2，∠BCD＝∠BAD＝120°，∠ABC＝180°﹣120°＝60°，∵以点C为圆心画弧，弧与AB相切，∴CE⊥AB，∴CE＝BC•sin60°＝2×＝，∴图中阴影部分的面积＝菱形ABCD的面积﹣扇形DEFG的面积＝2×﹣＝2﹣π．故选：D．【考点评析】本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算．由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键．10．如图，在正方形ABCD中，点P在对角线BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，E，F分别为垂足，连结AP，EF，则下列命题：①若AP＝5，则EF＝5；②若AP⊥BD，则EF∥BD；③若正方形边长为4，则EF的最小值为2，其中正确的命题是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【思路点拨】延长EP交AD于Q，利用SAS证明△AQP≌△FCE，可得AP＝EF，即可判定①；由AP⊥BD可证得∠EFC＝∠PAQ＝45°，利用平行线的判定可证明②的正确性；当AP⊥BD时，AP有最小值，此时P为BD的中点，由勾股定理及直角三角形的性质可求得AP的最小值，进而求得EF的最小值，进而可判定③．【规范解答】解：延长EP交AD于Q，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝∠C＝90°，AD∥BC，∠BDC＝45°，∵PF⊥CD，∴∠DPF＝45°，∴DF＝PF，∵PE⊥BC，∴PQ⊥AD，四边形CEPF为矩形，∴∠AQP＝90°，EC＝PF＝DF，∴∠AQP＝∠C，AQ＝FC，四边形PQDF为正方形，∴DF＝QP，∴CE＝QP，在△AQP和△FCE中，，∴△AQP≌△FCE（SAS），∴AP＝EF，若AP＝5，则EF＝5，故①正确；若AP⊥BD，则∠PAQ＝45°，∵△AQP≌△FCE，∴∠EFC＝∠PAQ＝45°，∵∠BDC＝45°，∴∠EFC＝∠BDC，∴EF∥BD，故②正确；当AP⊥BD时，AP有最小值，此时P为BD的中点，∵AB＝AD＝4，∴BD＝，∴AP＝BD＝，∵EF＝AP，∴EF的最小值为，故③错误，故选：A．【考点评析】本题主要考查正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定等知识的综合运用，证明△AQP≌△FCE是解题的关键．二、填空题：（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.）11．分解因式3x2﹣3x＝3x（x﹣1）．【思路点拨】原式提取公因式即可得到结果．【规范解答】解：3x2﹣3x＝3x（x﹣1），故答案为：3x（x﹣1）．【考点评析】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．12．无锡市高浪路快速化改造一期工程西起蠡湖大道学府立交，东至高浪路大桥西侧桥台，路线全长8350米，8350这个数据用科学记数法可表示为8.35×103．【思路点拨】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【规范解答】解：8350＝8.35×103．故答案是：8.35×103．【考点评析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．13．圆锥的母线长为2cm，底面圆的半径长为1cm，则该圆锥的侧面积为2πcm2．【思路点拨】直接用圆锥的侧面积公式计算即可．【规范解答】解：圆锥的侧面积为：πrl＝2×1π＝2πcm2，故答案为：2π．【考点评析】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是正确地进行圆锥与扇形的转化．14．有下列命题：①如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等；②若x（1﹣x）＝x，则x＝1；③一元二次方程ax2+bx+c＝0，若ac＜0，则方程必定有实数解；④若，则x＞1，其中是真命题的是③．【思路点拨】根据全等三角形的判定，一元二次方程的解法、根的判别式等有关知识分别判断后即可得到答案．