专题04 二次函数与图形问题（解析版）

专题04二次函数与图形问题考法一：定长围面积最大1．（2022·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完．(1)若所围成矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？(2)矩形框架ABCD面积最大值为______平方厘米．【答案】(1)AB的长为8厘米或12厘米．(2)150【分析】（1）设AB的长为x厘米，则有厘米，然后根据题意可得方程，进而求解即可；（2）由（1）可设矩形框架ABCD的面积为S，则有，然后根据二次函数的性质可进行求解．【详解】（1）解：设AB的长为x厘米，则有厘米，由题意得：，整理得：，解得：，∵，∴，∴都符合题意，答：AB的长为8厘米或12厘米．（2）解：由（1）可设矩形框架ABCD的面积为S平方厘米，则有：，∵，且，∴当时，S有最大值，即为；故答案为：150．【点睛】本题主要考查一元二次方程及二次函数的应用，解题的关键是找准题干中的等量关系．2．（2022·山东威海·统考中考真题）某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成．已知墙长25m，木栅栏长47m，在与墙垂直的一边留出1m宽的出入口（另选材料建出入门）．求鸡场面积的最大值．【答案】288m2【分析】设与墙平行的一边为xm（x≤25），则与墙垂直的一边长为m，设鸡场面积为ym2，根据矩形面积公式写出二次函数解析式，然后根据二次函数的性质求出最值即可．【详解】解：设与墙平行的一边为xm（x≤25），则与墙垂直的一边长为m，设鸡场面积为ym2，根据题意，得，∴当x=24时，y有最大值为288，∴鸡场面积的最大值为288m2．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确列出二次函数解析式．3．如图，某养殖户利用一面长20m的墙搭建矩形养殖房，中间用墙隔成两间矩形养殖房，每间均留一道1m宽的门.墙厚度忽略不计，新建墙总长34m，设AB的长为x米，养殖房总面积为S.(1)求养殖房的最大面积.(2)该养殖户准备400元全部用于购买小鸡和小鹅养殖，小鸡每只5元，小鹅每只7元，并且小鸡的数量不少于小鹅数量的2倍.该养殖户有哪几种购买方案？【答案】(1)108平方米(2)5种购买方案.小鹅05101520小鸡8073665952【分析】（1）根据矩形的面积列出函数解析式，再根据函数的性质求最大值；（2）设买小鸡a只，小鹅b只，根据5a＋7b＝400，且a≥2b，求出a，b的整数解即可．【详解】（1）解：由题意得：S＝x（34﹣3x+2）＝x（36﹣3x）＝﹣3x2+36x＝﹣3（x﹣6）2+108，∵﹣3＜0，∴当x＝6时，S有最大值，最大值为108，∴养殖房的最大面积为108平方米；（2）设买小鸡a只，小鹅b只，则5a+7b＝400，且a≥2b，∴a＝＝80﹣≥2b，则b≤，且b≥0，又∵a，b都为非负整数，∴b可为0，5，10，15，20，此时a对应为80，73，66，59，52，∴该养殖户共有5种购买方案：方案1：小鸡80只，小鹅0只；方案2：小鸡73只，小鹅5只；方案3：小鸡66只，小鹅10只；方案4：小鸡59只，小鹅15只；方案5：小鸡52只，小鹅20只．【点睛】本题考查二次函数的应用，关键是根据矩形的面积列出函数解析式．4．（2022·江苏无锡·统考中考真题）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．(1)若矩形养殖场的总面积为36，求此时x的值；(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？【答案】(1)x的值为2m；(2)当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为m2【分析】（1）由BC=x，求得BD=3x，AB=8-x，利用矩形养殖场的总面积为36，列一元二次方程，解方程即可求解；（2）设矩形养殖场的总面积为S，列出矩形的面积公式可得S关于x的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：∵BC=x，矩形CDEF的面积是矩形BCFA面积的2倍，∴CD=2x，∴BD=3x，AB=CF=DE=(24-BD)=8-x，依题意得：3x(8-x)=36，解得：x1=2，x2=6(不合题意，舍去)，此时x的值为2m；；（2）解：设矩形养殖场的总面积为S，由（1）得：S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48，∵墙的长度为10，∴0＜3x＜10，∴0＜x＜，∵-3<0，∴x＜4时，S随着x的增大而增大，∴当x=时，S有最大值，最大值为，即当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为m2．【点睛】本题考查了一元二次方程和二次函数在几何图形问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．5．北重一中计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，墙的最大可用长度为12米．另三边用总长为26米的木板材料围成．车棚形状如图中的矩形。为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个2米宽的门。(1)求这个车棚的最大面积是多少平方米？此时与的长分别为多少米？(2)如图2，在（1）的结论下，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为70平方米，那么小路的宽度是多少米？