专题08 相似模型之梅涅劳斯（定理）模型与塞瓦（定理）模型（解析版）

专题08相似模型之梅涅劳斯（定理）模型与塞瓦（定理）模型梅内劳斯（Menelaus，公元98年左右），是希腊数学家兼天文学家，梅涅劳斯定理是平面几何中的一个重要定理。梅涅劳斯（定理）模型：如图1，如果一条直线与的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么．这条直线叫的梅氏线，叫梅氏三角形．梅涅劳斯定理的逆定理：如图1，若F、D、E分别是的三边AB、BC、CA或其延长线的三点，如果，则F、D、E三点共线．图1图2塞瓦（G·Gevo1647-1734）是意大利数学家兼水利工程师．他在1678年发表了一个著名的定理，后世以他的名字来命名，叫做塞瓦定理。塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在△ABC内任取一点G，延长AG、BG、CG分别交对边于D、E、F，如图2，则。注意：①梅涅劳斯（定理）与塞瓦（定理）区别是塞瓦定理的特征是三线共点，而梅涅劳斯定理的特征是三点共线；②我们用梅涅劳斯（定理）与塞瓦（定理）解决的大部分问题，也添加辅助线后用平行线分线段成比例和相似来解决。例1.已知中，D是BC的中点，经过D的直线交AB于E，交CA的延长线于F，求证:【解析】直线截三边于D、E、F三点，应用梅氏定理知：，又∵D是BC的中点，∴BD=DC，∴，即。【点睛】这道题也是梅氏定理的直接应用，但是对于梅氏定理的应用的难点，在于找梅氏线．例2.如图，在中，D为BC的中点，．求．【解析】∵HFC是的梅氏线，∴，∵D为BC的中点，，∴，．∴，∴．∵GEC是的梅氏线，∴，∴，∴．∴．∴．【点睛】这道题主要考查多个梅氏定理的应用，考查相对综合．例3.如图所示，内三个三角形面积分别5，8，10，四边形AEFD的面积为x，求x的值．【解析】有题意知：，，对和截线，由梅氏定理得：，即，∴解得：x=22．【点睛】这道题主要考查梅氏定理和面积问题．例4.已知AD是的高，点D在线段BC上，且，，作于点E，于点F，连接EF并延长，交BC的延长线于点G，求CG．【解析】如图，设，EFG是的梅氏线．则由梅涅劳斯定理．显然的，，于是，得．【点睛】这道题主要考查梅内劳斯定理和射影模型的综合．例5.如图，CD、BE、AF分别为（不是等边三角形）的三个外角平分线，分别交AB、AC、BC于D、E、F．证明：D、E、F三点共线．【解析】过C作BE的平行线，则，所以是等腰三角形．则．则有：．同理；．所以．所以D、E、F共线．【点睛】这道题主要是考查梅氏定理逆定理判定三点共线．例6．（2022上·江苏镇江·九年级统考期末）梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与△ABC的三边AB，BC，CA或它们的延长线交于F、D、E三点，那么一定有．下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：证明：如图（2），过点A作，交DF的延长线于点G，则有，，∴．请用上述定理的证明方法解决以下问题：(1)如图（3），△ABC三边CB，AB，AC的延长线分别交直线l于X，Y，Z三点，证明：．(2)如图（4），等边△ABC的边长为2，点D为BC的中点，点F在AB上，且，CF与AD交于点E，则AE的长为________．(3)如图（5），△ABC的面积为2，F为AB中点，延长BC至D，使，连接FD交AC于E，则四边形BCEF的面积为________．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）如图，过点作，交的延长线于点，可知△YBX∽△YAE，△ZCX∽△ZAE，可得，代入进而可证成立；（2）如图，过点A作AG∥BC，交CF的延长线于点G，由题意可知，，代入求值即可；（3）如图5，分别过作，由题意可知，，，有，，对计算求值即可．【详解】（1）证明：如图，过点作，交的延长线于点∴故可知△YBX∽△YAE，△ZCX∽△ZAE∴∵∴．（2）解：如图，过点A作AG∥BC，交CF的延长线于点G∴由题意可知∵D是BC的中点，为等边三角形∴，在中∵∴解得故答案为：．（3）解：如图5，分别过作∵图5同图1，故可知∵F为AB中点，CD=BC，∴∵∴∴∴∵∴四边形BCEF的面积为故答案为：．【点睛】本题考查了三角形相似，等边三角形的性质，勾股定理等知识．解题的关键在于证明三角形相似．例7．如图：P，Q，R分别是△ABC的BC，CA，AB边上的点．若AP，BQ，CR相交于一点M，求证：．证明：如图，由三角形面积的性质，有，，．以上三式相乘，得．例8.如图，设M为△ABC内的一点，BM与AC交于点E，CM与AB交于点F，若AM通过BC的中点，求证：EF//BC。【详解】证明：在中，∵点D为边BC的中点，∴．对△ABC和点M应用赛瓦定理可得：．∴，∴．即EF//BC；点评：本题考查了赛瓦定理，要熟练掌握定理的内容，是解此题的关键．例9.如图，四边形ABCD的对边AB和CD，AD、BC分别相交于L、K，对角线AC与BD交于点M，直线KL与BD，AC分别交于F、G，求证：.对△DKL和点B应用赛瓦定理可得：．①对和截线，由梅氏定理得：②由①②得：点评：本题考查了赛瓦定理，要熟练掌握定理的内容，是解此题的关键．例10．（2023·山西阳泉·九年级统考期中）请阅读下列材料，并完成相应任务．塞瓦定理：塞瓦定理载于年发表的《直线论》，是意大利数学家塞瓦的重大发现．如图，塞瓦定理是指在内任取一点，延长分别交对边于，则．

