专题08相似三角形的存在性 （含2024年一模）（原卷版）

专题08相似三角形的存在性相似三角形存在性问题，分类讨论步骤：第一步：找到题目中已知三角形和待求三角形中相等的角；要先确定已知三角形是否有直角，或确定锐角（借助三角函数值-初中阶段衡量角度问题的计算手段，二次函数角的存在性压轴专题应用更为突出）①若有已知的相等角，则其顶点对应；②若没有相等的角，则让不确定的三角形的角和已知三角形的特殊角相等。第二步：确定相似后，根据对应边成比例求解动点坐标：①若已知三角形各边已知，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小；②若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后用相似来列方程求解。易错点一：二次函数中相似三角形的存在性1．（2024·上海普陀·统考一模）综合实践九年级第一学期教材第2页结合教材图形给出新定义对于下图中的三个四边形，通常可以说，缩小四边形，得到四边形；放大四边形，得到四边形．

图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动．将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形．图中，四边形和四边形都与四边形形状相同．我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似形．如图，对于两个多边形，如果它们的对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例，那么这两个多边形就是位似多边形，这个点就是位似中心．(1)填空：在上图中位似中心是点________；________多边形是特殊的________多边形．（填“位似”或“相似”）(2)在平面直角坐标系中（如下图），二次函数的图像与x轴交于点A，点B是此函数图像上一点（点A、B均不与点O重合），已知点B的横坐标与纵坐标相等，以点O为位似中心，相似比为，将缩小，得到它的位似．

①画出，并求经过O、、三点的抛物线的表达式；②直线与二次函数的图像交于点M，与①中的抛物线交于点N，请判断和是否为位似三角形，并根据新定义说明理由．2．（2023上·上海嘉定·九年级统考期末）定义：对于抛物线（、、是常数，），若，则称该抛物线是黄金抛物线，已知平面直角坐标系，抛物线是黄金抛物线，与轴交于点，顶点为．(1)求此黄金抛物线的表达式及点坐标；(2)点在这个黄金抛物线上．①点在这个黄金抛物线的对称轴上，求的正弦值．②在射线上是否存在点，使以点、、所组成的三角形与相似，且相似比不为1．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2023·上海·一模）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，已知点B的坐标是，；

(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P在x轴上方的抛物线上，且，求点P的坐标；(3)点D是y轴上一动点，若以D、C、B为顶点的三角形与相似，求出符合条件的点D的坐标．4．（2024上·上海静安·九年级统考期末）在平面直角坐标系中（如图），已知点、、、在同一个二次函数的图像上．

(1)请从中选择适当的点坐标，求二次函数解析式；(2)如果射线平分，交轴于点，①现将抛物线沿对称轴向下平移，顶点落在线段的点处，求此时抛物线顶点的坐标；②如果点在射线上，当与相似时，请求点的坐标．5．（2024上·上海崇明·九年级统考期末）已知在直角坐标平面中，抛物线经过点三点．

备用图(1)求该抛物线的表达式；(2)点D是点C关于抛物线对称轴对称的点，连接，将抛物线向下平移个单位后，点D落在点E处，过B、E两点的直线与线段交于点F．①如果，求的值；②如果与相似，求m的值．易错点二：几何图形中相似三角形的存在性1．（2022·上海宝山·统考二模）如图，在半径为的圆中，、都是圆的半径，且，点是劣弧上的一个动点点不与点、重合，延长交射线于点．(1)当点为线段中点时，求的大小；(2)如果设，，求关于的函数解析式，并写出定义域；(3)当时，点在线段上，且，点是射线上一点，射线与射线交于点，如果以点、、为顶点的三角形与相似，求的值．2．（2023·上海闵行·统考一模）如图1，点D为内一点，联结，，以为邻边作平行四边形，与边交于点F，．(1)求证：；(2)延长，交边于点G，如果，且的面积与平行四边形面积相等，求的值；(3)如图2，联结，若平分，，求线段的长．3．（2022·上海徐汇·统考二模）如图，已知线段AB＝4，以AB为直径作半圆，过圆心O作AB的垂线OQ交半圆于点E，P是上的点，连结AP并延长交OQ于点C，连结PB交OQ于点F．(1)我们知道∠APB＝90°，证明方法如下：联结OP，∵OA＝OP，∴∠PAO＝∠APO，∵OB＝OP，∴∠OPB＝∠OBP．在△APB中，∠PAO＋∠APO＋∠OPB＋∠OBP＝180°，∴∠APO＋∠OPB＝90°，即∠APB＝90°请再用一种其他方法证明∠APB＝90°．(2)如图2，以PB，PC为邻边作，当CD与⊙O相切时，求PC的长；(3)已知点M为AC上的点，且．当△MFP与△ABP相似时，求的值．4．（2023·上海崇明·统考二模）如图，在中，，，．点D是边上一动点（不与A、C重合），联结，过点C作，分别交、于点E、F．(1)当时，求的正切值；(2)设，，求y关于x的函数解析式，并写出x的定义域；(3)联结并延长，与边的延长线相交于点G，若与相似，求的值．5．（2023·上海长宁·统考二模）如图1，在△ABC中，，以点A为圆心、AC为半径的⊙A交边AB于点D，点E在边BC上，满足，过点E作交AB于点F，垂足为点G．