【答案】(1)最大面积为96平方米，此时米，米；(2)小路的宽为1米【分析】（1）设为x米，则为米，列出车棚面积的函数表达式，求出x的取值范围，再求出函数的最大值，同时求出AD和AB的长即可；（2）设小路宽为m米．根据题意列出方程，解方程即可．【详解】（1）解：设为x米，则为米，根据题意得：，由题意得，解得0<x≤12，∵，开口向下，∴当时，S随x的增大而增大，∵，∴当时，S有最大值，，此时AD＝x＝12，AB＝＝8，答：最大面积为96平方米，此时米，米．（2）解：设小路宽为m米．根据题意得解得（舍），答：小路的宽为1米．【点睛】此题主要考查了二次函数和一元二次方程的应用，读懂题意，列出函数表达式和一元二次方程是解题的关键．6．（2022·湖南湘潭·统考中考真题）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长）和长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：(1)方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度的水池且需保证总种植面积为，试分别确定、的长；(2)方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大面积为多少？【答案】(1)CG长为8m，DG长为4m(2)当BC=m时，围成的两块矩形总种植面积最大=m2【分析】（1）两块篱笆墙的长为12m，篱笆墙的宽为AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，设CG为am，DG为(12-a)m，再由矩形面积公式求解；（2）设两块矩形总种植面积为y，BC长为xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由题意得，围成的两块矩形总种植面积最大=BC×DC，代入有关数据再把二次函数化成顶点式即可.【详解】（1）解：两块篱笆墙的长为12m，篱笆墙的宽为AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，设CG为am，DG为(12-a)m，那么AD×DC-AE×AH=32即12×3-1×（12-a）=32解得：a=8∴CG=8m，DG=4m．（2）解：设两块矩形总种植面积为ym2，BC长为xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由题意得，两块矩形总种植面积=BC×DC即y=x·(21-3x)∴y=-3x2+21x=-3(x-)2+∵21-3x≤12∴x≥3∴当BC=m时，y最大=m2．【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意找到等量关系列出方程．考法二：动点函数图象判断7．（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图，等腰与矩形DEFG在同一水平线上，，现将等腰沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C到达DE之时开始计算，至AB离开GF为止．等腰与矩形DEFG的重合部分面积记为y，则能大致反映y与x的函数关系的图象为（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据平移过程，可分三种情况，当时，当时，当时，利用直角三角形的性质及面积公式分别写出各种情况下y与x的函数关系式，再结合函数图象即可求解．【详解】过点C作CM⊥AB于N，，在等腰中，，，①当时，如图，，，，∴，y随x的增大而增大；②当时，如图，，∴当时，y是一个定值为1；③当时，如图，，，,当x=3，y=1，当3<x<4，y随x的增大而减小，当x=4，y=0，结合ABCD选项的图象，故选：B．【点睛】本题考查了动点函数问题，涉及二次函数的图象及性质，能够准确理解题意并分情况讨论是解题的关键．8．（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在中，，，，，垂足为点，动点从点出发沿方向以的速度匀速运动到点，同时动点从点出发沿射线方向以的速度匀速运动．当点停止运动时，点也随之停止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象能大致反映与之间函数关系的是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】分别求出M在AD和在BD上时△MND的面积为S关于t的解析式即可判断．【详解】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，，∴∠B＝60°，，，∵CD⊥AB，∴，，，∴当M在AD上时，0≤t≤3，，，∴，当M在BD上时，3＜t≤4，，∴，故选：B．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．9．（2022·广东东莞·东莞市万江第三中学校考三模）如图，等边的边长为，沿运动，沿运动，且速度都为每秒个单位，面积为，则与运动时间秒的函数的图象大致为（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】分两个阶段进行计算：当P在BC上运动时，即当0≤x≤3时，如图，当P在AB上运动时，即当3<x≤6时，如图，分别根据三角形面积公式代入求面积即可，得到解析式后确定函数图象形状，作判断．【详解】解：根据题意得：PC=BQ=2x，如图，当时，BP=6-2x，过点Q作QD⊥BC于点D，∵△ABC是等边三角形，∴，∴，∴，当时，BP=AQ=2x-6，过点Q作QE⊥AB于点E，∴，∴，∴，综上所述，当时，，y是x的二次函数，且开口向下；当时，，y是x的二次函数，且开口向上，故选：C【点睛】本题考查了两个动点运动的问题，明确动点运动的距离和位置是关键，利用数形结合的思想，把不同阶段时面积的解析式求出即可作出判断．