【规范解答】解：①如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形不一定全等，也可能相似，是假命题；②若x（1﹣x）＝x，则x＝1或x＝0，原命题是假命题；③一元二次方程ax2+bx+c＝0，若ac＜0，则方程必定有实数解是真命题；④若，则x≥1，是假命题．故答案为：③．【考点评析】本题考查了命题与定理的知识，根据全等三角形的判定，一元二次方程的解法、根的判别式等有关知识分别判断即可．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，E是AD上一点，AE＝1，P是BC上一动点，连接AP，取AP的中点F，连接EF，当线段EF取得最小值时，线段PD的长度是5．【思路点拨】过点P作PM∥FE交AD于M，则FE为△APM的中位线，PM＝2EF，当PM⊥AD时，PM最短，EF最短，在Rt△PMD中可求得PD的长度．【规范解答】解：过点P作PM∥FE交AD于M，如图，∵F为AP的中点，PM∥FE，∴FE为△APM的中位线，∴AM＝2AE＝2，PM＝2EF，当EF取最小值时，即PM最短，当PM⊥AD时，PM最短，此时PM＝AB＝3，∵MD＝AD﹣AM＝4，在Rt△PMD中，PD＝，∴当线段EF取得最小值时，线段PD的长度是5，故答案为：5．【考点评析】本题考查了矩形的性质，垂线段的性质和三角形中位线定理，构造三角形中位线，利用垂线段最短是解决本题的关键．16．如图，△A'B'C'是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的三角形，若△A'B'C'的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB'：OB等于2：3．【思路点拨】根据位似变换的概念得到△A'B'C'∽△ABC，B′C′∥BC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．【规范解答】解：∵△A'B'C'是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的三角形，∴△A'B'C'∽△ABC，B′C′∥BC，∵△A'B'C'的面积与△ABC的面积比是4：9，∴＝，∵B′C′∥BC，∴△OB′C′∽△OBC，∴OB'：OB＝B′C′：BC＝2：3，故答案为：2：3．【考点评析】本题考查的是位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．17．如图，矩形ABCD，AB＝6，BC＝10．点E在边DC上，将矩形ABCD沿BE所在直线翻折，顶点A、D的对应点分别为M，N，连接MN．如果线段MN恰好经过点C，那么CE的长是．【思路点拨】由翻折得MB＝AB＝6，MN＝AD＝10，∠M＝∠A＝90°，∠N＝∠D＝90°，即可由勾股定理求得CM＝＝8，则CN＝2，再证明△ECN∽△CBM，得＝＝＝，则CE＝BC＝．【规范解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝10，∴∠A＝∠D＝∠BCD＝90°，AD＝BC＝10，∵矩形ABCD沿直线BE翻折，顶点A、D的对应点分别为M，N，∴MB＝AB＝6，MN＝AD＝10，∠M＝∠A＝90°，∠N＝∠D＝90°，∵线段MN恰好经过点C，∴CM＝＝＝8，∴CN＝MN﹣CM＝10﹣8＝2，∵∠N＝∠M，∠ECN＝∠CBM＝90°﹣∠BCM，∴△ECN∽△CBM，∴＝＝＝，∴CE＝BC＝×10＝，故答案为：．【考点评析】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，证明△ECN∽△CBM是解题的关键．18．如图，PA＝，PB＝，以AB为边作正方形ABCD，使得P、D两点落在直线AB的两侧，当∠APB变化时，则PD的最大值为4+4．【思路点拨】过点A作AQ⊥AP，使AQ＝AP＝2，连接BQ，先证明△QAB≌△PAD，得到BQ＝PD，得到当Q、P、B在同一直线时，BQ最大，最大值为PQ+PB，根据勾股定理求出PQ，即可求出PD最大值．