(1)求证：；(2)延长EF与CA的延长线交于点M，如图2所示，求的值；(3)以点B为圆心、BE为半径作⊙B，当时，请判断⊙A与⊙B的位置关系，并说明理由．6．（2023·上海·一模）如图，在中，，是边上的中线，，，点Q是延长线上的一动点，过点Q作，交的延长线于点P．

(1)当点B为的中点时，求的长；(2)设，，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；(3)过点B作交于F，当和相似时，求的长．7．（2022·上海青浦·统考二模）梯形中，，于点，，，以为直径，以为直径，直线与交于点，与交于点（如图），设．(1)记两圆交点为、（在上方），当时，求的值；(2)当与线段交于、时，设，求关于的函数关系式，并写出定义域；(3)连接，线段与交于点，分别连接、，若与相似，求的值．8．（2022·上海浦东新·校考模拟预测）如图，已知等腰中，是边上的中位线，点为中点，点是底边上一动点，线段与线段交于点，联结．

(1)若，证明：，且；(2)如图，当时，若以点为圆心，以为半径的圆与以为直径的圆相切，求的长；(3)若，且与相似，求的长．9．（2023·上海·一模）如图，已知在中，，，点为边上一动点（与点、不重合），点为上一点，，过点作，垂足为点，交射线于点．

(1)如果点为边的中点，求的正切值；(2)当点在边上时，设，，求关于的函数解析式及的取值范围；(3)联结，如果与相似，求线段的长．1．（2023·上海宝山·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、，将该抛物线位于轴上方的部分沿轴翻折，得到的新图象记为“图象”，“图象”与轴交于点．(1)写出“图像U”对应的函数解析式及定义域；(2)求的正切值；(3)点在轴正半轴上，过点作轴的平行线，交直线于点，交“图象”于点，如果与相似，求点的坐标．2．（2023·上海宝山·统考二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．(1)求二次函数的解析式和顶点D的坐标；(2)连接，试判断与是否相似，并说明理由；(3)将抛物线平移，使新抛物线的顶点E落在线段上，新抛物线与原抛物线的对称轴交于点F，连接，如果四边形的面积为3，求新抛物线的解析式．3．（2024·全国·九年级竞赛）如图，是的直径，点是圆上两点，且平分交于．(1)求证：；(2)若，求的长度．4．（2022下·上海普陀·九年级校考期中）如图，已知抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为，顶点为B．点在抛物线上，直线BC交x轴于点E．(1)求抛物线的表达式及点E的坐标；(2)连接AB，求∠B的余切值；(3)点G为线段AC上一点，过点G作CB的垂线交x轴于点M（位于点E右侧），当△CGM与△ABE相似时，求点M的坐标．5．（2023下·安徽·九年级专题练习）如图，已知等腰和等腰有公共的顶点A，且，，，点E恰好落在边上（与B、C不重合），连接．

(1)求证：；(2)若与相交于点F，求证：；(3)若，，且，请画出符合条件的图形，并求的长．6．（2023上·陕西西安·九年级校考阶段练习）已知抛物线：：经过点在，，与y轴的交点为C．关于原点对称的抛物线为(1)求抛物线的函数表达式；(2)点A在的对应点为M，若点P是抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，若相似，求点P的坐标．7．（2023上·四川泸州·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，抛物线的对称轴l与x轴交于点．(1)求此抛物线的解析式；(2)在抛物线对称轴上找一点M，使的周长最小，求满足条件的点M的坐标；(3)若点P是抛物线上一个动点，且在y轴右侧，过点作轴，垂足为点E，连接．若与相似，求点P的坐标．8．（2023上·上海宝山·九年级统考期中）如图，在直角坐标平面内，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、B，将该直线向上平移，使点A落在点P处，平移后所得直线与x轴交于点C．

(1)求的正切值；(2)如果四边形是等腰梯形，求平移后的直线表达式；(3)如果与相似，求这时四边形的面积．9．（2023上·山西晋中·九年级统考阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别在x轴负半轴、y轴正半轴上，的长分别是方程的两个根，且．(1)求点B的坐标；(2)如图2，过点A且垂直于的直线交轴于点F，在直线上截取，过点D作轴于点E，求经过点D的反比例函数的关系式；(3)在（2）的条件下，在y轴上是否存在一点P，使以D，E，P为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2020·甘肃酒泉·统考二模）如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，为抛物