高中数学多选题知识归纳总结含答案

一、函数的概念与基本初等函数多选题

x2-fcv+l,x<0

1.已知函数/(%)=(,下列关于函数y=/[/(x)]+l的零点个数的说

log2x,x>0

法中，正确的是()

A.当z>1,有1个零点B.当％=—2时，有3个零点

C.当1>k>0,有4个零点D.当左=Y时，有7个零点

【答案】ABD

【分析】

令y=0得/[〃切=-1，利用换元法将函数分解为〃力=，和以。=一1,作出函数

/(X)的图象，利用数形结合即可得到结论.

【详解】

令y=0,得/[f(x)]=_l，设f(x)=f，则方程/[〃切=-1等价为〃。=一1，

函数y=d一区+i,开口向上，过点(0,1),对称轴为x=5

P由=g可知，此时X只有一

解，即函数y=/[/(x)]+l有1个零点，故A正确；

v/(r)=-l,此时方程有一个根，=；,由，(力=；可知，此时x有3个

乙乙

解，即函数y=/[/(x)]+l有3个零点，故B正确；

对于C,当1>攵>0时，图像如A,故只有1个零点，故C错误；

Gw"L°)，4w(T，-3)由

/(x)=g可知，此时X有3个解，由，(x)=4w(T,O)，此时X有3个解，由

/(X)=G£(Y,-3),此时x有1个解，即函数y=/[/(x)]+l有7个零点，故D正

确；

故选：ABD.

【点睛】

方法点睛：本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换无法和数形结

合是解决本题的关键，已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画

出函数的图象，利用数形结合的方法求解，属于难题.

log2(x+l),x>-l

2.已知函数=川，若关于X的方程/(%)=m有四个不等实根M，

2(X+2),X<-1

%，看，<x,<xi<x4),则下列结论正确的是()

A.l<m<2B.sin*-cos%>0

C.4X3+X4>-1D.x；+考+]og”,后的最小值为IO

【答案】ACD

【分析】

画出了（X）的图象，结合图象求得6,％,电，刍，匕的取值范围，利用特殊值确定B选项错

误，利用基本不等式确定CD选项正确.

【详解】

画出了（X）的图象如下图所示，

由于关于％的方程/。）=根有四个不等实根再，与，与，兀*（不<%<毛<七），

由图可知lvmW2,故A选项正确.

由图可知百户2关于直线1二一2对称，故苫强=-2小+9=-4，

由2（X+2『=2（XWT）解得％=-3或1=一1,

所以—3V%<-2,-2<94—1,

-3<<-2,当玉=--亳时，sin\=cos---—-cosx2=0»所以B选

项错误.

（X>2）

令2（-2）=<-1）>logm2=logwzn=b（x+2）~log,n2=l,

2（x+2）2log,„>/2=l,芭,马是比方程的解，

所以电色不片,或嘀瓜玉、,

L2J

故X；+x；+log,”J2=X：+（-4-^）-+—---—7

2（%+2）

=2（2+2）2+——!~7+8222（%+2>----!--+8=10,

'）2（%+2『「）2（%+2）2

当且仅当2（%|2『=：,百=:时等号成立，故D选项正确.

由图象可知10g2（W+l）=_bg2（X4+l），

log2（七+l）+】og2（Z+l）=0,（七+1）（甚+1）=1，x4+l=~-r^4=--r-h

人？•JL人？IJI

由|1叫（1+1）|=1（%>一1）,解得X=1或X=—g,

由|log2（x+l）|=2（x:>-l）,解得％=3或4=

一江匕<工4<3,

所以

%+/=%+不一1=4（七+1）+不-5

—5=7①.

令4（X+1）=­!~y,（X+［）2=；，上=~|或工=一^，

所以①的等号不成立，即4七+%>一1，故C选项正确.

【点睛】

求解有关方程的根、函数的零点问题，可考虑结合图象来求解.求解不等式、最值有关的问

题，可考虑利用基本不等式来求解.