10．（甘肃·模拟预测）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P由点A出发，沿A→B→C的路径匀速运动，过点P向对角线AC作垂线，垂足为Q，设AQ＝x，△APQ的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据勾股定理可得AC＝5，然后分两段讨论：当点P在AB上时，当点P在BC上时，结合相似三角形的判定和性质，即可求解．【详解】解：在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠B=90°，由勾股定理得AC＝5，根据点P的运动，需要分段讨论：①当点P在AB上时，∵PQ⊥AC，∴∠AQP＝∠B＝90°，∵∠BAC＝∠BAC，∴△APQ∽△ACB，∴PQ：BC=AQ∶AB=AP∶AC，∴PQ：AQ：AP＝BC：AB：AC＝4：3：5，∵AQ＝x，∴PQx，APx；此时0x≤3，即0≤，∴，是开口向上的一段抛物线；当点P在BC上时，∵PQ⊥AC，∴∠CQP＝∠B＝90°，∵∠BCA＝∠BCA，∴△CPQ∽△ACB，∴CQ∶AB=PQ∶CB=CP∶AC，∴CQ：PQ：CP＝BC：AB：AC＝4：3：5，∵AQ＝x，∴CQ＝5﹣x，∴PQ（5﹣x），AP（5﹣x）；此时0（5﹣x）≤4，即，∴，开口向下的抛物线，故选：A．【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出y与x的函数关系式．也涉及到了相似三角形的判定和性质，抛物线的性质．11．（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，四边形是边长为的正方形，点E，点F分别为边，中点，点O为正方形的中心，连接，点P从点E出发沿运动，同时点Q从点B出发沿运动，两点运动速度均为，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接，的面积为，下列图像能正确反映出S与t的函数关系的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】分0≤t≤1和1＜t≤2两种情形，确定解析式，判断即可．【详解】当0≤t≤1时，∵正方形ABCD的边长为2，点O为正方形的中心，∴直线EO垂直BC，∴点P到直线BC的距离为2-t，BQ=t，∴S=；当1＜t≤2时，∵正方形ABCD的边长为2，点F分别为边，中点，点O为正方形的中心，∴直线OF∥BC，∴点P到直线BC的距离为1，BQ=t，∴S=；故选D．【点睛】本题考查了正方形的性质，二次函数的解析式，一次函数解析式，正确确定面积，从而确定解析式是解题的关键．12．（2022·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形ABCD是正方形，AB＝2，点P为射线BC上一点，连接DP，将DP绕点P顺时针旋转90°得到线段EP，过B作EP平行线交DC延长线于F．设BP长为x，四边形BFEP的面积为y，下列图象能正确反映出y与x函数关系的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】方法一：根据P点在C点右侧时，BP越大，则四边形BFEP的面积越大，即可以得出只有D选项符合要求；方法二：分两种情况分别求出y与x的关系式，根据x的取值判断函数图象即可．【详解】方法一：由题意知，当P点在C点右侧时，BP越大，则则四边形BFEP的面积越大，故D选项符合题意；方法二：如下图，当P点在BC之间时，作EH⊥BC于H，∵∠DPE＝90°，∴∠DPC+∠EPH＝90°，∵∠DPC+∠PDC＝90°，∴∠EPH＝∠PDC，在△EPH和△PDC中，，∴△EPH≌△PDC（AAS），∵BP＝x，AB＝BC＝2，∴PC＝EH＝2﹣x，∴四边形BPEF的面积y＝x（2﹣x）＝﹣x2+2x，同理可得当P点在C点右侧时，EH＝PC＝x﹣2，∴四边形BPEF的面积y＝x（x﹣2）＝x2﹣2x，综上所述，当0＜x＜2时，函数图象为开口方向向下的抛物线，当x＞2时，函数图象为开口方向向上的抛物线，故选：D．【点睛】本题主要考查二次函数图象的性质，熟练根据题意列出函数关系式是解题的关键．13．（2022·辽宁·统考中考真题）如图，在等边三角形ABC中，BC＝4，在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠F＝30°，DE＝4，点B，C，D，E在一条直线上，点C，D重合，△ABC沿射线DE方向运动，当点B与点E重合时停止运动．设△ABC运动的路程为x，△ABC与Rt△DEF重叠部分的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】分三种情形∶①当0＜x≤2时，重叠部分为△CDG，②当2＜x≤4时，重叠部分为四边形AGDC，③当4＜x≤8时，重叠部分为△BEG，分别计算即可．【详解】解：过点A作AM⊥BC，交BC于点M，在等边△ABC中，∠ACB＝60°，在Rt△DEF中，∠F＝30°，∴∠FED＝60°，∴∠ACB＝∠FED，∴ACEF，在等边△ABC中，AM⊥BC，∴BM＝CM＝BC＝2，AM＝BM＝2，∴S△ABC＝BC•AM＝4，①当0＜x≤2时，设AC与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△CDG，由题意可得CD＝x，DG＝x∴S＝CD•DG＝x2；②当2＜x≤4时，设AB与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为四边形AGDC，由题意可得：CD＝x，则BD＝4﹣x，DG＝（4﹣x），∴S＝S△ABC﹣S△BDG＝4﹣×（4﹣x）×（4﹣x），∴S＝﹣x2+4x﹣4＝﹣（x﹣4）2+4，③当4＜x≤8时，设AB与EF交于点G，过点G作GM⊥BC，交BC于点M，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△BEG，由题意可得CD＝x，则CE＝x﹣4，DB＝x﹣4，∴BE＝x﹣（x﹣4）﹣（x﹣4）＝8﹣x，∴BM＝4﹣x在Rt△BGM中，GM＝（4﹣x），∴S＝BE•GM＝（8﹣x）×（4﹣x），∴S＝（x﹣8）2，综上，选项A的图像符合题意，故选：A．