专题08代数式综合题

专题08代数式（综合题）易错点拨易错点拨知识点：代数式1.代数式的定义：诸如：16n，2a+3b，34，，等式子，它们都是用运算符号把数和字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式．细节剖析：带等号或不等号的式子不是代数式，如，，等都不是代数式．2.列代数式：在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列出代数式，使问题变得简洁，更具一般性．细节剖析：代数式的书写规范：（1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“·”或省略不写；（2）除法运算一般以分数的形式表示；（3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；（4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式；（5）如果字母前面的数字是1，通常省略不写．3.代数式的值：一般地，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值．易错题专训易错题专训一．选择题1．（2022•平泉市一模）下列关于代数式“2+a”的说法，正确的是（）A．表示2个a相加 B．代数式的值比a小 C．代数式的值比2大 D．代数式的值随a的增大而增大【易错思路引导】说出代数式的意义，实际上就是把代数式用语言叙述出来．叙述时，要求既要表明运算的顺序，又要说出运算的最终结果．【规范解答】解：A、表示2与a相加，原说法错误，故此选项不符合题意；B、代数式的值比a大，原说法错误，故此选项不符合题意；C、代数式的值不一定比2大，原说法错误，故此选项不符合题意；D、代数式的值随a的增大而增大，原说法正确，故此选项符合题意．故选：D．【考察注意点】本题考查了用语言表达代数式的意义，一定要理清代数式中含有的各种运算及其顺序．具体说法没有统一规定，以简明而不引起误会为出发点．2．（2021秋•原阳县期末）如图，A，B两地之间有一条东西向的道路．在A地的正东方向5km处设置第一个广告牌，之后每往东12km就设置一个广告牌．一汽车从A地的正东方向2km处出发，沿此道路向东行驶．当经过第n个广告牌时，此车所行驶的路程为（）A．（12n+6）km B．（12n+3）km C．（12n﹣6）km D．（12n﹣9）km【易错思路引导】根据该汽车行驶3km后到达第一个广告牌，以后每行驶12km就到达一个广告牌列式化简即可．【规范解答】解：由题意得，当该汽车经过第n个广告牌时，所行驶的路程为：（5﹣2）+12（n﹣1）＝3+12n﹣12＝（12n﹣9）km，故选：D．【考察注意点】此题考查了列代数式表示实际问题的能力，关键是能准确理解问题的数量关系，并能列式、化简．3．（2021秋•大连期末）已知a2﹣2a﹣3＝0，则3a2﹣6a﹣1的值为（）A．2 B．﹣4 C．﹣9 D．8【易错思路引导】将所求代数式变形，整体代换求值．【规范解答】解：∵a2﹣2a＝3，∴原式＝3（a2﹣2a）﹣1＝3×3﹣1＝8．故选：D．【考察注意点】本题考查求代数式的值，变形后整体代换是求解本题的关键．4．（2021秋•汝阳县期末）照如图所示的操作步骤，若输出y的值为6，则输入x的值为（）A．﹣8 B．﹣2 C．﹣8或﹣2 D．以上均不对【易错思路引导】把y＝6代入程序框图，倒着计算即可求出x的值．【规范解答】解：根据程序框图得：先加3，得9，再根据（±3）2＝9，∴x+5＝±3，解得：x＝﹣8或﹣2；故选：C．【考察注意点】此题考查了有理数的混合运算，代数式求值，熟练掌握有理数的混合运算是解本题的关键．5．（2021秋•翠屏区期末）下列代数式符合书写要求的是（）A． B．ab÷c2 C． D．mn•【易错思路引导】根据代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．对各选项依次进行判断即可解答．