,,,\f+办x<0,

3.已知函数=<一，则（）

2—1,.V>0

A./（%）的值域为（-1,+8）

B.当々《0时，/（X）>/（X2+1）

c.当a>0时，存在非零实数%,满足/（一小）+/（%）=0

D.函数8（力=〃力+。可能有三个零点

【答案】BC

【分析】

A.考虑。=2时的情况，求解出各段函数值域再进行判断；B.先根据条件分析/(X)的单

调性，再根据V+1与X的大小关系进行判断；C.作出

)，=V+”,丫=一/+",丫=一/+这的函数图象，根据图象的对称性进行分析判断；

D.根据条件先分析出。£(0,1),再根据有三个零点确定出4满足的不等式，由此判断出

〃是否有解，并判断结论是否正确.

【详解】

A.当x>0时，y=2-x-l>0-l=-l,当x<0时，>=丁+双=［一手，取

〃=2,此时y=(x+l)2—1之一1,

所以此时的值域为［-1,+8),故A错误；

B.当时,尸产+公=卜+£|〈的对称轴为工=一_|20,所以"")在

(F,0］上单调递减，

又因为/(%)在(0,+e)上单调递减，且02+0xa=2"—1，所以〃力在R上单调递

减，

又因为V+1一x=(x-g)+(>°，所以Y+l>x，所以/(力>/(^+1)，故B正

确；

由图象可知：y=f+or,y=-丁+or关于原点对称，且y=-/+必与》=2-"一1相

交于(工,%)»

因为点(X。，%)在函数y=-％2+以的图象上，所以点(一七),一%)在函数)，=炉+改的图

象上，

所以/(%)+〃-为)=%+(-%)=°，

所以当°>0时，存在X。使得/(-/)+/(%)=0,故c正确；

D.由题意知：〃力=一。有三个根，所以“X)不是单调函数，所以。>0,

又因为y=2-'-1«-1,0),所以一4£(一1,0),所以。«0』)，

且y=k+o¥w——,+0°,若方程有三个根，则有—a>—幺，所以a>4或々<0,这

L4)4

与。£(0,1)矛盾，

所以函数g(x)=/(x)+a不可能有三个零点，故D错误，

故选：BC.

【点睹】

思路点睛：函数与方程的综合问题，采用数形结合思想能高效解答问题，通过数与形的相

互转化能使问题转化为更简单的问题，常见的图象应用的命题角度有：

(1)确定方程根的个数；

(2)求参数范围；

(3)求不等式解集；

(4)研究函数性质.

4.设函数f(X)=加力｛|x一2|，二|x+2|｝其中〃砌｛x,y,z｝表示X,y,Z中的最小者.下列说

法正确的有()

A.函数/(力为偶函数

B.当xw[l,+oo)时,有/(九一2)4/(同

C.当xwR时，/(/(x))</(x)

D.当xw[Y,4]时，|/(为-2)|”(切

【答案】ABC

【分析】

画出/(%)的图象然后依据图像逐个检验即可.

【详解】

解：画出/(力的图象如图所示：

对A,由图象可知：/(X)的图象关于y轴对称，故/(力为偶函数，故A正确；

对B,当1W2时,-l<x-2<0,/(x-2)=/(2-x)<2-x=/(x)；

当2<xW3时，0<X一241,/(x-2)<x-2=/(x)；

当3<xW4时，lvx-2W2,/(X-2)=2-(X-2)=4-X<X-2=/(A:);

当x"时，x-2>2,此时有〃了-2)</(力，故B成立；

对C,从图象上看，当x«0,4<功时，有f(x)<比成立，令，=4/).则90,故

/[/(x)]-/(x)»故C正确；

对D,®X=|,则/信)=W=；，=\f(x-2)<f(x),故D不正

确.

故选：ABC.

【点睛】

方法点睛：一般地，若/(x)=min{S(x),T(x)}(其中min{x,y}表示中的较小

者)，则/(力的图象是由S(x),T(x)这两个函数的图象的较低部分构成的.

5.下列结论正确的是()

A.函数y=/(x)的定义域为[1,3],则函数y=/(2x+l)的定义域为[0,1]

B.函数“X)的值域为[L2],则函数的值域为[2,3]

C.若函数、=-炉+”+4有两个零点，一个大于2,另一个小于-L则。的取值范围是

(。，3)

D.已知函数/(冗)=卜2+34%€上若方程〃同一〃,一1|=0恰有4个互异的实数

根，则实数。的取值范围为(0,l)j(9,yo)

【答案】ACD

【分析】

根据抽象函数定义域及代换的方法可求函数的定义域，判断A,利用函数图象的平移可判

断函数值域的变换情况，判断B,利用数形结合及零点的分布求解判断C,作出函数

/(力=卜2+3^|与y=4x-l|的图象，数形结合即可判断D.

【详解】

对于A,)，=/(力的定义域为[1,3],则由1K2X+1K3可得y=/(2x+l)定义域为

[0,1],故正确；

对于B,将函数7(%)的图象向左平移一个单位可得函数/(x+1)的图象，故其值域相

同，故错误；

对于C,函数＞=8。)=一%2+依+4有两个零点，一个大于2,另一个小于-1只需

fg(2)＞0

4:八八，解得0＜。＜3,故正确；

[g(T)＞0

对于D,作出函数f(x)=|f+3乂与y=《工一1|的图象，如图，

由图可以看出，时，不可能有4个交点，找到直线与抛物线相切的特殊位置。=1或

。=9,观察图象可知，当0＜。＜1有4个交点，当9＜。时，两条射线分别有2个交点，

综上知方程/(力一〃,一1|=0恰有4个互异的实数根时，〃E(0,1)11(9,+8)正确.

故选：ACD

【点睛】

关键点点睛：对于方程实根问题，可转化为函数图象交点问题，本题中，/(X)=|X2+3X|

图象确定，而y=是过(1,0)关于％=1对称的两条射线，参数。确定两射线张角的

大小，首先结合图形找到关键位置，即々=1时左边射线与抛物线部分相切，。=9时右边

射线与抛物线相切，然后观察图象即可得出结论.

4

6.已知函数/(幻二亡+七(。为正整数)，则下列判断正确的是()

X

A.函数/(x)始终为奇函数

B.当77为偶数时，函数/(X)的最小值为4

C.当，为奇数时，函数/(X)的极小值为4

D.当〃=1时，函数y=/(x)的图象关于直线y=2x对称

【答案】BC

【分析】

4

由已知得/(一)=(一)”

+-----，分，为偶数和，为奇数得出函数/a)的奇偶性，可判

(用"

断A和；当〃为偶数时，炉>0,运用基本不等式可判断B；当。为奇数时，令，=“"，则

4

x>0">0;xv0"<0,构造函数g“)=z+—,利用其单调性可判断C；当〃=1时，取函

t

数/⑶=x+：上点P(l,5),求出点P关于直线y=2x对称的对称点，代入可判断D.

【详解】

因为函数f(外=X"+之S为正整数)，所以/(一幻=(一)”+7%,

X(T)

当〃为偶数时，f(-x)=(-x)"+L"=x"+7=f"),函数/(X)是偶函数;

(一)X

4

当〃为奇数时，/(-x)=-xn+-=-/(%),函数/(x)是奇函数，故A不正确；

.X

4I4-4

当，为偶数时，x”>0,所以〃劝二炉+F〃•下=4,当且仅当冗”=-7时，

即父=2>0取等号，所以函数/⑴的最小值为4,故B正确；

当〃为奇数时，令/=%",则心<0,函数/(力化为g(r)=r+；,

而8«)=/+；在(f,_2),(2,+8)上单调递增，在(-2,0),(0,2)上单调递递减，

44

所以g«)=，+7在，=2时，取得极小值g(2)=2+m=4,故C正确；

4

当〃=1时，函数/(x)=x+—上点尸(1,5),设点P关于直线y=2x对称的对称点为

.X

1(如为)，

%-5_1

则2，解得

4

/(x)=x+一不满足,

x

所以函数y=/*)的图象不关于直线y=2x对称，故D不正确,

故选：BC.

【点睛】

本题考查综合考查函数的奇偶性，单调性，对称性，以及函数的最值，属于较难题.

7T

7.设函数g(x)=5/力3X(3>0)向左平移—个单位长度得到函数/(x),已知f(x)在[0,2用上有

且只有5个零点，则下列结论正确的是()

A./W的图象关于直线x对称

B./(x)ffi(O,2九)上有且只有3个极大值点，/(x)在(0,2足上有且只有2个极小值点

7T

c./(X)在(0,m)上单调递增

1229

D.3的取值范围是[三,而)

【答案】CD

【分析】

利用正弦函数的对称轴可知，A不正确；由图可知/*)在(。,2乃)上还可能有3个极小值

点，8不正确；由2万解得的结果可知，。正确；根据，。)在(0,鲁)上递

10。

增，且一,可知C正确.

