24.5相似三角形的性质（题型专训）

24.5相似三角形的性质一、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.2.相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.要点：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.3.相似三角形周长的比等于相似比.∽，则由比例性质可得：4.相似三角形面积的比等于相似比的平方.∽，则分别作出与的高和，则要点：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.二、相似三角形的应用1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.要点：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.要点：1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺=图上距离/实际距离;2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;4.仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．一、题型专训一、单选题1．相似三角形对应高的比为4:3，那么它们的对应中线的比为．【答案】4:3【分析】根据相似三角形对应中线的比、对应高的比、对应角平分线的比都等于相似比解答即可．【解析】解：相似三角形对应高的比为4:3，那么它们的对应中线的比为4:3．故答案为：4:3．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，属于基础题型，熟知相似三角形对应中线的比、对应高的比、对应角平分线的比都等于相似比是解题的关键．2．若两个相似多边形的对应边之比为5:2，则它们的周长比是，面积比是．【答案】5:225:4【分析】根据周长比、面积比与相似比的关系可以解得答案．【解析】相似多边形的周长的比等于相似比，相似多边形的面积的比等于相似比的平方．两个相似多边形的对应边之比为5:2，则它们的周长比是5：2，面积比是25：4．故答案为5：2；25：4．【点睛】本题考查相似比的性质，熟练掌握周长比、面积比与相似比的关系是解题关键．3．如果两个相似三角形的对应高之比是，那么它们的周长比是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比，周长的比等于相似比解答．【解析】解：∵对应高之比是1：2，∴相似比=1：2，∴对应周长之比是1：2．故选：A．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，周长的比等于相似比．4．与的相似比为1：4，则与的周长比为（

）．A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：16【答案】C【分析】根据“相似三角形的周长比等于相似比”即可解决问题．【解析】∵与的相似比为1：4，∴与的周长比为1：4，故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．5．一个三角形三边长度之比为2：5：6，另一个与它相似的三角形最长边为24，则三角形的最短边为．【答案】8【分析】首先设与它相似的三角形的最短边的长为x，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程，解此方程即可求得答案．【解析】解：设与它相似的三角形的最短边的长为x，则，∴；∴三角形的最短边为8．故答案为：8．【点睛】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形的对应边成比例定理的应用．6．如图，点分别在Δ边上，，且，那么的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据与，即可得到ΔΔ，即可得到，结合即可得到的值；【解析】解：∵，，∴ΔΔ，∴，∵，∴，∴，∴，故选A．【点睛】本题考查三角形相似的性质与判定，解题的关键是根据分式的性质得到与的关系．7．如图，点F时平行四边形的边上一点，直线交的延长线与点E，则下列结论错误的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平行四边形的性质得到，进而证明，，根据相似三角形的性质即可得到答案．【解析】解：∵四边形是平行四边形，∴，∴，，∴，，故A、B不符合题意，C符合题意；∴，∴，即，故D不符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，证明，是解题的关键．8．如图，已知，且经过的重心，若，那么等于．

【答案】4【分析】利用重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为，进而求出答案．【解析】解：连接并延长到上一点，如下图，

∵的重心，，，∴，，，∴，∴，解得，∴．故答案为：4．【点睛】此题主要考查了重心的定义以及相似三角形的判定与性质，得出DG的长是解题关键．9．如图，点G是的重心，四边形与面积的比值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，根据三角形中位线定理以及中线的性质可得，，，从而得到，进而得到，继而得到，，可得，再由，即可．【解析】解：如图，连接，∵点G是的重心，∴点D，E分别为的中点，∴，，，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，即四边形与面积的比值是．故选：B【点睛】本题主要考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握三角形的重心，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理是解题的关键．10．如图，身高为的小明想测量一下操场边大树的高度，他沿着树影由B到A走去，当走到C点时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得，，于是得出树的高度为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出的长度，然后根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可．【解析】解：如图，∵，，∴，∵小明与大树都与地面垂直，∴，∴，即，解得，故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，判断出相似三角形，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．11．如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为光源，到屏幕的距离为，且幻灯片中图形的高度为，则屏幕上图形的高度为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如图，先证明，再根据“相似三角形对应边上的高的比等于相似比”求出的长即可．【解析】解：如图，由题意得，，，光源到幻灯片的距离为光源，到屏幕的距离为，点A到的垂线段的长为，点A到的垂线段的长为，，，故选：C．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握并运用“相似三角形对应边上的高的比等于相似比”是解答此题的关键．12．中国教育家孔子周游列国年，其中年居卫卫国即现在的濮阳，龙湖论语广场有一尊孔子雕像，数学兴趣小组的同学为了测量雕像的高度顶端到水平地面的距离，在雕像旁边的水平地面上处放了一面镜子平面镜的厚度忽略不计，组长小丽沿直线后退到点处，这时恰好在镜子里看到雕像的顶端，此时测得米，米，小丽的眼睛距地面的高度米，则雕像的高度米．【答案】【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解析】解：由题意，，∽，，，，故答案为：．【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是理解光的反射定理，属于基础题，中考常考题型．13．在中，，已知是的平分线，那么的长是．【答案】【分析】过作交的延长线于根据角平分线的定义得到是等腰直角三角形，再利用勾股定理得到，进而利用相似三角形的判定与性质得到即可解答．【解析】解：过作交的延长线于，∵，是的平分线，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故答案为：．