【规范解答】解：A、带分数要写成假分数，原书写错误，故此选项不符合题意；B、应写成分数的形式，原书写错误，故此选项不符合题意；C、符合书写要求，故此选项符合题意；D、系数应写在字母的前面，原书写错误，故此选项不符合题意．故选：C．【考察注意点】本题考查了代数式的书写要求．正确掌握代数式的书写要求是解题的关键．6．（2021春•杨浦区期中）甲数是乙数的4倍少3，则下列说法正确的是（）①设乙数为x，甲数为4x﹣3②设甲数为x，乙数为x+3③设甲数为x，乙数为（x+3）④设甲数为x，乙数为（x﹣3）A．①③ B．①② C．②④ D．①④【易错思路引导】理清数量关系并用代数式表示出即可．【规范解答】解：甲数是乙数的4倍少3，若设乙数为x，甲数为4x﹣3；若设甲数为x，则乙数的4倍是（x+3），所以乙数为（x+3），∴①、③正确，故B、C、D错误，故选：A．【考察注意点】本题考查列代数式，理清数量关系并用代数式表示出是解题关键．7．（2019•包河区校级二模）如图，将两根相同的矩形木条沿虚线MN剪开得到四根完全一样的木条，然后重新围成一个矩形画框．已知矩形木条的两边分别为a、b，且a＞b，则围成的矩形画框的内框ABCD的面积为（）A． B． C． D．【易错思路引导】根据内框ABCD的面积＝大矩形的面积﹣2个原矩形的面积先用含a、b的代数式表示x，再求内框ABCD的面积即可．【规范解答】解：如图，根据两根相同的矩形木条沿虚线MN剪开得到四根完全一样的木条，设AB＝a﹣x，则AD＝a﹣x﹣b，则内框ABCD的面积＝大矩形的面积﹣2个原矩形的面积x（x+b）﹣2ab＝（a﹣x）（a﹣x﹣b）x2+bx﹣2ab＝a2﹣2ax+x2﹣ab+bx2ax＝a2+ab解得x＝a+b，∴内框ABCD的面积＝（a﹣x）（a﹣x﹣b）＝（a﹣b）（a﹣b）＝a2﹣ab+b2．故选：C．【考察注意点】本题考查了列代数式，解决本题的关键是利用矩形面积公式列代数式．二．填空题8．（2021秋•昌江区校级期末）（2x﹣1）5＝a5x5+a4x4+…+a1x+a0，则a2+a4＝﹣120．【易错思路引导】对x取特殊值，构造相关等式后求值．【规范解答】解：当x＝1时，（2×1﹣1）5＝a5+a4+a3+a2+a1+a0．①当x＝﹣1时，（﹣1×2﹣1）5＝﹣a5+a4﹣a3+a2﹣a1+a0．②①+②得：1+（﹣243）＝2（a4+a2+a0）．∴a2+a4+a0＝﹣121．将x＝0代入题中等式得：（﹣1）5＝a0，∴a0＝﹣1．∴a2+a4＝﹣121﹣（﹣1）＝﹣120．故答案为：﹣120．【考察注意点】本题考查求代数式的值，根据题中等式，取适当的特殊的x值是求解本题的关键．9．（2021秋•永春县期末）当x＝5和﹣5时，代数式ax3+x2+bx+c的值分别为20和40．则c＝5．【易错思路引导】把x＝5与x＝﹣5分别代入代数式ax3+x2+bx+c中进行计算，然后得出关于c的方程即可解答．【规范解答】解：当x＝5时，ax3+x2+bx+c＝20，∴125a+25+5b+c＝20，∴125a+5b＝﹣5﹣c，当x＝﹣5时，ax3+x2+bx+c＝40，∴﹣125a+25﹣5b+c＝40，∴125a+5b＝c﹣15，∴﹣5﹣c＝c﹣15，∴2c＝10，∴c＝5，故答案为：5．【考察注意点】本题考查了解三元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键．10．（2021•海东市一模）如图是一个数值转换机示意图，当x＝2，y＝3时，输出的结果为16.5．【易错思路引导】把x＝2，y＝3，代入数值转换机示意图计算．【规范解答】解：当x＝2，y＝3时，得（2×3+33）÷2＝（6+27）÷2＝33÷2＝16.5；故答案为：16.5．【考察注意点】本题考查了代数式的求值、有理数的混合运算，掌握用数值代替代数式里的字母进行计算，有理数的混合运算法则的应用是解题关键．11．（2022春•通川区期末）在Rt△ACB​中，∠ACB＝90°​，将Rt△ACB​沿EF​折叠，使得点A​恰好落在BC​的延长线上的点D​处，DF​交边AC​于点G​．若DF⊥AB，2AF＝3BF，AF＝b​，∠EDC＝α​，则∠A​的度数是（用α​的代数式表示）；DG​的长度为b（用b​的代数式表示）．