1()10。

【详解】

依题意得/(x)=g(x+二)=sin["x+Z)]=sin(0x+^),T=—,如图：

5(o5co5co

对于A,令5+工=%"+工，kwZ,得工=竺+至，keZ,所以的图象关于

52co10G

1(JT3乃

直线x=—+k(^£Z)对称，故A不正确：

(01069

对于B,根据图象可知，xA<2^<xBf/(%)在(0,2外有3个极大值点，f(x)在(0,24)

有2个或3个极小值点，故8不正确，

4TE“45T万524244

对于。，因为工人=一丁+—T=一7+—x—=——,

5(02569269569

71__"2"29%行।,24%,-29%1229

xR=----+3/=-------+3x——=-------,所以——<2^<——,解得—^co<—,

5co5coco5co5(05(0510

所以。正确；

对于C,因为一f+17=一三+,x2x=孚，由图可知/(X)在(0,学)上递增，

5CD45。4。1()691()。

因为。＜之＜3,所以二一孚二二(1-3)＜0,所以“X)在(0,三)上单调递增，故

1010106910co10

C正确；

故选：CD.

【点睛】

本题考查了三角函数的相位变换，考查了正弦函数的对称轴和单调性和周期性，考查了极

值点的概念，考查了函数的零点，考查了数形结合思想，属于中档题.

8.德国著名数学家狄利克雷(Dk/c初et,1805~1859)在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定

义了一个“奇怪的函数"y=f(x)=〈八》八其中月为实数集,。为有理数集.则关于函

[0,XGQ2

数f(另有如下四个命题，正确的为()

A.函数/(力是偶函数

B.£02，/(玉+%)=/(5)+/(%)恒成立

C.任取一个不为零的有理数L/(X+T)=/(x)对任意的XGR恒成立

D.不存在三个点A(玉,/(%)),8(々,7(&)),7(七)),使得AA8C为等腰直角三

角形

【答案】ACD

【分析】

根据函数的定义以及解析式，逐项判断即可.

【详解】

对于A,若xwQ,则一xwQ,满足f(x)=/(-x)；若XECRQ,则一XECRQ,满足

/(x)-/(-x)；故函数了。)为偶函数，选项A正确；

对于B,取％=万£。。,/=一不£CRQ，则/(玉+/)=/(0)=1，

/(%)+/(々)=0,故选项B错误；

对于C,若xwQ,则R+TEQ,满足/(力=/(%+7)；若XE/Q,则

x+TeCRQ,满足/(力=/(/+7)，故选项C正确；

对于D,要为等腰直角三角形，只可能如下四种情况：

①直角顶点A在y=l上，斜边在工轴上，此时点B,点。的横坐标为无理数，则8c中

点的横坐标仍然为无理数，那么点A的横坐标也为无理数，这与点A的纵坐标为1矛盾，

故不成立；

②直角顶点A在y=l上，斜边不在X轴上，此时点8的横坐标为无理数，则点A的横坐

标也应为无理数，这与点A的纵坐标为1矛盾，故不成立；

③直角顶点A在x轴上，斜边在y=l上，此时点3,点C的横坐标为有理数，则3C中

点的横坐标仍然为有理数，那么点A的横坐标也应为有理数，这与点A的纵坐标为。矛

盾，故不成立；

B

x

④直角顶点A在X轴上，斜边不在y=l上，此时点A的横坐标为无理数，则点3的横坐

标也应为无理数，这与点8的纵坐标为1矛盾，故不成立.

综上，不存在三个点A(x，/(%)),B(X2,/(^)),C(玉，/(七))，使得AABC为等腰

直角三角形，故选项D正确.

故选：ACD.

【点睛】

本题以新定义为载体，考查对函数性质等知识的运用能力，意在考查学生运用分类讨论思

想，数形结合思想的能力以及逻辑推理能力，属于难题.

9.高斯是德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一.

高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有"数学王子"之称.有这样一个函数就是以

他名字命名的：设xwR,用[目表示不超过I的最大整数，则/(x)=[x]称为高斯函

数，又称为取整函数.如：/(2.3)=2,/(-3.3)=Y.则下列正确的是()

A.函数/(#是R上单调递增函数

B.对于任意实数a，b,都有+

C.函数g(x)=/(x)-双(xwO)有3个零点，则实数。的取值范围是

(34]「43、

一,一u

U5」|_32)

D.对于任意实数x,力则jf(x)=/(y)是次一3<1成立的充分不必要条件

【答案】BCD

【分析】

取反例可分析A选项，设出a,b的小数部分，根据其取值范围可分析B选项，数形结合

可分析C选项，取特殊值可分析D选项.

【详解】

解：对于A选项，/(1)=/(1.2)=1,故A错误；

对于8选项，令。=[。]+匕匕=回+式八q分别为a,b的小数部分)，

可知Q,「=〃-同vl,(X,q=b-[b]<lt[r+q]>0,

则jf(a+b)=[[a]+回+r+g[=同+回+卜+旬..同+回=/(a)+/(b)，故8错

误；

对于C选项，可知当&W/V&+1,AeZ时，则〃力=国=%，

可得/(x)的图象，如图所示：

••.函数g(x)=f(x)—ar(xwO)有3个零点，

二•函数〃力的图象和直线有3个交点，且(o,o)为“力和直线y="必过的

点9

(34143、

由图可知，实数Q的取值范围是[1，r,故C正确；

对于D选项，当〃x)=/(y)时，即r，q分别为x，y的小数部分，可得0WY1，

|x_y|T[x]+-[y]r|T-4v|i_q=i；

当上一乂<1时，取x=-o.9,y=0.09,可得[月=-1,3=0,此时不满足

/(力=/(江

故/(力=/(、)是人一vV1成立的充分不必要条件，故D正确；

故选：BCD.

【点睛】

本题考查函数新定义问题，解答的关键是理解题意，转化为分段函数问题，利用数形结合

思想；

10.下列说法中，正确的有()

A.若a>b>0,则

ab

B.若。＞0,匕＞0,a+b=l,则的最小值为4

ab

C.己知/（X）=h\一；，且/（1一。）+/（1-/）＜0,则实数。的取值范围为（一2,1）

LI1L

D.已知函数/（力=陛2（3/-"+8）在［T+oo）上是增函数，则实数〃的取值范围是

【答案】BCD

【分析】

利用不等式的基本性质可判断A选项的正误；将。+力与L+,相乘，展开后利用基本不

ab

等式可判断B选项的正误；判断函数/（X）的单调性与奇偶性，解不等式

/（I一。）+/（1-/）＜0可判断c选项的正误；利用复合函数法可得出关于实数。的不等

式组，解出。的取值范围，可判断D选项的正误.

【详解】

对于A选项，则A选项错误；

ba

对于B选项，b＞0,a-\-b=\»

11/.b_lba.

—l—=（ci+b）\—l—=2H1—＞2+2./----=4＞

abv\ab）abNab

当且仅当。=〃=!时，等号成立，所以，！的最小值为4,B选项正确；

2ab

对于C选项，函数/（x）的定义域为R,

任取用、9£氏且凡＜七，则2巧＞2司＞0，

所以，

八"\2/（2*+12）UV2+12）2X'+12"1（2r'+l）（2X2+l）

即工2），所以,函数f（x）为K上的减函数,

.・八、-11_2-（2'1）t

."“一2、+1耳―2（2、1）—2（1+2、）'

…/、1-2-2、（1-2一）21，/、

则f（-X）=—7------r=-----7-----\~-7----\=~f（X）,

八72（1+2-）22（1+27）2（2X+1）'＞

所以，函数/（力为R上的奇函数，且为减函数，

由+可得/（1_可〈―/0_储）=/（/一］）,

所以，6/2-1<»即42+々一2<0，解得一2<avl,C选项正确；

对于D选项，对于函数f（x）=log2（3%2一以+8）,令"=3/一QC+8，

由于外层函数y=log2〃为增函数，则内层函数〃=3f一心+8在11,长。）上为增函数，

所以JJ6,解得-U<aK-6,D选项正确.

〃min=3+4+8>0

故选：BCD.

【点睛】

方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的

不等式来求解，方法是：

（1）把不等式转化为/［g（x）］>/［Mx）］：

（2）判断函数/（力的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号"/〃脱掉，得到

具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.

二、导数及其应用多选题

11.在湖边，我们常看到成排的石柱子之间两两连以铁链，这就是悬链线（Catenary）,

其形状因与悬在两端的绳子因均匀引力作用下掉下来之形相似而名.选择适当的坐标系后,

XX

0e一二其中。为非零常

悬链线的方程是一个双曲余弦函数〃力=a-cosh-

2

数，在此坐标平面上，过原点的直线与悬链线相切于点丁（毛,/（毛）），则的值可能

为（）（注：［司表示不大于X的最大整数）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】AC

【分析】

求出导数，表示出切线，令，=至，可得（1一。4+（1+。/'=0,构造函数

〃（»二（1-力-+。+工）-',可得力（力是偶函数，利用导数求出单调性，结合零点存在

性定理可得一2〈包<一1或1<土<2,即可求出.

aa

【详解】

X_xXX

松_血.$―

・•・切线斜率加=空9，.・・/㈤二分41，

/」/―

则切线方程为),_Q-a+ea/。_e〃(X/)'

工」i丸3

•・•直线过原点，.一.匕尸二三二.J)

令f=包，则可得(］一。/+(1+。6-'=0,

令力(x)=(l—x)/+(l+x)eT,则，是〃(x)的零点，

,.,/i(-x)=(l+x)e-r+(l-x)^=/2(x),./(x)是偶函数，

・.・“(x)=r(e»T),

当x>0时，〃(力<0,〃(可单调递减，

・.・耳1)=2/>0,〃⑵=-/+31<0,

.•.〃(同在(1,2)存在零点八由于偶函数的对称性/z(x)在(-2,-1)也存在零点,

且根据单调性可得〃(x)仅有这两个零点，

.•.-2<2〈-1或1<幺<2,

aa

—=-2或1.

_a

故选：AC.

【点睛】

本题考查利用导数求切线，利用导数研究函数的零点，解题的关键是将题目转化为令

,=十，(lT)/+(l+r”T=O,求/?(x)=(l-x)e、+(l+x)eT的零点问题.

12.己知/a)=/］nx,g(%)=42,f(x)是/(x)的导函数，则下列结论正确的是

x

()

A./(x)在1-5,+oo］上单调递增.

B.g(X)在(0,+8)上两个零点

3

C.当0Vx〈々ve时，-xj)</(为)一/(电)恒成立，则加之耳

D.若函数〃。)=/(冗)一依只有一个极值点，则实数。之0

【答案】ACD

【分析】

求出导函数f(X),由((x)>o确定增区间，判断A,然后可得g(»,再利用导数确定

g(X)的单调性与极值，结合零点存在定理得零点个数，判断B,构造函数

(p(x)=f(x)-mx2,由仪x)在(0,e)上递减，求得加范围，判断C,利用导数研究力(幻

的单调性与极值点，得。的范围，判断D.

【详解】

•，/'(%)=x(2In%+l)(x>0),令f\x)>0,

1-1-

得21n%+l>Onlnx>—二>>>62,故A正确

2

/、21nx+1

g")"------------，

x

vg'M=12]nA,令g'a)>0得Inxc'nxce"g'(x)<。得0<丫,

2u、入、匕

1

ae一2

故g(x)在上为减函数，在e2+co上为增函数.

当Xf时，g(X)TYO;当Xf+oo时，g(x)f0且g(x)>。

「•以幻的大致图象为

..・ga)只有一个零点,故B错.

记(p(x)=f(x)-nvc,则3(冗)在(0,e)上为减函数,

e'(x)=x(2lnx+1)-2mx00对x£(0,e)恒成立

.•.2mN21nx+1对x£(0,e)恒成立

3

.\2/H>3../n>—.

2

故C正确.

/1(x)=f(x)-ax=x2Inx-ar,

,/hXx)=x(2Inx+1)-a,设H(x)=x(21nx+l),

爪外只有一个极值点，力'。)=0只有一个解，即直线丁=。与丁="(工)的图象只有一个

交点.