【规范解答】解：过点A作AQ⊥AP，使AQ＝AP＝2，连接BQ，∴∠QAP＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝90°，∴∠QAP＝∠BAD，∴∠QAP+∠PAB＝∠BAD+∠PAB，即∠QAB＝∠PAD，在△QAB和△PAD中，，∴△QAB≌△PAD（SAS），∴BQ＝PD，∴PD最大值即为BQ最大值，∵BQ≤PQ+PB，∴当Q、P、B在同一直线时，BQ最大，最大值为PQ+PB，在Rt△AQP中，PQ＝＝＝4，∴PQ+PB最大值为4+4，∴PD最大值为4+4，故答案为：4+4．【考点评析】本题考查了正方形的性质，勾股定理、求线段的最大值等问题，根据题意添加辅助线，构造全等三角形进行线段转化是解决问题的关键．三、解答题：（本大题共10个小题，共96分，解答应写出文字说明、证明或演算步骤。19．（8分）（1）计算：﹣|﹣3|+2cos45°+（﹣1）2019﹣；（2）化简：÷（﹣x﹣2）．【思路点拨】（1）根据绝对值的性质、乘方运算、二次根式的性质以及特殊角的锐角三角函数值即可求出答案．（2）根据分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．【规范解答】解：（1）原式＝﹣3+2×﹣1﹣＝﹣3+﹣1﹣＝﹣4．（2）原式＝÷＝÷＝÷＝•＝．【考点评析】本题考查运用分式的加减运算、分式乘除运算法则、绝对值的性质、乘方运算、二次根式的性质以及特殊角的锐角三角函数值，本题属于基础题型．20．（8分）（1）解不等式（组）：．（2）解方程：（x﹣3）（x﹣1）＝8．【思路点拨】（1）分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大”可得不等式组的解集；（2）整理为一般式，再利用因式分解法求解可得．【规范解答】解：（1）解不等式①得，解不等式②得x＞﹣2，∴不等式组解为x≥；（2）原方程化为：x2﹣4x﹣5＝0，（x﹣5）（x+1）＝0，∴x﹣5＝0或x+1＝0，∴x1＝5，x2＝﹣1．【考点评析】本题主要考查解一元一次不等式组和解一元二次方程的能力，解题的关键是掌握解不等式组和一元二次方程的能力．21．（10分）如图所示，已知点B，E，F，C依次在同一条直线上，AB∥CD，AF⊥BC，DE⊥BC，垂直分别为F，E，BE＝CF．试说明：AB＝DC．【思路点拨】首先利用等式的性质可得BF＝CE，再用ASA证明△AFB≌△DEC可得结论．【规范解答】证明：∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，∵AF⊥BC，DE⊥BC，∴∠AFB＝∠DEC＝90°，∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，在△AFB和△DEC中，，∴△AFB≌△DEC（ASA），∴AB＝DC．【考点评析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及平行线的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法．22．（10分）甲乙丙丁四个人玩游戏扑克，他们先取出两张红心和两张黑桃共四张扑克，洗匀后背面朝上放在桌面上，每人抽取一张，拿到相同颜色的即为游戏搭档，现甲乙两人各抽取一张，则：（1）甲抽到红心的概率是；（2）求甲乙两人恰好成为游戏搭档的概率．（请用“列表”或“树状图”等方法进行分析）【思路点拨】（1）直接利用概率公式计算可得；（2）利用列举法即可列举出所有各种可能的情况，然后利用概率公式即可求解．【规范解答】解：（1）甲抽到红心的概率是＝．故答案为：．（2）根据题意画图如下：共有12种等可能的情况数，从4张牌中任意摸出2张牌花色相同颜色4种，则两人恰好成为游戏搭档的概率＝＝．【考点评析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．23．（10分）某校拟举行暑期夏令营活动，预设的项目有A（十大名校参观），B（名胜古迹游览），C（赤色阵营访问），D（内蒙草原采风）．现在从学校随机抽取若干学生进行意向调查（每个学生只能选其中一项），相关负责人依据调查数据得到两幅不完整的统计图．请依据图中信息，解答下列问题：（1）本次调查活动参与的学生人数为50，扇形图中的m＝72；（2）依据题意补全条形统计图．（3）若该校报名参与夏令营活动的有800人，试估计该校报名“名胜古迹游览”学生人数．【思路点拨】（1）从两个统计图中可得“D”的频数为20人，占参加活动人数的40%，可求出调查人数，进而求出“A”所占的百分比及相应的圆心角度数；（2）求出“C”的频数即可补全条形统计图；（3）求出样本中“B名胜古迹游览”所占的百分比即可估计总体中报名“名胜古迹游览”学生人数．【规范解答】解：（1）20÷40%＝50（人），360°×＝72°，即m＝72，故答案为：50，72；（2）50﹣10﹣20﹣15＝5（人），补全条形统计图如下：（3）800×＝240（人），答：该校报名参与夏令营活动的800人中报名“名胜古迹游览”学生人数大约为240人．【考点评析】本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的关键．24．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝45°，以AB为直径的圆与CD相切于点D．请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．（1）在图1中作出圆心O．（2）在图2中作出∠DAB的平分线，与圆交于点P．【思路点拨】（1）延长CB与圆相交于E，连接DE交AB于点O，根据平行四边形的性质得到∠A＝∠E＝∠C＝45°，则DE⊥CD，而CD∥AB，所以DE⊥AB，然后根据切线的性质得到DE经过圆心，从而可判断O点为圆心；（2）连接AC、BD，它们相交于点F，延长OF交⊙O于P点，利用FD＝FB和△OBD为等腰直角三角形得到OF平分∠BOD，所以＝，所以AP平分∠BAD．【规范解答】解：（1）如图1，圆心O即为所求；（2）如图2，AP即为所求．【考点评析】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质、圆周角定理和切线的性质．25．（10分）如图，AD是⊙O的弦，PO交⊙O于点B，∠ABP＝∠ABD，且AB2＝PB•BD，连接PA．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若PA＝2PB＝4，求BD的长．【思路点拨】（1）延长BO交⊙O于点E，连接AE，先证明△PBA∽△ABD，得出∠PAB＝∠ADB，由圆周角定理得出∠PAB＝∠E，由等腰三角形的性质得出∠OAE＝∠E，进而得出∠PAB＝∠OAE，由圆周角定理得出∠BAE＝∠BAO+∠OAE＝90°，进而得出∠BAO+∠PAB＝∠PAO＝90°，即可证明PA是⊙O的切线；（2）延长BO交⊙O于点E，连接AE，DE，利用勾股定理列方程求出⊙O的半径为3，进而得出OA＝3，OP＝5，BE＝6，再证明△PAO∽△EDB，利用相似三角形的性质即可求出BD的长度．【规范解答】（1）证明：如图1，延长BO交⊙O于点E，连接AE，∵AB2＝PB•BD，∴，∵∠ABP＝∠ABD，∴△PBA∽△ABD，∴∠PAB＝∠ADB，∵∠ADB＝∠E，∴∠PAB＝∠E，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠E，∴∠PAB＝∠OAE，∵BE为直径，∴∠BAE＝∠BAO+∠OAE＝90°，∴∠BAO+∠PAB＝∠PAO＝90°，∵OA是半径，∴PA是⊙O的切线；（2）解：如图2，延长BO交⊙O于点E，连接AE，DE，∵PA＝2PB＝4，∴PB＝2，设OA＝OB＝x，则OP＝x+2，∵∠PAO＝90°，∴PA2+AO2＝OP2，即42+x2＝（x+2）2，解得：x＝3，∴OA＝3，OP＝2+3＝5，BE＝3+3＝6，∵△PBA∽△ABD，∴∠P＝∠BAD，∵∠BAD＝∠BED，∴∠P＝∠BED，∵BE为直径，∴∠BDE＝90°，∴∠PAO＝∠EDB＝90°，∴△PAO∽△EDB，∴，即，∴BD＝．【考点评析】本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，掌握圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理是解决问题的关键．26．（10分）受非洲猪瘟影响，2019年肉价大幅上涨．某养殖场与2018年相比，生猪出栏数减少500头．平均每头出栏价是2018年的2倍，销售总额比2018年增加60%．（1）若养殖场2018年生猪销售额为500万元，求2019年平均每头生猪的出栏价格．（2）一猪肉专营店在5月份经营中，售价为40元/kg，1天可卖400kg．6月份每千克上涨2元，则1天少卖40kg．受产业链影响继续涨价，销量继续递减．若猪肉的成本折算为36元/kg，专营店平均每天规划毛利约500元，求这家专营店1天为养殖场赚的最大毛利．【思路点拨】（1）设2018年平均每头生猪的出栏价格为x元，根据2019年生猪出栏数与2018年相比减少500头，列出关于x的分式方程，解得x的值，检验，然后乘以2倍即可．（2）设涨价a元/千克，每天的总利润为W元，根据每斤的毛利乘以实际每天卖出的千克数量等于每天的总利润，列出关于a的二次函数，写成顶点式，则根据二次函数的性质可得a取何值时函数取得最大值，再减去500即可得答案．【规范解答】解：（1）500万元＝5000000元，设2018年平均每头生猪的出栏价格为x元，由题意得：＝+500，∴＝+1，∴＝1，∴x＝2000，经检验，x＝2000符合题意，∴2x＝4000，∴2019年平均每头生猪的出栏价格为4000元．（2）设涨价a元/千克，每天的总利润为W元，则有：W＝（40+a﹣36）（400﹣40×）＝﹣20（a+4）（a﹣20）＝﹣20（a2﹣16a﹣80）＝﹣20（a﹣8）2+2880．∴当a＝8时，W最大＝2880．2880﹣500＝2380（元）．∴这家专营店1天为养殖场赚的最大毛利为2380元．【考点评析】本题考查了分式方程和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．27．（10分）数学是一门充满乐趣、奥妙、又极具探索的学科，对一个人的思维也是一种“挑战”．几何图形更是变幻无穷，但只要我们借助图形的直观、特殊情形出发，逐步“从特殊到一般”进行探索，思路和方法自然就会显现出来．下面是一道探索几何图形中线段AE与DB数量关系的例子：已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．小强的思路是：（1）【特例探索】如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE＝DB（选填“＞”、“＜”或“＝”）．（2）【特例引路】如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论并加以理由说明，格式如：答：AE＝DB（选填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC交AC于点F．（请你将接下来的解答过程补充完整）．（3）【拓展延伸】在等边三角形ABC中，当点E在直线AB上（在线段AB外），点D在线段CB的延长线上时，同样ED＝EC，若已知△ABC的边长为1，AE＝2，则请你帮助小强求出CD的长．（请你画出相应图形，并简要写出求CD长的过程）．【思路点拨】（1）由E为等边三角形AB边的中点，利用三线合一得到CE垂直于AB，且CE为角平分线，由ED＝EC，利用等边对等角及等腰三角形的性质得到一对角相等，利用等角对等边即可得证；（2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，由三角形ABC为等边三角形，得到三角形AEF为等边三角形，进而得到AE＝EF＝AF，BE＝FC，再由ED＝EC，以及等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形BDE与三角形EFC全等，利用全等三角形对应边相等得到DB＝EF，等量代换即可得证；（3）点E在AB延长线上时，如图所示，同理可得△DBE≌△EFC，由BC+DB求出CD的长即可．【规范解答】解：（1）AE＝DB，理由如下：∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，∵点E为AB的中点，∴∠ECD＝∠ACB＝30°，∴∠EDC＝30°，∴∠D＝∠DEB＝30°，∴DB＝BE，∵AE＝BE，∴AE＝DB；故答案为：＝；（2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，证明：∵△ABC为等边三角形，∴△AEF为等边三角形，∴AE＝EF，BE＝CF，∵ED＝EC，∴∠D＝∠ECD，∵∠DEB＝60°﹣∠D，∠ECF＝60°﹣∠ECD，∴∠DEB＝∠ECF，在△DBE和△EFC中，，∴△DBE≌△EFC（SAS），∴DB＝EF，则AE＝DB；故答案为：＝；（3）点E在AB延长线上时，如图3所示，AE＝EF＝2，同理可得△DBE≌△EFC，∴DB＝EF＝2，BC＝1，则CD＝BC+DB＝3．【考点评析】此题