【易错思路引导】（1）根据折叠的性质可知∠A＝∠EDF，再根据同角的余角相等得∠A＝∠BDF，即可求出∠A；（2）先证明△BDF≌△GAF，可得GF＝BF，再由2AF＝3BF，AF＝b​，即可求出DG．【规范解答】解：（1）由折叠可得∠A＝∠EDF，∵∠ACB＝90°​，∴∠A+∠B＝90°，∵DF⊥AB，∴∠DFE＝90°，∴∠BDF+∠B＝90°，∴∠A＝∠BDF，∴∠A＝＝，（2）∵2AF＝3BF，AF＝b​，∴BF＝b，∵∠BFD＝∠GFA，DF＝AF，∠A＝∠BDF，∴△BDF≌△GAF，∴BF＝GF＝b，∴DG＝b﹣b＝．故答案为：，．【考察注意点】此题主要考查了折叠的性质和全等三角形的性质，熟练掌握折叠的性质和三角形全等的判定与性质是解题的关键．12．（2021•北京模拟）《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学专著，其中包含了“鸡兔同笼”“物不知数”等许多有趣的数学问题．《孙子算经》中记载：“今有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”其译文为：“有一个正整数，除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的正整数．”请用含有k的代数式表示满足条件的所有正整数105k+23．【易错思路引导】先确定出除以21余2的最小正整数为23，此时也满足除以5余3，再确定出3，5，7的最小公倍数，即可得出结论．【规范解答】解：∵一个正整数，除以3余2，除以7余2，∴这个正整数除以21也余2，∴除以21余2的最小正整数为23，而23÷5＝4•••3，∴满足条件的最小正整数为23，∵3，5，7的最小公倍数为3×5×7＝105，∴符合条件的正整数为105k+23，故答案为105k+23．【考察注意点】此题主要考查了列代数式，同余问题，最小公倍数的求法，确定出满足条件的最小正整数为23是解本题的关键．13．（2021春•清苑区期末）现有一张边长为a的大正方形卡片和三张边长为b的小正方形卡片（a＜b＜a），如图1；取出两张小正方形卡片放入大正方形卡片内拼成的图案如图2；再重新用三张小正方形卡片放入大正方形卡片内拼成的图案如图3．则图3中阴影部分的面积为（a﹣b）2（用含有a，b的代数式表示）；已知图3中的阴影部分的面积比图2中的阴影部分的面积大2ab﹣15，则小正方形卡片的面积是5．【易错思路引导】图2中阴影正方形的边长为（2b﹣a），面积就是（2b﹣a）2；图3中两个阴影部分的面积可以上下拼在一起，也是个正方形，其边长是（a﹣b），面积就是（a﹣b）2．再根据等量关系列方程就可以得出含有a、b的关系式了．【规范解答】解：图2中阴影部分是正方形，它的边长是（2b﹣a），所以它的面积就是（2b﹣a）2．图3中阴影部分可以上下拼合到一起，其边长就是（a﹣b），所以它的面积就可以表示为：（a﹣b）2．又因为图3中的阴影部分的面积比图2中的阴影部分的面积大2ab﹣15，所以可得：（2b﹣a）2+2ab﹣15＝（a﹣b）2，4b2﹣4ab+a2+2ab﹣15＝a2+b2﹣2ab，3b2＝15，b2＝5，故小正方形的面积是5．【考察注意点】本题考查列代数式的能力，用字母表示阴影部分的面积．再根据等量关系进行推导．三．解答题14．（2022•仙居县校级开学）我们规定：若有理数a，b满足a+b＝ab，则称a，b互为“特征数”，其中a叫做b的“特征数”，b也叫a的“特征数”．例如：因为2+2＝4，2×2＝4，所以2+2＝2×2，则2与2互为“特征数”．请根据上述规定解答下列问题：（1）有理数﹣1的“特征数”是；（2）有理数1没有（填“有”或“没有”）“特征数”；（3）若m的“特征数”是3，n的“特征数”是﹣2，求4m+21n的值．【易错思路引导】（1）根据“特征数“的定义求．（2）根据“特征数“的定义判断．（3）根据“特征数“的定义建立方程求解．【规范解答】解：（1）设﹣1的”特征数“是x，则：﹣1+x＝﹣1×x，∴x＝，故答案为：．（2）假设1的”特征数“是x，则：1+x＝1×x，∴0＝1不成立，∴1没有“特征数”．故答案为：没有．（3）由题意得：m+3＝3m，n﹣2＝﹣2n，∴m＝，n＝．∴4m+21n＝6+14＝20．