【点睛】本题考查了勾股定理，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．14．如图，点在边上，，点是的角平分线与的交点，且，则下列选项中不正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】证明，得出，利用判断选项A、C，证明得出判断选项B，分别用表示出和，判断选项D，即可得出结论．【解析】，，，，且，，，，故选项A、C正确；，，，，，，故选项D错误；平分，，，，，故选项B正确；故选：D．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．15．如图，已知E、F分别是△ABC中AB、AC边上的点，，且AE：AB＝3：5，那么为（）A．3：5 B．3：25 C．9：25 D．9：16【答案】D【分析】根据，可得△AEF∽△ABC，再相似三角形的性质，即可求解．【解析】解：∵，∴△AEF∽△ABC，∴＝∴＝9：16．故选：D．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．16．如图，，AF：BF＝2：5，BC：CD＝4：1，则AE：EC的值为（

）A．5：2 B．1：4 C．2：1 D．3：2【答案】C【分析】根据，可得，进而得出＝＝，＝，求出AG＝BD，CD＝BD，再求出即可．【解析】解：∵，∴∴＝，∵AF：BF＝2：5，∴＝，即AG＝BD，∵BC：CD＝4：1，BC+CD＝BD，∴CD＝BD，∴＝＝，∵，，∴＝＝，故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．17．如图，在中，中线，相交于点O，连接，下列结论：①＝；②＝；③＝；④＝．其中正确的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】先判断为的中位线，则根据三角形中位线性质得到，，于是可对①进行判断；证明，利用相似比得到，，则可对②进行判断；加上，则可对③进行判断；利用三角形面积公式得到，，则可对④进行判断．【解析】解：、为的中线，为的中位线，，，所以①正确；，，，，所以②错误；，，所以③正确；，，，，，所以④正确．综上，①③④正确．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．也考查了三角形中位线性质和相似三角形的判定与性质．18．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分的面积是．【答案】【分析】求出，证明，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．【解析】解：如图，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积．证明是解题的关键．19．如图，在中，E是线段上一点，，过点C作，交BE的延长线于点D．若的面积等于16，则的面积等于．【答案】12【分析】先根据得出，根据相似三角形的性质得出，从而求出，再根据求出，最后求出的面积即可．【解析】解：∵，∴，，∴，∵，∴，∵的面积等于16，∴，∵，∴，∴．故答案为：12．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定和性质．20．的边上有三点，各点位置如图所示，若，，，，，，则四边形与的面积比为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】先证明，再利用相似三角形的性质求出，得出，再证明，求出，即可求出答案．【解析】解：∵，，，∴,，，，，，，，，，，同法可证，，，，，故选：D．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．21．如图，，，．点在上移动，当以为顶点的三角形与相似时，则的长为．【答案】或2或12【分析】根据题意，分两种情况：和，然后分别利用相似三角形的性质，对应线段成比例列出方程求解即可得出答案．【解析】解：若，∴，设，，，解得；若，∴，设，，，解得；综上所述，的长度为或2或12，故答案为：或2或12．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的性质并分情况讨论是解题的关键．22．如图，在矩形中，，，若点是边上的一个动点．过点作且分别交对角线，直线于点O、F，则在点移动的过程中，的最小值为（

）

A． B． C．17 D．18【答案】B【分析】过C作，取，连接，根据勾股定理得到，易得，即可得到，根据两点间线段最短得到当、、三点共线时最短即可得到答案；【解析】解：如图过C作，取，过点E作于点H，∵四边形是矩形，∴，∴四边形是矩形，∵，，∴，，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，，∵，，∴四边形是平行四边形，∴，，∴当、、三点共线时最短，∴，∴，故选B；

【点睛】本题考查轴对称最短问题，相似三角形的判定和性质，矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，解题关键是学会用转化的思想思考问题．23．如图，为等边三角形，在边上分别任取一点，使得，连接相交于点，现有如下两个结论：①；②若，则；下列判断正确的是（）

A．①对，②对 B．①对，②错 C．①错，②对 D．①错，②错【答案】A【分析】根据全等三角形的性质得到，根据相似三角形的性质得到①正确；根据等边三角形的性质得到，根据线段的和差得到，过作交于，根据相似三角形的性质得到②正确．【解析】解：在等边中，，在与中，，，，，，，，，故①正确；是等边三角形，，，，，，如图，过作交于，

，，，，，，故②正确；故选：A．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，是解题的关键．24．如图，已知正方形，为的中点，是边上的一个动点，连接将沿折叠得，延长交于点，现在有如下五个结论：①一定是直角三角形；②；③当与重合时，有；④平分正方形的面积；⑤，则正确的有（

）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】如图1中，证明，，可得，可得，，可得①②正确，如图2中，当M与C重合时，设．则，证明，可得，即，可得，可得③正确，如图3中，当点F与点D重合时，显然直线不平分正方形的面积，可得④错误，如图1中，于H，，同理可得：，可得，结合，可得⑤正确．【解析】解：如图1中，