H'(%)=2(lnx+l)+l=21nx+3,

3

・・・”'(幻在(0,内)上为增函数，令"")=0,得X=-2,

人09

当xw(0,/)时，H'(x)v0；当xeCro，+00)时，

・•.”(幻在(0,%)上为减函数，在(X”+8)上为增函数，

〃(%)=”2xf-11+l=-2e^<0,

xG(O,xo)B'J',2Inx+1<2Ine+1=-2<0,即"")<°，且x—>0时，

H(x)>0,又x>18时，H(x)>+oo,因此H(x)的大致图象如下(不含原点)：

直线）=4与它只有一个交点，则〃20.故D正确.

故选：ACD.

【点睛】

关键点点睛：本题考查用导数研究函数的性质，解题关键是由导数确定函数的单调性，得

出函数的极值，对于零点问题，需要结合零点存在定理才能确定零点个数.注意数形结合

思想的应用.

13.设函数/(力=优-/(。>1)的定义域为(0,+力)，已知了(另有且只有一个零点，下

列结论正确的有()

A.a=eB./(x)在区间(l,e)单调递增

C.彳=1是/(力的极大值点D.是“力的最小值

【答案】ACD

【分析】

Ax)只有一个零点，转化为方程/—/=()在(0,+8)上只有一个根，即止=也只有

xa

InX

一个正根.利用导数研究函数〃")=下的性质，可得判断A,然后用导数研究

函数/(制=--9的性质，求出了*),令ra)=o,利用新函数确定r(x)只有两个零

点1和%并证明出/'")的正负，得/(%)的单调性，极值最值.判断BCD.

【详解】

“X)只有一个零点，即方程优一犬二0在(。,+8)上只有一个根，,取对数得

x\na=a\nx,即处=吆只有一个正根.

xa

设/?*)=*,则“(幻=匕学，当0cxee时，”(x)>0,力(x)递增，％―0时，

XX

〃(x)>oo,时，h\x)<0,〃(%)递减，此时人(x)>0,

〃(X)max=h(e)=-.

e

.••要使方程止=则只有一个正根.则"@二2或皿<0,解得a=e或。<0,又

xaaea

«>1,/.a=e,A正确;

f(x)=F-y,f\x)=ex-e^~',

xei

fXx)=e-ex~=0,取对数得x-l=Q-l)lnx,

易知x=1和1=e是此方程的解.

设〃(x)=(e-l)lnx-x+l,p(x)=^—!--1,当0cx<«-1时，p\x)>0,p(x)递

x

增，x>e—1时，p'")vO,P。)递减，P(e-l)是极大值，

又p(l)=p(e)=O,

所以PQ)有且只有两个零点，

Ovxvl或时,p(x)<0,即(e.Dlnxvx.l,尸〈尸,勿”|<产，

/V)>0,同理Ivxve时,/Xx)<0,

所以/㈤在(0,1)和®+8)上递增，在(l,e)上递减，所以极小值为f(e)=o,极大值为

/⑴，

又f(0)=1,所以f(e)是最小值.B错，CD正确.

故选：ACD.

【点睛】

关键点点睛：本题考用导数研究函数的零点，极值，单调性.解题关键是确定了'(X)的零

点时，利用零点定义解方程，fM=ex-exe-l=O,ei=9T,取对数得

x-\=(e-})\nxt

易知x=1和x=e是此方程的解.然后证明方程只有这两个解即可.

14.已知函数/(,=(--I)Msii?”，则下列说法正确的是()

A.函数y=〃x)是偶函数，且在(YO,+oo)上不单调

B.函数y=/'(x)是奇函数，且在(YO,X)上不单调递增

C.函数y=/(x)在(一、,0)上单调递增

D.对任意TMER,都有/(同)=/(机)，且“加)20

【答案】AD

【分析】

由函数的奇偶性以及函数的单调性即可判断A、B、C、D.