【考察注意点】本题考查用新定义解题，理解新定义是求解本题的关键．15．（2021秋•潍坊期末）如表，给出了在x的不同取值时，三个代数式所得到的代数式的值，回答问题：x…﹣2﹣1012…﹣2x+3…a531﹣1…3x﹣5…﹣11﹣8﹣5﹣2b…mx+n…123…（1）根据表中信息可知：a＝7；b＝1；m＝0.5；n＝2；（2）表中代数式﹣2x+3的值的变化规律是：x的值每增加1，﹣2x+3的值就都减少2．类似地，代数式3x﹣5的值的变化规律是：x的值每增加1，3x﹣5的值就都增加3；（3）请直接写出一个含x的代数式，要求x的值每增加1，代数式的值就都减少5；（4）已知x1，x2，x3是三个连续偶数；当x＝x1时，mx+n＝y1；当x＝x2时，mx+n＝y2；当x＝x3时，mx+n＝y3；且y1+y2+y3＝2022．求x1+x2+x3的值．【易错思路引导】（1）分别将x＝﹣2和x＝2代入两个代数式．计算可得a和b的值；分别把x＝0和x＝﹣2代入mx+n，建立方程组求解即可；（2）结合所给例子并观察表格数字的变化情况即可得出结论；（3）按要求使x的系数为﹣5，常数项可随意取值即可；（4）在（1）计算的基础上，分别代入上面三个式子，计算即可．【规范解答】解：（1）用2替换代数式中的x，a＝﹣2×（﹣2）+3＝7，b＝3×2﹣5＝1．由表格可知，x＝0时，n＝2；当x＝﹣2时，﹣2m+n＝1；解得n＝2，m＝0.5；故答案为：7；1；0.5；2．（2）观察表格中第三行可以看出，x的值每增加1，3x﹣5的值就都增加3，故答案为：x的值每增加1，3x﹣5的值就都增加3．（3）∵x的值每增加1，代数式的值就都减小5，∴x的系数为﹣5．∴这个含x的代数式是：﹣5x﹣7（答案不唯一）．（4）由（1）知，n＝2，m＝0.5，∴y1＝0.5x1+2，y2＝0.5x2+2，y3＝0.5x3+2，∴y1+y2+y3＝0.5（x1+x2+x3）+6，∵y1+y2+y3＝2022，∴x1+x2+x3＝4032．即x1+x2+x3的值为4032．【考察注意点】本题主要考查了列代数式和求代数式的值，有理数的混合运算．准确计算是解题的关键．16．（2021秋•淇县期末）疫情期间，为了满足市民对口罩的需求，某厂决定生产两款口罩．每天共生产两种口罩500包，两种口罩成本和售价如表：成本（元/包）售价（元/包）A58B79若每天生产A种口罩x包，则生产B种口罩（500﹣x）包．（用含x的代数式表示）（1）用含x的代数式表示该厂每天获得的利润，（利润＝售价﹣成本）并进行化简；（2）当x＝300时，求每天获得的利润．【易错思路引导】根据每天共生产两种口罩500包，每天生产A种口罩x包，这两个条件表示生产B种口罩的数量；（1）根据每天获得的利润＝生产A种口罩x包的利润+生产B种口罩（500﹣x）包的利润，化简后即可；（2）把x＝300代入（1）中的代数式计算即可．【规范解答】解：∵每天共生产两种口罩500包，每天生产A种口罩x包，∴生产B种口罩（500﹣x）包，故答案为：（500﹣x）；（1）（8﹣5）x+（9﹣7）（500﹣x）＝（1000+x）元；答：该厂每天获得的利润（1000+x）元；（2）当x＝300时，原式＝1300元答：每天获得的利润为1300元．【考察注意点】本题考查了代数式的求值、列代数式，掌握用数值代替代数式里的字母进行计算，根据题意列出算式是解题关键．17．（2021秋•洛江区期末）如图，正方形ABCD和正方形ECGF的边长分别为a和6，点C、D、E在一条直线上，点B、C、G在一条直线上，将依次连接D、E、F、B、D所围成的阴影部分的面积记为S阴影．（1）试用含a的代数式表示S阴影，并按降幂排列；（2）当a＝12时，比较S阴影与△BFG面积的大小；当a＝15时，结论是否改变？为什么？【易错思路引导】（1）用两个正方形的面积和减去两个空白三角形的面积即得阴影部分面积．（2）通过计算两种情况下两个图形的面积，然后判断变与不变．【规范解答】解：（1）由题意得：S阴影＝S正方形ABCD+S正方形CEFG﹣S△ABD﹣S△BGF＝a2+36﹣a2﹣（a+6）×6＝a2﹣3a+18．按a降幂排列为：a2﹣3a+18．（2）当a＝12时，S阴影＝×144﹣3×12+18＝54．