任务：（1）当点分别为边的中点时，求证：点为的中点；（2）若为等边三角形，，点是边的中点，求的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）当点分别为边的中点时，会得到，根据塞瓦定理得，所以，从而得到点为的中点；（2）由△ABC是等边三角形可得，根据题意可得BD，DC，CE，EA的长及AF=12-BF，根据塞瓦定理即可得出BF的长.【详解】证明：分别为边的中点，由塞瓦定理，得点为的中点解：为等边三角形，点是的中点由赛瓦定理，得故答案为（1）见解析；（2）【点睛】本题考查了塞瓦定理的应用.解题的关键是理解塞瓦定理，将对应的线段长度代入计算即可.课后专项训练1．如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，AD与BE相交于点G，若AG：GD＝4：1，BD：DC＝2：3，则AE：EC的值是（）A． B． C． D．解：法1：对和截线，由梅氏定理得：，∵AG：GD＝4：1，BD：DC＝2：3，∴，∴，∴，故选B.法2：过D作DH∥AC交BE于H，∴△DHG∽△AEG，△BDH∽△CBE，∴，，∴AE＝4DH，CE＝DH，∴，故选：B．2．（河南2022-2023学年八年级期末）如图，在中，，，，垂足为，为的中点，与交于点，则的长为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】连结DE，先由等腰三角形的性质得到，再由直角三角形斜边上的中线的性质得到，然后证出DE是△ABC的中位线，得到，，则，即可解决问题．【详解】解：连结DE，如图所示，在Rt△ABC中，，，∴，∵，∴，∴，∵为的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴，，∴，∴，∴，∵，∴．故选：D【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中心性质，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理等知识．熟练掌握中位线定理，证明三角形相似是解题的关键．3．（2023上·上海闵行·九年级校考期中）如图，、、内分正的三边、、均为两部分，、、相交成的的面积是的面积的（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】如图，过作交于设等边三角形的边长为：结合题意可得：证明证明设等边三角形的面积为：可得从而可得答案.【详解】解：如图，过作交于设等边三角形的边长为：结合题意可得：同理：设等边三角形的面积为：，的面积是的面积的故选D【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积问题，掌握“作出适当的辅助线构建相似三角形”是解题的关键.4．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD边上一点．射线CF交AB于点E，且，则等于．解：法1：对和截线，由梅氏定理得：，∵AD是BC边上的中线，∴，∵，∴，∴，∴法2：如图：过点D作DG∥EC交AB于G，∵AD是BC边上的中线，∴GD是△BEC的中位线，∴BD＝CD，BG＝GE．∵＝，∴＝∵DG∥EC，∴＝＝．故答案是：．5．（2023年山西省实验中学中考考前适应性训练数学试题）如图，在中，，，．是边上的中线．将沿方向平移得到．与相交于点，连接并延长，与边相交于点．当点为的中点时，的长为．【答案】/【分析】则E为的中点，得为的中点，证明，推出，在中，利用勾股定理求得，再根据相似比即可求解．【详解】解：∵由平移的性质得，，∴E为的中点，，∴，∴为的中点，∵D是边上的中点，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，在中，，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平移的性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．6．（山西省2021年中考数学真题）如图，在中，点是边上的一点，且，连接并取的中点，连接，若，且，则的长为．【答案】．【分析】延长BE交AC于点F，过D点作，由可得此时为等腰直角三角形，E为CD的中点且，则，在等腰中，根据勾股定理求得，长度，由可得,即，由，可得，即，,求得，．【详解】如下图，延长BE交AC于点F，过D点作，∵，，∴，，为等腰．由题意可得E为CD的中点，且，∴，在等腰中，，，又∵，在，∴（AAS）∴，∵，，∴，∴，∴，，．故答案为：．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理求对应边的长度，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，构造合适的相似三角形，综合运用以上性质是解题的关键．7．（2022年山西省太原市九年级下学期一模数学试题）如图，为的直径，C为上一点，的切线交的延长线于点D，E为的中点，交的延长线于点F．若，，则的长为．【答案】/【分析】连接OC，BC，根据为的直径，可得∠ACB=∠BCD=90°，再由E为的中点，可得CE=BE=DE，从而得到∠BCE=∠CBE，然后根据切线的性质可得∠ABD=90°，再由OC=OB，可得∠OCF=90°，然后根据，可得△OBC是等边三角形，进而得到∠A=30°，∠CBD=30°，最后根据锐角三角函数，即可求解．