【详解】

解：对A,.../(%)=(---—^-+4sin2-=-——-2cosx,

ex2ex

定义域为R，关于原点对称，

/、e~2x+le'x+\

=---2cos(-x)=-----2cos(x)=/(x),

「.y=/(x)是偶函数，其图像关于)'轴对称，

・••/(%)在(r0,X0)上不单调，故A正确；

对B,f\x)=ex-—+2sinx,

=e~x—i-+2sin(-x)=-(ex--+2sinx)=，

e~xex

..・r(x)是奇函数,

令g(x)=e*--v+2sinx,

则g'(x)=eA+—+2cosx>2+2cosx>0,

ex

・•./'")在(f，e)上单调递增，故B错误；

x

对C,vf\x)=e-+2sinxf且/(x)在(口,一)上单调递增，

e

又・・"'(0)=0，

・•.xe(£,0)时，f\x)<0,

.•.y-f(x)在(一上单调递减，故C错误；

对D,・・・y=/(x)是偶函数，且在(0,+8)上单调递增，

丁./(同)=/(〃?)，且/(加)之/(0)=0,故D正确.

故选：AD.

【点睛】

用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：

(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；

⑵不能随意将函数的2个独立的单调递增(或递减)区间写成并集形式；

⑶利用导数解决含参函数的单调性问题时，〜般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程

中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.

15.己知函数八力=蓼，XE(0,幻，则下列结论正确的有()

A./(可在区间(0,句上单调递减

B.若0v玉v占《乃，则百•sin/>W,sin玉

c.“X)在区间(0,句上的值域为［0,1)

D.若函数g(%)=Xg‘a)+8SX,且g(4)=-1,g(x)在(0,句上单调递减

【答案】ACD

【分析】

先求出函数的导数，然后对四个选项进行逐一分析解答即可，

对于选项A当微卜寸，可得r(x)v0,可得/(%)在区间(0弓)上单调递减;

jrjr

当不，1,可得r(x)<0,可得/(力在区间-,n上单调递减，最后作出判断；

对于选项B：由“力在区间(0,司上单调递减可得〃xj>/(w)，可得

胆,虫，进而作出判断；

刘巧

sinxxsinTT

对于选项C：由三角函数线可知sinxvx,所以——<-=1,f⑺=——=0,进而

XX兀

作出判断；

对于选项D：g'(x)=g'(x)+xg〃(x)—sinx,可得g"(x)="±二/(x),然后利用导

x1

数研究函数g'(x)在区间(0,句上的单调性，可得g'(x)<g'S)=0,进而可得出函数

g(x)在(0,句上的单调性，最后作出判断.

【详解】

、xcosx-sinx/八1

f(%)=----------------，xw(。川，

当不£0,—时，cosx>0,由三角函数线可知xvtanx,

sinx

所以xc2-----，Bpxcosx<sinx»所以xcosx-sinxvO,

cosx

所以r(x)vo,所以〃力在区间(o仁)上单调递减，

当xw彳,1,cosx<0,sinx>0,所以冗cosx—sinx<0,/z(x)<0,

jr

所以f(x)在区间不，%上单调递减，

所以〃力在区间(0,可上单调递减，故选项4正确；

当。<占<工2«万时，/(%)>/(42)，

sinx.sinx,..

所以----L>----二,即xsnzv^sinxi，故选项8错误；

x\x2

।_ri,.「Lr、tsinxx、sinTT八

由二角函数线可知sinxcx,所以----<—=1t,f(乃)=-----=0,

xxn

所以当x«0,句时,/(x)e[0,l),故选项c正确；

对g(x)=xg'(x)+cosx进行求导可得：

所以有g'(x)=g'(x)+xg"(x)-Sinx,

所以g〃(x)=*=/(x)，所以g〃(x)在区间(o,可上的值域为[0,1)，

X

所以g”(x)N0,g'(x)在区间(0,句上单调递增,因为g'(%)=0,

从而g'(x)Kg'(4)=0,所以函数g(x)在(0,句上单调递减，故选项D正确.

故选：ACD.

【点睛】

方法点睛：本题考查导数的综合应用，对于函数/")=詈的性质，可先求出其导数，然

后结合三角函数线的知识确定导数的符号，进而确定函数的单调性和极值，最后作出判

断，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题.

16.对于定义在。上的函数/(4)和定义在&上的函数g(x)，若直线

y="+Z?(匕〃ER)同时满足：©VXGDJ,f^x)<kx+h.@Vx€O2,

g(%)2"+匕，则称直线y=京+b为/(x)与g(x)的“隔离直线".若,

xl

g(x)=e-f则下列为/(犬)与g(x)的隔离直线的是()

、―