S△BGF＝×（12+6）×6＝54．∴S阴影＝S△BGF．当a＝15时，S阴影＝×225﹣3×15+18＝．S△BGF＝21×6＝63．∴S阴影＞S△BGF，∴结论发生改变．∵S阴影﹣S△BGF＝a2﹣3a+18﹣（a+6）×6＝a2﹣6a＝a（a﹣12）．∴当a＝12时，S阴影﹣S△BGF＝0，∴S阴影＝S△BGF．当a＜12时，S阴影﹣S△BGF＜0，∴S阴影＜S△BGF．当a＞12时，S阴影﹣S△BGF＞0，∴S阴影＞S△BGF．∴S阴影与S△BGF的大小关系随a的取值而变化．【考察注意点】本题考查列代数式和求代数式的值，根据图形特征正确表示阴影部分的面积是求解本题的关键．18．（2021秋•邗江区期末）有以下运算程序，如图所示：比如，输入数对（2，1），输出W＝2．（1）若输入数对（1，﹣2），则输出W＝1；（2）分别输入数对（m，﹣n）和（﹣n，m），输出的结果分别是w1，w2，试比较w1，w2的大小，并说明理由；（3）设a＝|x+2|，b＝|x﹣3|，若输入数对（a，b）之后，输出W＝26，请直接写出a+2b的值．【易错思路引导】（1）根据程序框图求值．（2）先表示W1，W2，再比较．（3）先求x，再求a+2b．【规范解答】解：（1）输入数对（1，﹣2），W＝×[3+（﹣1）]＝1．（2）当a＝m，b＝﹣n时，W1＝[|a﹣b|+（a+b）]×＝[|m+n|+（m﹣n）]，当a＝﹣n，b＝m时，W2＝[|a﹣b|+（a+b）]×＝[|﹣n﹣m|+（m﹣n）]×＝[|m+n|+（m﹣n）]，∴W1＝W2．（3）当x≥3时，∵W＝26，）a＝|x+2|，b＝|x﹣3|，∴a＞b．∴W＝×2|x+2|＝26．∴|x+2|＝26．∴x＝24或x＝﹣28（舍去）．∴a＝26，b＝21，∴a+2b＝26+42＝68．当x≤﹣2时，a＜b．∵W＝26．×2×|x﹣3|＝26．∴|x﹣3|＝26．∴x＝29（舍去）或x＝﹣23．∴a＝21，b＝26．∴a+2b＝73．当﹣2＜x＜3时，不合题意．综上：a+2b＝68或73．【考察注意点】本题考查求代数式的值及含绝对值的一元一次方程，正确表示W是求解本题的关键．19．（2021秋•仁寿县期末）因“新冠肺炎”疫情防控需要，医用口罩需求量大幅增加．我市某口罩加工厂为满足市场需求计划每台机器每天生产m个，由于各种原因，实际每天投入的机器台数和每台机器的生产量与计划每天生产量相比有出入，下表是12月份某一周（实行五天工作制）的生产情况（超出为正，不足为负）．星期一二三四五正常工作机器数（台）1513141415每台产量较计划增减（个）+80﹣60﹣50﹣100+100（1）用含m的整式表示本周五天生产口罩的总数；（2）当m＝2000时，请解决下面问题：①总产量最多的一天比总产量最少的一天多生产口罩多少个？②该口罩加工厂实行计件工资制，每生产一个口罩需支付工人0.4元的工资，每个口罩的材料成本为0.8元，该工厂以每个1.7元的批发价将前四天生产的口罩全部售出后，为响应国家“一方有难，八方支援”的号召，决定将最后一天生产的口罩全部捐出，试通过计算说明该工厂本周是赚了还是亏了？【易错思路引导】（1）把每天生产的口罩的总数加起来即可；（2）①算出每天口罩的产量，进行比较可得总产量最多的一天是周五，总产量最少的一天是周二，作差即可；②根据①中的数据，利用利润＝售价﹣成本求解即可得出结论．【规范解答】解：（1）本周生产的口罩的总数为：15（m+80）+13（m﹣60）+14（m﹣50）+14（m﹣100）+15（m+100）＝（71m﹣180）个．（2）①当m＝2000时，每天口罩的总产量为：周一：15（m+80）＝15×2000+15×80＝31200（个），周二：13（m﹣60）＝13×2000﹣13×60＝26000﹣780＝25220（个），周三：14（m﹣50）＝14×2000﹣14×50＝27300（个），周四：14（m﹣100）＝14×2000﹣14×100＝26600（个），周五：15（m+100）＝15×2000+15×100＝31500（个），∵25220＜26600＜27300＜31200＜31500，∴总产量最多的一天是周五，总产量最少的一天是周二，∴31500﹣