【详解】解：如图，连接OC，BC，∵为的直径，∴∠ACB=∠BCD=90°，∵E为的中点，∴CE=BE=DE，∴∠BCE=∠CBE，∵是的切线，∴∠ABD=90°，即∠CBD+∠OBC=90°，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠OCB+∠BCE=∠OBC+∠CBD=90°，即∠OCF=90°，∵，∴BC=OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴∠BOC=∠OBC=60°，∴∠A=30°，∠CBD=30°，∵，∴，∴，故答案为：【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、直角三角形的性质、解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键．8．（2023·江西景德镇·九年级校考期末）如图，三边，，的延长线分别交直线于，，三点，证明：．（即证明梅涅劳斯定理的其中一种形式）【答案】见解析【分析】连接CY、AX，设A到XZ的距离为h1，C到XZ的距离为h2，再根据“两个三角形等高时面积之比等于底边之比”的性质，分别列出、、，再计算即可.【详解】证明：如图，连接CY、AX设A到XZ的距离为h1，C到XZ的距离为h2∴∴【点睛】本题考查了三角形的面积计算，作出辅助线，通过面积写出线段比是解题关键.9．（2023上·山西临汾·九年级统考期末）梅涅劳斯定理梅涅劳斯（）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与的三边AB，BC，CA或它们的延长线交于F、D、E三点，那么一定有．下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：证明：如图（2），过点A作，交DF的延长线于点G，则有．任务：（1）请你将上述材料中的剩余的证明过程补充完整；（2）如图（3），在中，，，点D为BC的中点，点F在AB上，且，CF与AD交于点E，则________．【答案】（1）见解析；（2）6【分析】（1）由题意可得，然后根据比例的性质可进行求证；（2）由（1）可得，进而由题意易得，，然后可得，则由勾股定理可得，最后问题可求解．【详解】解：（1）补充的证明过程如下：，，；（2）根据梅涅劳斯定理得，∵点D为BC的中点，，，，，∵，，∴AD⊥BC，BD=5，∴在中，，．故答案为6．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．10．（2023·山西·校联考模拟预测）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．塞瓦（GiovanniCeva，1648～1734）意大利水利工程师，数学家，塞瓦定理载于1678年发表的《直线论》一书，塞瓦定理是指如图1，在△ABC内任取一点O，延长AO，BO，CO分别交对边于D，F，E，则．下面是该定理的部分证明过程：如图2，过点A作BC的平行线分别交BE，CF的延长线于点M，N．则∠N＝∠FCB，∠NAF＝∠FBC．∴△NAF∽△CBF．∴①．同理可得△NOA∽△COD．∴②．任务一：(1)请分别写出与△MOA，△MEA相似的三角形；(2)写出由（1）得到的比例线段；任务二：结合①②和（2），完成该定理的证明；任务三：如图3，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，CD⊥AB，垂足为D，点E为DC的中点，连接AE并延长，交BC于点F，连接BE并延长，交AC于点G．小明同学自学了上面定理之后解决了如图3所示的问题，并且他用所学知识已经求出了BF与FC的比是25：16，请你直接写出△ECG与△EAG面积的比．【答案】(1)△MOA∽△BOD；△MEA∽△BEC；(2)；．任务二：证明见解析；任务三：．【分析】任务一：可直接通过“8”字型相似得出答案；任务二：通过相似之间的对应边比例转换得出结论；任务三：由任务一和任务二得出1，可得出的值，再由△ECG和△EAG为同高，故面积比就等于底边CG和GA之比．【详解】（1）解：任务一：∵MN//BC∴△MOA∽△BOD；△MEA∽△BEC；（2）；任务二：证明：如图所示：由任务一可得：；同理可得△OAN∽△ODC；△AFN∽△BFC；∴；∴；∴．任务三：由任务一和任务二可得：在△ABC中，1；∵Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∴AB；∴cos∠BAC；∴；∴AD；∴BD＝AB﹣AD；∵1；∴1；解得；过点E作EH⊥AC于H；∴【点睛】本题主要是根据“8”字型的相似得出对应的边之比，任务二的重难点在于各边比例之间的转换，任务三中两个三角形同高，故面积比等于底边比；本题属于中等偏.上类题．11．（重庆2022-2023学年八年级月考）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是线段BC上一动点（不与点B、C重合），连接AD，延长BC至点E，使得CE＝CD，过点E作EF⊥AD于点F，再延长EF交AB于点M．（1）若D为BC的中点，AB＝4，求AD的长；（2）求证：BM＝CD．【答案】（1）；（2）详见解析．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到AC＝BC＝2，根据勾股定理即可得到结论；（2）过M作MH⊥BC于H，连接AE，根据线段垂直平分线的性质得到AE＝AD，求得∠EAC＝∠DAC，根据余角的性质得到∠AME＝∠EAM，根据全等三角形的性质得到CD＝MH，于是得到结论．【详解】（1）∵在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC