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一阶线性微分方程机动目录上页下页返回结束第四节一、一阶线性微分方程二、伯努利方程

第七章一、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:若Q(x)

0,若Q(x)

0,称为非齐次方程

.1.解齐次方程分离变量两边积分得故通解为称为齐次方程

;机动目录上页下页返回结束对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解2.解非齐次方程常数变易法:则故原方程的通解即即作变换两端积分得机动目录上页下页返回结束例1.解方程

解:先解即积分得即用常数变易法求特解.令则代入非齐次方程得解得故原方程通解为机动目录上页下页返回结束例2.

求方程的通解.解:注意x,y

同号,由一阶线性方程通解公式

,得故方程可变形为所求通解为这是以为因变量,

y为

自变量的一阶线性方程机动目录上页下页返回结束二、伯努利(Bernoulli)方程

伯努利方程的标准形式:令求出此方程通解后,除方程两边,得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法:(线性方程)伯努利目录上页下页返回结束例4.求方程的通解.解:令则方程变形为其通解为将代入,得原方程通解:机动目录上页下页返回结束内容小结1.一阶线性方程方法1先解齐次方程,再用常数变易法.方法2用通解公式化为线性方程求解.2.伯努利方程机动目录上页下页返回结束思考与练习1、判别下列方程类型:提示:

可分离变量方程齐次方程线性方程线性方程伯努利方程机动目录上页下页返回结束2*.

求一连续可导函数使其满足下列方程

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