【点睛】本题考查了特殊三角形的性质，二次函数的图形等知识，灵活运用所学知识解决问题，利用割补法求多边形的面积是解题的关键．14．（2022·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在中，，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段匀速运动，当点P运动到点B时，停止运动，过点P作交于点Q，将沿直线折叠得到，设动点P的运动时间为t秒，与重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题意易得，，则有，进而可分当点P在AB中点的左侧时和在AB中点的右侧时，然后分类求解即可．【详解】解：∵，∴，由题意知：，∴，由折叠的性质可得：，当点P与AB中点重合时，则有，当点P在AB中点的左侧时，即，∴与重叠部分的面积为；当点P在AB中点的右侧时，即，如图所示：由折叠性质可得：，，∴，∴，∴，∴与重叠部分的面积为；综上所述：能反映与重叠部分的面积S与t之间函数关系的图象只有D选项；故选D．【点睛】本题主要考查二次函数的图象及三角函数，熟练掌握二次函数的图象及三角函数是解题的关键．15．（2022·辽宁本溪·统考三模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2，BD是AC边上的中线，将△BCD沿射线CB方向以每秒个单位长度的速度平移，平移后的三角形记为△B1C1D1，设△B1C1D1与△ABD重叠部分的面积为y，平移运动时间为x，当点C1与点B重合时，△B1C1D1停止运动，则下列图象能反映y与x之间函数关系的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】分类讨论：当时利用平移的性质，构造相似三角形即可求出y值，可解决C、D；当时，利用三角形相似面积比是相似比的平方，可表示出y的函数解析式，利用函数图像的性质，即可解决A、B．【详解】解：如图：在中，，，∴，，∵BD是AC边上的中线，∴，∵△BCD沿射线CB方向平移得到△B1C1D1，速度为每秒个单位长度，∴，，当时，，∵∴，∵，∴，∴是边上的中线，∴，即，，当时，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，

∴，当时，函数图像是开口向上抛物线．可判断A正确，B错误．A、图像是开口向上的抛物线的一部分，故选项正确，符合题意；B、当时，图像是一条线段故选项错误，不符合题意；C、当时，，故选项错误，不符合题意；D、当时，，故选项错误，不符合题意．故选：D．

【点睛】本题考查了相似三角形相似比、三角形面积比是相似比的平方、平移的性质等知识，灵活运用相似三角形的性质和准确的分析图像是解决本题的关键．16．（2022春·九年级课时练习）如图，中，，，，动点P沿折线运动，到点B停止，动点Q沿运动到点C停止，点P运动速度为2cm/s，点Q的运动速度为2.5cm/s，设运动时间为，的面积为S，则S与对应关系的的图象大致是（

）．A． B．C． D．【答案】B【分析】分别求出当时，时和时S关于t的函数解析式，再根据解析式判断函数图象即可．【详解】解：由题意得：AB，当时，点P在AC上，点Q在AB上，则AP＝AC－CP＝4－2t，AQ＝AB－BQ＝5－2.5t，如图，过点Q作QM⊥AC于M，∴sin∠A＝，即，∴，此时，当时，点P在AB上，点Q在AC上，则AP＝2t－4，AQ＝2.5t－5，如图，过点P作PN⊥AC于N，同理可得：，此时，∵二次函数的图象开口向上，对称轴为，∴当时，函数图象为二次函数的图象的一部分，当时，点Q与点C重合，点P在AB上，此时，∴当时，函数图象为直线的一部分，故选：B．【点睛】此题考查了动点问题的函数图象，正确表示出的面积并能够根据函数解析式选择相应的函数图象是解题的关键．17．（2022·辽宁抚顺·统考三模）如图，在矩形ABCD中，AB=2cm，BC=4cm，E是AD的中点，连接BE，CE．点P从点B出发，以cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BE-EC方向运动到点C停止，若△BPQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】先利用勾股定理计算出与的长，以及、运动到终点所用的时间，将整个运动过程分为两段，分别计算与时的表达式，进而分析其函数图象．【详解】解：是的中点，，在中，，同理，．．①当时，点在上，点在上，，（如图①所示），由三角形高相同可得：，函数的图象是一条开口向上的抛物线，故排除AC；②当时，点与点重合，点在上，（如图2所示），，函数的图象是一条直线，排除B．故选：D．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据动点和的位置不同确定三角形面积的表达式不同，解决本题的关键是分类讨论思想的运用，以及函数关系式的建立．18．（2022·河南周口·统考二模）如图，中，，点为边上一个不与、重合的一个动点，过点作与点，作的中线，当点从点出发匀速运动到点时，设的面积为，，与的函数图象如图2所示，则的面积为（

）A． B． C．19 D．18【答案】A【分析】分析可知当，此时，动点D运动到点C，此时，求出，，利用，求出，进一步求出AB，再利用即可求出结果．【详解】解：由题意可知：当，此时，动点D运动到点C，此时，设，∵，∴，∵，∴，即：，∴，，∵，∴，∴，∴．故选：A．【点睛】本题考查动点问题、勾股定理、正切值、二次函数，解题的关键是结合函数图象找出AB，DE的长．19．（2022·安徽合肥·统考二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，点E是CD的中点，射线AE与BC的延长线相交于点F，点M从A出发，沿A→B→F的路线匀速运动到点F停止．过点M作MN⊥AF于点N．设AN的长为x，△AMN的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关系的图象是（

）A．B．C． D．【答案】B【分析】先根据矩形的性质、三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再求出当点与点重合时，，然后分①和②两种情况，分别解直角三角形求出的长，最后利用三角形的面积公式可得与的函数关系式，根据二次函数的图象即可得．【详解】解：在矩形中，，，点是的中点，，在和中，，，，，，，，如图，当点与点重合时，，，，①如图，当点在边上，即时，在中，，在中，，，解得，则此时；②如图，当点在上，即时，在中，，在中，，，解得，则此时；综上，，观察四个选项可知，只有选项B符合，故选：B．【点睛】本题考查了矩形的性质、解直角三角形的应用、二次函数的图象等知识点，正确分两种情况讨论，并熟练掌握二次函数的图象特征是解题关键．20．（2022·安徽芜湖·芜湖市第二十九中学校考二模）如图，中，AB=4，BC=8，∠A=60°，动点P沿A-B-C-D匀速运动，运动过速度为2cm/s，同时动点Q从点A向点D匀速运动，运动速度为1cm/s，点Q到点D时两点同时停止运动．设点Q走过的路程为x(s)，的面积为y(cm²)，能大致刻画y与x的函数关系的图象是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】求出当0≤x≤2时，，是一段开口向上的抛物线，从而可得出答案．【详解】解：当0≤x≤2时，，∴0≤x≤2时，y随着x的增大而增大，函数图象的开口向上，是抛物线的一部分，故选项A，C、D错误．故选：B．【点睛】本题考查动点问题的函数图象及二次函数的图象及性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．21．如图，正方形的边长为4，中，和在一条直线上，当从点G和点B重合时开始向右平移，直到点F与点C重合时停止运动，设平移的距离为x，与正方形重叠部分的面积为y，则下列图象中能大致反映y与x的函数关系的图象是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】分，，，，五种情况，求出重叠部分的面积y与x之间的函数关系式，判断即可．【详解】∵△EFG中EF=EG=，FG=2，过点E作EM⊥FG于点M，则，∴FG上的高；∵四边形ABCD为正方形，BC和FG在一条直线上，∴中△EFG移动过程中，（1）当时，EG与AB交于点H，如图所示：此时，∵，∴，即，∴，∴，即，此时的函数图象为开口向上的抛物线，且当时，；（2）当时，EF与AB交于点H，如图所示：此时，∵，∴，即，∴，∴，∴，∴，此时函数图象为开口向下的抛物线，且当时，；（3）当时，△EFG在正方形的内部，∴重叠部分的面积为△EFG的面积，此时函数图象为平行x轴的一条线段；（4）当时，EG与CD交于点H，如图所示：此时，∵，∴，即，∴，∴，∴，∴，此时函数图象为开口向下的抛物线，且当时，；（5）当时，EF与CD交于点H，如图所示：此时，∵，∴，即，∴，∴，∴，此时函数图象为开口向上的抛物线，且当时，；综上分析可知，四个选项中B选项符合题意．故选：B．【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想分类讨论进行解答．22．（2022·新疆昌吉·统考一模）如图所示，P是菱形的对角线上一动点，过点P作垂直于的直线交菱形的边于M点，于N点．设，，，的面积为y，则y关于x的函数图像的大致形状是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】△AMN的面积＝AP×MN，通过题干已知条件，用x分别表示出AP、MN，根据所得的函数，利用其图象，可分两种情况解答：（1）0＜x≤1；（2）1＜x＜2；【详解】解：当0＜x≤1时，如图1，∵四边形ABCD是菱形，AC＝2，BD＝1，∴AC与BD互相垂直平分；∴AO＝AC＝1，∵MN⊥AC，BD⊥AC∴MNBD；∴∠ANM＝∠ADB，∠AMN＝∠ABD∴△AMN∽△ABD，∴，即，∴MN＝x；∴y＝AP×MN＝x2（0＜x≤1），∵＞0，∴函数图象开口向上；当0＜x≤1时，y随x的增大而增大，当x＝1时，y取最大值；当1＜x＜2，如图2，与（1）同理可证得，△CDB∽△CNM，，即，∴MN＝2﹣x；∴y＝AP×MN＝x×（2﹣x），即y＝﹣x2+x；∵﹣＜0，∴函数图象开口向下；综上，选项C的图象大致符合；故选：C【点睛】本题考查了二次函数的图象，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力，体现了分类讨论的思想．考法三：图形综合问题23．（2022·江苏南通·统考二模）如图1，中，，．点P从点A出发，沿边AB向点B运动．过点P作，垂足为P，PQ交的边于点Q，设，的面积为y．y与x之间的函数关系大致如图2所示，则当时，y的值为（

）A．3 B．2 C． D．【答案】C【分析】根据图像可知，在中，由三角函数及勾股定理可计算，，当Q与点C重合时，借助以及可计算出此时，．当点Q在AC段时，借助三角函数可知，由三角形面积公式可知，即（）；当点Q在BC段时，借助三角函数计算，故，即．由两段函数解析式的自变量取值范围可知，当时，点Q在BC段，借助函数解析式可解得．【详解】解：由图像可知，，在中，，∴，可设，，根据勾股定理可知，即，解得或（不合题意，舍去），∴，．当点Q与点C重合时，可有，即，解得，此时由，可解得，当点Q在AC段时，由，可知，∴，即有（），当点Q在BC段时，如下图所示，，∵，∴，∴，即，∴，∴，即，∴当时，可知．故选：C．【点睛】本题主要考查了利用三角函数解直角三角形、勾股定理、二次函数的综合问题等知识，解题关键是弄清图形中各线段的关系，分段求出函数解析式及自变量的取值范围．24．（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）【生活情境】为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图②，以下简称水池2）．【建立模型】如果设水池的边加长长度为，加长后水池1的总面积为，则关于的函数解析式为：；设水池2的边的长为，面积为，则关于的函数解析式为：，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③．【问题解决】(1)若水池2的面积随长度的增加而减小，则长度的取值范围是_________（可省略单位），水池2面积的最大值是_________；(2)在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是_________，此时的值是_________；(3)当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是_________；(4)在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时的值；(5)假设水池的边的长度为，其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积关于的函数解析式为：．若水池3与水池2的面积相等时，有唯一值，求的值．【答案】(1)；9(2)C，E；1，4；(3)或(4)(5)【分析】（1）将函数解析式化为顶点式即可解决问题；（2）交点即为面积相等的点，联立方程组，求出交点坐标即可；（3）观察函数图象，结合点C，点E的坐标可得结论；（4）求出面积差的函数关系式，根据二次函数的性质求解即可；（5）根据面积相等列出一元二次方程，依据，求出b的值即可．（1）∵∴抛物线的顶点坐标为（3，9），对称轴为x=3，∵水池2的面积随长度的增加而减小，∴长度的取值范围是；水池2面积的最大值是9；故答案为：；9；（2）由图象得，两函数交于点C，E，所以，表示两个水池面积相等的点是C，E；联立方程组解得，∴x的值为1或4，故答案为：C，E；1或4（3）由（2）知，C（1，5），E（4，8），又直线在抛物线上方时，或，所以，水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是或，故答案为或；（4）在范围内，两个水池面积差，∵∴函数有最大值，∵∴当时，函数有最大值，为即，当时，面积差的最大值为（5）∵水池3与水池2的面积相等，∴，整理得，∵有唯一值，∴解得，【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质是解答本题的关键．25．已知：如图，在中，，，，为边上的高，点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为．解答下列问题：(1)当t为何值时，；(2)当中点在上时，求t的值；(3)设四边形的面积为，求S与t的函数关系式，并求S最小值．【答案】(1)；(2)；(3)，S的最小值为．【分析】（1）由，知，根据得，据此列式求解即可；（2）证得，据此求得，作作交于E，证得，再证，根据相似三角形的性质列比例式求解即可；（3）过点Q作于点G，证得，据此求得，然后根据可得函数解析式，继而配方可得其最小值．【详解】（1）解：如图1，由题意知，，则，∵，∴，即，解得，即时，；（2）解：如图2，∵，，∴，∴，即，解得，∵，∴，作交于E，则，，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，解得；（3）解：如图3，过点Q作于点G，则，∵，∴，∴，∵，∴，解得，∴，∵，∴当时，S取得最小值，最小值为，∴S与t的函数关系式为：，S的最小值为．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的应用等知识，解题的关键是掌握相似三角形和全等三角形的判定与性质及二次函数最值的求法．26．（2022·宁夏吴忠·校考一模）已知：如图，在中，，，，点从点出发，沿向点匀速运动，速度为；过点作，交于点，同时，点从点出发，沿向点匀速运动，速度为；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接．设运动时间为，解答下列问题：(1)当t为何值时，四边形为平行四边形？(2)设四边形的面积为y（cm2），试确定y与t的函数关系式；(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，请说明理由，若存在，求出t的值．【答案】(1)(2)(3)存在，2【分析】（1）根据勾股定理求出，根据平行四边形的性质得到，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；（2）过点作，证明，根据相似三角形的性质求出、，根据梯形的面积公式计算即可；（3）根据题意列出一元二次方程，解方程求出，根据相似三角形的性质、勾股定理计算即可．【详解】（1）解：，，，，，当时，四边形是平行四边形，，即，解得，，答：当时，四边形为平行四边形；（2）解：过点作，垂足为，，，，，即，解得，，，，，，，即，解得，，；（3）解：若存在某一时刻，使，则，，解得，（舍去），，则为时，．【点睛】本题考查的是平行四边形的判定、相似三角形的判定和性质、二次函数解析式的确定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理和性质定理．27．（2022·宁夏银川·银川唐徕回民中学校考三模）如图，在中，，边上的高，，分别是边，上的两个动点（点不与点、重合），与交于点，且，以为边，在点的下方做正方形．(1)当正方形的边在上时，求正方形的边长．(2)设，与正方形重叠部分的面积为，则当为何值时，有最大值，最大值是多少？【答案】(1)正方形的边长为；(2)当时，y有最大值为15．【分析】（1）由相似三角形的对应边成比例，可得，又由正方形的各边都相等，即可求得的长，即正方形的边长；（2）①由正方形在的内部，可得与正方形重叠部分的面积为正方形的面积，根据正方形面积的求解方法，易得，s根据二次函数的性质求得此时y的最大值；②当正方形的一部分在的外部时，由，根据相似三角形对应边成比例，可得，根据二次函数的性质求得此时二次函数的最大值；比较后即可求得y的最大值．【详解】（1）解：当正方形的边在上时，则，∵，∴，∵，∴，∴，解之得，∴当正方形的边在上时，正方形的边长为；（2）解：①当正方形在的内部时，与正方形重叠部分的面积为正方形的面积，∵，∴，∵，∴在对称轴的右侧，函数y的值随x的增大而增大，∴当时，y取最大值为；②当正方形的一部分在的外部时，∵，∴，而，∴，解得．所以，即，∵，且，∴当时，y有最大值为15，∵，∴与正方形重叠部分的面积的最大值为15．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质与二次函数的性质．此题综合性很强，解题时要仔细分析．28．（2022·四川绵阳·统考中考真题）如图，平行四边形ABCD中，DB＝，AB＝4，AD＝2，动点E，F同时从A点出发，点E沿着A→D→B的路线匀速运动，点F沿着A→B→D的路线匀速运动，当点E，F相遇时停止运动．(1)如图1，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为4个单位每秒，当运动时间为秒时，设CE与DF交于点P，求线段EP与CP长度的比值；(2)如图2，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为个单位每秒，运动时间为x秒，ΔAEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并指出当x为何值时，y的值最大，最大值为多少？(3)如图3，H在线段AB上且AH＝HB，M为DF的中点，当点E、F分别在线段AD、AB上运动时，探究点E、F在什么位置能使EM＝HM．并说明理由．【答案】(1)；(2)y关于x的函数解析式为；当时，y的最大值为；(3)当EF∥BD时，能使EM＝HM．理由见解析【分析】（1）延长DF交CB的延长线于点G，先证得，可得，根据题意可得AF=，AE=，可得到CG=3，再证明△PDE∽△PGC，即可求解；（2）分三种情况讨论：当0≤x≤2时，E点在AD上，F点在AB上；当时，E点在BD上，F点在AB上；当时，点E、F均在BD上，即可求解；（3）当EF∥BD时，能使EM＝HM．理由：连接DH，根据直角三角形的性质，即可求解．（1）解：如图，延长DF交CB的延长线于点G，∵四边形ABCD是平行四边形，∴，∴，∴，∵点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为4个单位每秒，运动时间为秒，∴AF=，AE=，∵AB=4，AD=2，∴BF=，ED=，∴，∴BG=1，∴CG=3，∵，∴△PDE∽△PGC，∴，∴；（2）解：根据题意得：当0≤x≤2时，E点在AD上，F点在AB上，此时AE=x，，∵，AB=4，AD=2，∴，∴△ABD是直角三角形，∵，∴∠ABD=30°，∴∠A=60°，如图，过点E作交于H，∴，∴；∴当x＞0时，y随x的增大而增大，此时当x=2时，y有最大值3；当时，E点在BD上，F点在AB上，如图，过点E作交于N，过点D作交于M，则EN∥DM，根据题意得：DE=x-2，∴，在Rt△ABD中，，AM=1，∵EN∥DM，∴△BEN∽△BDM，∴，∴∴，∴，此时该函数图象的对称轴为直线，∴当时，y随x的增大而增大，此时当时，y有最大值；当时，点E、F均在BD上，过点E作交于Q，过点F作交于P，过点D作DM⊥AB于点M，∴，DA+DE=x，∵AB=4，AD=2，∴，，∵PF∥DM，∴△BFP∽△BDM，∴，即，∴，∵，∴△BEQ∽△BDM，∴，即，∴，∴，此时y随x的增大而减小，此时当时，y有最大值；综上所述：y关于x的函数解析式为当时，y最大值为；（3）解：当EF∥BD时，能使EM＝HM．理由如下：连接DH，如图，∵，AB=4，∴．AH=1，由（2）得：此时，∵M是DF的中点，∴HM=DM=MF，∵EF∥BD，BD⊥AD，∴EF⊥AD，∴EM=DM=FM，∴EM=HM．【点睛】本题是四边形的综合题，熟练掌握平行四边形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，分类讨论，数形结合是解题的关键．29．（2020·吉林长春·统考二模）如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，AB=5cm，BC=3cm．动点E从B出发沿线段BA方向以每秒1cm的速度向终点A运动．过点E作ED⊥BA交射线BC于点D，以DE和DC为邻边作平行四边形EDCF，过点D作DHCA，交射线BA于点H，过点H作HG⊥CA，交射线CA于点H．设点E的运动时间为t（秒）．(1)直接写出CD的长度（用含t的代数式表示）．(2)当点F落在DH上时，求t的值．(3)求平行四边形EDCF与矩形CDHG重合图形部分的面积S与时间t之间的函数解析式．(4)若DH将平行四边形EDCF分成两部分的面积之比为k，当0＜k≤时，请直接写出t的取值范围．【答案】(1)，(2)(3)当＜t≤时，；当＜t＜且t≠时，(4)＜t≤，≤t＜【分析】（1）由三角函数的知识求出与即可，注意点可能在线段上，也可能是在线段的延长线上．（2）画出图形，可用表示出的长度，结合和的比例关系求解．（3）根据运动过程，画出所有可能的球框，在分析每种情况下阴影部分面积的组成，选择割补法和直接三角形面积的方法计算即可．（4）根据题目条件得出当时，一定过的中点或者的中点，结合图形和线段长度，列方程求解．(1)解：（1），由题意可得：．，①当时，．②当时，．(2)由题意可知，当落在时，点在线段上，如图所示：，．．，解得：，符合题意．(3)当时，取与的交点为，则重合部分的面积．．．．当时，去与的交点为，此时，当时，同上可得：．综上：当时，．当且时，．(4)由题意可知，点在线段上．当与相交时，若，则可得，即，解得：．当与相交时，若，则可得，即，解得．的取值范围是：或【点睛】本题属于难题，正确分析运动过程，熟练运用相似三角形和三角函数的性质是解题的关键．30．已知，如图，在中，，，．将与重合在一起，让在边BC上以每秒1个单位长度的速度从B向C运动（不含端点），且在运动过程中满足：DE始终经过点A，EF与AC交于点G．解决下列问题：(1)求证：；(2)当运动几秒时，为等腰三角形；(3)当线段AG最短时，求的面积．【答案】(1)见解析(2)2或秒(3)【分析】（1）根据三角形的外角的性质得到∠CEG=∠BAE，根据相似三角形的判定定理证明即可；（2）首先由∠AEF=∠B=∠C，且∠AGE＞∠C，可得AE≠AG，然后分别从AE=EG与AG=EG去分析，注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案；（3）设BE=x，AP=y，根据△ABE∽△ECG得到比例式，求出y关于x的二次函数解析式，根据二次函数的性质解答即可．（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠DEF=∠ABC，∴∠DEF+∠CEG=∠AEC=∠ABC+∠BAE，∴∠CEP=∠BAE，又∠B=∠C，∴△ABE∽△ECG；（2）∵∠DEF=∠B=∠C，且∠AGE＞∠C，∴∠AGE＞∠DEF，∴AE≠AG；当AE=EG时，则△ABE≌△ECG，∴CE=AB=6，∴BE=BC-EC=8-6=2；当AG=EG时，则∠GAE=∠GEA，∴∠GAE+∠BAE=∠GEA+∠CEG，即∠CAB=∠CEA，又∵∠C=∠C，∴△CAE∽△CBA，∴，∴，∴；∴BE=2或．故当∠DEF运动2或秒时，△AEG为等腰三角形；（3）设BE=x，AG=y，由（1）得△ABE∽△ECG，∴，∵CG=AC-AG=6-y，EC=BC-BE=8-x，∴，即，∴当x=4时，y有最小值为，∴当BE为4时，AG有最小值是，∵BE=4，BC=8，∴点E是BC的中点，∴AE⊥BC，∵△ABE∽△ECG，∴EG⊥AC，∴，∴△AEG的面积=．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及二次函数的性质，掌握相似三角形的性质定理和判定定理、根据相似三角形的性质得到二次函数的解析式、根据二次函数的性质求出函数的最值是解题的关键．31．（2022·天津滨海新·统考二模）在平面直角坐标系中，为等边三角形，点在第二象限，点在轴负半轴上，为直角三角形，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，，，．(1)如图①，求点的坐标；(2)将沿轴向右平移，得到，点，，的对应点分别为，，，设，与重叠部分的面积为．①如图②，当与重叠的部分为四边形时，与相交于点，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围；②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）．【答案】(1)(2)①，；②【分析】（1）根据Rt中，，，得到，根据，得到，过点作于点，根据为等边三角形，得到，，得到，得到点D的坐标为；（2）①过点E作于点M，根据为等边三角形，得到，得到，得到，根据，得到，得到，得到，根据，得到，；②分和时，分类讨论，分别计算面积，求出最大值和最小值比较即可．(1)解：如图①，在Rt中，，，∴，∴，过点D作于点，∵为等边三角形，∴，，∴，∴点D的坐标；(2)①如图②，过点E作于点M，∵为等边三角形，∴，∴，∵，∴，∴，

∵，∴，在Rt中，，，∴．∴，∴，∴，在平移过程中，线段经过A点之后，到线段经过A点之前，重叠部分为四边形，当线段经过A点时，,当线段经过A点时，，，∴，；②∵，且，当时，，时，取得最大值，为，∴当时，取得最小值，，当时，设与AO交于点G，与AB交于点H，∵，，∴，∴,∴，∴，，∴对称轴为，开口向下当时取得最大值为，当时取得最小值为，∵，∴，∴当，时，S的取值范围是．【点睛】本题主要考查了等边三角形，平移，含30°角的直角三角形，特殊角的三角函数值，解决问题的关键是熟练掌握等边三角形的性质，平移的性质，含30°角的直角三角形的边的性质，深刻理解并熟记特殊角的三角函数值．32．如图，在矩形ABCD中，BC＞CD，BC、CD分别是一元二次方程x2－7x＋12＝0的两个根，连接BD，并过点C作CN⊥BD，垂足为N，点P从B出发，以每秒1个单位的速度沿BD方向匀速运动到D为止；点M沿线段DA以每秒1个单位的速度由点D向点A匀速运动，到点A为止，点P与点M同时出发，设运动时间为t秒（t＞0）．(1)求线段CN的长；(2)在整个运动过程中，当t为何值时△PMN的面积取得最大值，最大值是多少？【答案】(1)(2)当时，【分析】（1）首先解一元二次方程得到BC=4，CD=2，然后利用等积法求出CN；（2）分0＜t≤和＜t≤4两种情况列出函数解析式，利用二次函数的性质求出最大值．（1）解：解得，∵∴，∵四边形ABCD是矩形，，∴∴∴；（2）由题可知，①当时，过点M作MH⊥BD，垂足为H设△PMN的面积为S则∵∴