专题08 圆中的最值模型之瓜豆原理（曲线轨迹）（原卷版）

专题08圆中的最值模型之瓜豆原理（曲线轨迹）动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。【模型解读】模型1、运动轨迹为圆弧模型1-1.如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。模型1-2.如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。模型1-3.定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中）如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。模型1-4.定边对定角（或直角）模型1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧．如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。【模型原理】动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。例1．（2023.江苏九年级期中）如图，中，于点是半径为2的上一动点，连结，若是的中点，连结，则长的最大值为（）A．3 B． C．4 D．例2.（2023.广西九年级期中）如图，，点O在线段上，，的半径为1，点P是上一动点，以为一边作等边，则的最小值为_____．例3．（2023·山东·九年级专题练习）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=12，以D为圆心，4为半径作⊙D，E为⊙D上一动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，使∠EAF=90°，tan∠AEF=，则点F与点C的最小距离为________．例4．（2022·广西贵港·三模）如图，在△ABC中，，，，点D在AC边上，且，动点P在BC边上，将△PDC沿直线PD翻折，点C的对应点为E，则△AEB面积的最小值是（

）A． B． C．2 D．例5．（2021·山东威海·中考真题）如图，在正方形ABCD中，，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和AF交于点G，连接BG．若，则BG的最小值为__________________．例6．（2022秋·江苏南通·九年级校考阶段练习）如图，已知正方形的边长为2，若动点E满足，则线段长的最大值为．课后专项训练1．（2022·山东济南·一模）正方形ABCD中，AB=4，点E、F分别是CD、BC边上的动点，且始终满足DE=CF，DF、AE相交于点G.以AG为斜边在AG下方作等腰直角△AHG使得∠AHG=90°，连接BH．则BH的最小值为（

）A． B． C． D．2．（2023·广东汕头·校考一模）如图，的直径，点C为中点，弦经过点C，且．点F为上一动点，连接．于点G．若，在点F运动过程中，线段的长度的最小值为．

3．（2023·安徽亳州·统考模拟预测）等腰直角中，，，点是平面内一点，，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，当填度数度时，可以取最大值，最大值等于．4．（2023春·广东深圳·九年级专题练习）如图，点G是内的一点，且，是等边三角形，若，则的最大值为．5．（2023·江苏泰州·九年级专题练习）如图，在矩形中，，，P为的中点，连接．在矩形外部找一点E，使得，则线段的最大值为．6．（2022秋·北京东城·九年级校联考期末）如图，在中，，，，点是边的中点，将绕点C逆时针方向旋转得到，点是边上的一动点，则长度的最大值与最小值的差为．7．（2022·贵州遵义·统考一模）如图，在正方形ABCD内有一点P，AD＝2，点M是AB的中点，且∠PMA＝2∠PAD．连接PD，则PD的最小值为．8．（2022·广东·测试·编辑教研五一模）如图，抛物线交轴于、两点在的左侧，交轴于点，点是线段的中点，点是线段上一个动点，沿折叠得，则线段的最小值是______．9．（2022·广东河源·二模）如图，已知，平面内点P到点O的距离为2，连接AP，若且，连接AB，BC，则线段BC的最小值为______．10．（2020·江苏连云港市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的与轴的正半轴交于点，点是上一动点，点为弦的中点，直线与轴、轴分别交于点、，则面积的最小值为________．11．（2022·重庆·九年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，D是BC上一动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，过点E作EF⊥AB交BC于点F，则CF的最大值是________．12．（2022·广东东莞·一模）如图，在正方形中，，E是对角线的中点，点F为所在直线上方一点，连接，若，则长的最大值为．13．（2023·天津九年级期中）如图，⊙O的直径AB为2，C为⊙O上的一个定点，∠ABC＝30°，动点P从A出发，沿半圆弧向B点运动（点P与点C在直径AB的异侧），当P点到达B点时运动停止，在运动过程中，过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于点D，连接AD，则线段AD的最大值为_________．14．（2023·浙江九年级课时练习）如图1，在中，，以点B为圆心，半径作圆．点Р为上的动点，连接，作，使点落在直线的上方，且满足，连接．（1）求的度数，并证明；（2）若点P在上时，①在图2中画出；②连接，求的长；（3）点P在运动过程中，是否有最大值或最小值？若有，请直接写出取得最大值或最小值时的度数；若没有，请说明理由．15．（2023·陕西西安·校考模拟预测）问题提出（1）如图1，内接于，，，则的半径为．问题探究（2）如图2，已知矩形，，，是矩形内一点，且，连接，求的最小值．解决问题（3）如图3，小乐家有一个四边形菜地，他打算种植油菜花，为了提高产量，他计划改造四边形菜地，在改造的过程中始终要满足米，，，且，求改造后四边形菜地面积的最大值．16．（2023·河北廊坊·统考二模）已知如图，是腰长为4的等腰直角三角形，，以A为圆心，2为半径作半圆A，交所在直线于点M，N．点E是半圆A上仟意一点．连接，把绕点B顺时针旋转90°到的位置，连接，．(1)求证：；(2)当与半圆A相切时，求弧的长；(3)直接写出面积的最大值．17．（2022秋·吉林长春·九年级校考阶段练习）在一次数学探究活动中，张老师设计了一份活动单：已知线段，使用作图工具作．尝试操作后思考：这样的点唯一吗？点的位置有什么特征？你有什么感悟？某学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点、除外），……小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图①）．(1)小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．①该弧所在圆的半径长为___________；②面积的最大值为___________；(2)经过对比发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图①所示的弓形外部，我们记为，请你利用图①证明．(3)请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图②，已知矩形的边长，，点在直线的左侧，且，则线段长的最小值为___________．18．（2023·广东·九年级专题练习）如图1，在中，，，，以点为圆心，为半径作圆．点为上的动点，连接，作，使点落在直线的上方，且满足，连接，．（1）求的度数，并证明；（2）如图2，若点在上时，连接，求的长；（3）点在运动过程中，是否有最大值或最