对钩函数详解性质图像对比并举例说明I3

主要内容：本文通过对比分析，解析函数y=ax+eq\f(b,cx)当a，b，c的系数符号不同时，并举例以四个函数y₁=122x+eq\f(149,152x),y₂=122x-eq\f(149,152x),y₃=-122x+eq\f(149,152x),y4=-122x-eq\f(149,152x),说明系数符号变化与函数性质的关系，简要画出函数在同一个坐标系下的图像。☆.函数的定义域分析根据y₁=122x+eq\f(149,152x),y₂=122x-eq\f(149,152x),y₃=-122x+eq\f(149,152x),y4=-122x-eq\f(149,152x)函数特征，可知均含有分式，故要求分母不为0，所以4个函数的定义域相同，定义域均为：(-∞,0)∪(0,+∞)。☆.函数的单调性分析由于4个函数均是由一个正比例函数和一个反比例函数的和差函数，可以根据两个函数的单调性综合分析和差函数的单调性。1.对于函数y₂=122x-eq\f(149,152x),是由正比例增函数和反比例减函数的差，所以相当于两个增函数的和，故函数y2整体为增函数。2.对于函数y₃=-122x+eq\f(149,152x)，是由正比例减函数和反比例减函数的和，所以相当于两个减函数的和，故函数y3整体为减函数。3.对于函数y₁=122x+eq\f(149,152x)，y4=-122x-eq\f(149,152x)前后两个函数的单调性不一致，不能简单通过上述方法解析，但可以使用导数来分析单调性。☆.导数分析函数的单调性步骤1.函数y₁=122x+eq\f(149,152x),求函数的一阶导数，有：eq\f(dy,dx)=122-eq\f(149,152x²)=eq\f(122*152x²-149,152x²),令eq\f(dy,dx)=0，即：122*152x²-149=0,所以x=±eq\f(1,4636)eq\r(172691)≈±0.09,结合函数的定义域，并根据导数与函数单调性有：(1)当x∈(-∞,-eq\f(1,4636)eq\r(172691))∪(eq\f(1,4636)eq\r(172691)，+∞)时，eq\f(dy,dx)＞0，函数为增函数；(2)当x∈[-eq\f(1,4636)eq\r(172691),0)∪(0,eq\f(1,4636)eq\r(172691)]时，eq\f(dy,dx)＜0，函数为减函数。2.函数y4=-122x-eq\f(149,152x),是y1的相反函数，故单调性与之相反。同理，结合函数的定义域，并根据导数与函数单调性有：(1)当x∈(-∞,-eq\f(1,4636)eq\r(172691))∪(eq\f(1,4636)eq\r(172691)，+∞)时，eq\f(dy,dx)＜0，函数为减函数；(2)当x∈[-eq\f(1,4636)eq\r(172691),0)∪(0,eq\f(1,4636)eq\r(172691)]时，eq\f(dy,dx)＞0，为增函数。☆.函数的凸凹性1.函数y₁=122x+eq\f(149,152x)有：eq\f(dy,dx)=122-eq\f(149,152x²)，则：eq\f(d²y,dx²)=0+eq\f(2*149,152x³)=eq\f(2*149,152x³),可知与x的符号成正向关系，所以：(1)当x∈(-∞,0)时，eq\f(d²y,dx²)＜0，函数为凸函数；(2)当x∈(0,+∞)时，eq\f(d²y,dx²)＞0，函数为凹函数。2.函数y₂=122x-eq\f(149,152x)有：eq\f(dy,dx)=122+eq\f(149,152x²)，则：eq\f(d²y,dx²)=0-eq\f(2*149,152x³)=-eq\f(2*149,152x³)，可知与x的符号有关系且相反，所以：(1)当x∈(-∞,0)时，eq\f(d²y,dx²)＞0，函数为凹函数；(2)当x∈(0,+∞)时，eq\f(d²y,dx²)＜0，函数为凸函数。3.y₃=-122x+eq\f(149,152x)有：eq\f(dy,dx)=-122-eq\f(149,152x²)，则：eq\f(d²y,dx²)=0+eq\f(2*149,152x³)=eq\f(2*149,152x³),可知与x的符号成正向关系，所以：(1)当x∈(-∞,0)时，eq\f(d²y,dx²)＜0，函数为凸函数；(2)当x∈(0,+∞)时，eq\f(d²y,dx²)＞0，函数为凹函数。4.y4=-122x-eq\f(149,152x)有：eq\f(dy,dx)=-122+eq\f(149,152x²)，则：eq\f(d²y,dx²)=0-eq\f(2*149,152x³)=-eq\f(2*149,152x³)，可知与x的符号有关系且相反，所以：(1)当x∈(-∞,0)时，eq\f(d²y,dx²)＞0，函数为凹函数；(2)当x∈(0,+∞)时，eq\f(d²y,dx²)＜0，函数为凸函数。☆.函数的极限eq\s(lim,x→-∞)122x+eq\f(149,152x)=-∞，eq\s(lim,x→0-)122x+eq\f(149,152x)=-∞,eq\s(lim,x→0+)122x+eq\f(149,152x)=+∞,eq\s(lim,x→+∞)122x+eq\f(149,152x)=+∞。eq\s(lim,x→-∞)122x-eq\f(149,152x)=-∞，eq\s(lim,x→0-)122x-eq\f(149,152x)=+∞，eq\s(lim,x→0+)122x-eq\f(149,152x)=-∞，eq\s(lim,x→+∞)122x-eq\f(149,152x)=+∞，eq\s(lim,x→-∞)-122x+eq\f(149,152x)=+∞,eq\s(lim,x→0-)-122x+eq\f(149,152x)=-∞，eq\s(lim,x→0+)-122x+eq\f(149,152x)=+∞,eq\s(lim,x→+∞)-122x+eq\f(149,152x)=-∞。eq\s(lim,x→-∞)-122x-eq\f(149,152x)=+∞,eq\s(lim,x→0-)-122x-eq\f(149,152x)=-∞eq\s(lim,x→0+)-122x-eq\f(149,152x)=-∞,eq\s(lim,x→+∞)-122x-eq\f(149,152x)=+∞☆.函数的奇偶性按照奇偶性判断方法，可知四个函数y₁=122x+eq\f(149,152x),y₂=122x-eq\f(149,152x),y₃=-122x+eq\f(149,152x),y4=-122x-eq\f(149,152x),均为奇函数。所以，图像关于原点对称,本处以y₃介绍奇偶性判断步骤。∵f(x)=-122x+eq\f(149,152x)∴f(-x)=-122*(-x)+eq\f(149,152*(-x))=122x-eq\f(149,152x)=-[-122x+eq\f(149,152x)]=-f(x).即：f(-x)=-f(x)，所以函数为奇函数，关于原点对称。☆.函数的五点图x(＜0)-0.13-0.11-0.09-0.07-0.04122x+eq\f(149,152x)-23.40-22.33-21.87-22.54-29.39122x-eq\f(149,152x)-8.32-4.51-0.095.4619.63-122x+eq\f(149,152x)8.324.510.09-5.46-19.63-122x-eq\f(149,152x)23.4022.3321.8722.5429.39x(＞0)0.040.070.090.110.13122x+eq\f(149,152x)29.3922.5421.8722.3323.40122x-eq\f(149,152x)-19.63-5.460.094.518.32-122x+eq\f(149,152x)19.635.46-0.09-4.51-8.32-122x-eq\f(149,152x)-29.39-22.54-21.87-22.33-23.40☆.函数的图像示意图四个函数y₁=122x+eq\f(149,152x),y₂=122x-eq\f(149,152x),y₃=-122x+eq\f(149,152x),y4=-122x-eq\f(149,152x)在同一个坐标系下示意图如下所示。其中：红色曲线表示y₁=122x+eq\f(149,152x)图像；绿色曲线表示y₂=122x-eq\f(149,152x)图像；紫色曲线表示y₃=-122x+eq\f(149,152x)图像；黑色曲线表示y4=-122x-eq\f(149,152x)图像。yy4=-122x-eq\f(149,152x)y₁=122x+eq\f(149,152x)y₃=-122x+eq\f(149,152x)y₂=122x-eq\f(149,152x)y₃=-122x+eq\f(149,152x) xy₁=122x+eq\f(149,152x)y4=-122x-eq\f(149,152x)☆.主要特性归纳1.函数相反性：函数y₁=122x+eq\f(149,152x)和函数y4=-122x-eq\f(149,152x)在同一个x处的y值互为相反数；函数y₂=122x-eq\f(149,152x)和函数y₃=-122x+eq\f(149,152x)也在同一个x处的y值互为相反数。2.经过的象限：函数y₁=122x+eq\f(149,152x)经过第一和第三象限，函数y4=-122x-eq\f(149,152x)则经过第二、第三象限；函数y₂=122x-eq\f(149,152x)和函数y₃=-122x+eq\f(149,152x)四个象限均经过。3.曲线的交点：函数y₁=122x+eq\f(149,152x)和函数y4=-122x-eq\f(149,152x)分别同另外3条曲线均没有交点;曲线方程y₂=122x-eq\f(149,152x)和函数y₃=-122x+eq\f(149,152x)有公共交点，且有两个交点，交点在x轴上，并互为相反数。4.坐标轴交点：函数y₁=122x+eq\f(149,1