∵四边形是正方形，∴，∵E为的中点，∴，由翻折可知：，，，∵，，，∴，∴，∵，∴，故①②正确，如图2中，当M与C重合时，设．则，

∵，∴，∴，∴，∴，即，可得，∴，∴，故③正确，如图3中，当点F与点D重合时，显然直线不平分正方形的面积，故④错误，

如图1中，∵于H，，同理可得：，∴，∴，∵，∴．故⑤正确，故选：C．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．25．如图，在梯形中，点F，E分别在线段，上，且，

(1)求证：(2)若，求证：【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据三角形的全等的判定可得，然后根据全等的三角形的性质即可得证；（2）先根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定可得，然后根据相似三角形的性质即可得证．【解析】（1）证明：，，在和中，，，．（2）证明：，，，即，在和中，，，，由（1）已证：，，．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．26．如图，已知四边形是菱形，两对角线和相交于点O，过点D作，垂足为点H，和交于点E，联结并延长交边于点G．求证：

(1)；(2)．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）先判断出，进而判断出，得出，再用等角的余角相等判断出，即可得出结论；（2）先判断出，进而判断出，得出．【解析】（1）证明：是菱形的对角线，，点是菱形的两条对角线的交点，，，，，，在中，，，，，，，∵，∴；（2）证明：由（1）知，，是菱形的对角线，，，，，，，，，，，．【点睛】此题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，同角的余角相等，判断出是解本题的关键．二、跟踪训练一、单选题1．两个相似三角形的对应角平分线的比为，则它们的周长比为（

）A． B． C． D．以上答案都不对【答案】A【分析】两个相似三角形的对应边的比，对应角平分线的比，对应中线的比，对应高线的比，周长的比都等于相似比．【解析】两个相似三角形的对应角平分线的比为，两个相似三角形的相似比为，周长的比为．故选A．【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟记相似三角形的性质并灵活运用．2．如图，已知与相交于点A，，如果，那么等于（）A． B．1.5 C．14 D．6【答案】D【分析】证明，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．【解析】解：∵，∴，∴，即，∴，故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记性质是解题的关键．3．如果点是的重心，是边的中点，那么的值为（）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】根据重心的性质进行求解即可．【解析】解：∵点是的重心，是边的中点，∴，故选A．【点睛】本题主要考查了重心的性质，熟知重心的性质是解题的关键．4．下列格点三角形中，与右侧已知格点相似的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题中利用方格点求出的三边长，可确定为直角三角形，排除B，C选项，再由相似三角形的对应边成比例判断A、D选项即可得．【解析】解：的三边长分别为：，，，∵，∴为直角三角形，B，C选项不符合题意，排除；A选项中三边长度分别为：2，4，，∴，A选项符合题意，D选项中三边长度分别为：，，，∴，故选：A．【点睛】题目主要考查相似三角形的性质及勾股定理的逆定理，理解题意，熟练掌握运用相似三角形的性质是解题关键．5．如图，在中，中线与中线相交于点G，联结．下列结论成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由中线与中线得出是的中位线，推出，，由相似三角形的性质即可解决问题．【解析】∵中线与中线相交于点G，∴是的中位线，∴，∴，，∴，∴，，，∴，∵，∴，∴，，，∴，∴，∴，∴结论正确的是，故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．6．如图，直角梯形中，，，，，．是延长线上一点，使得与相似，这样的点的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由于，故要使与相似，分两种情况讨论：①，②，这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出的长，即可得到点的个数．【解析】∵，，，．设的长为，则．若边上存在点，使与相似，那么分两种情况：①若，则，即，解得：②若，则，即，整理得：，，（舍去）满足条件的点的个数是2个，故选：B．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，难度适中，进行分类讨论是解题的关键．二、填空题7．在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，G是重心，若AG=9cm，则GD=cm．【答案】4.5【分析】由三角形的重心的性质即可得出答案．【解析】解：∵AB=AC，AD⊥BC于D，∴AD是△ABC的中线，∵G是△ABC的重心，∴AG=2GD，∵AG=9cm，∴GD=4.5cm，故答案为：4.5．【点睛】本题考查了三角形的重心，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍．8．两个相似三角形的面积比为，则它们的相似比为．【答案】1：2【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可．【解析】两个相似三角形的面积比为，则其相似比为．故答案为：．【点睛】题目主要考查相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，理解掌握性质是解题关键．9．两个相似三角形对应中线的比为1：3，且小三角形的面积是，那么大三角形的面积为．【答案】【分析】相似三角形的面积的比等于相似比的平方，进行计算求解．【解析】∵两个相似三角形对应中线的比为1：3，∴相似比＝，∵面积之比为相似比的平方，设小三角形面积为S，大三角形面积为S´，∴，即：，解得：S´＝，故填：．【点睛】本题考查相似三角形的性质，特别注意面积比是相似比的平方．10．如图是一个零件的剖面图，已知零件的外径为，为求出它的厚度，现用一个交叉卡钳（和的长相等）去测量零件的内孔直径．如果，且量得的长是，那么零件的厚度是．【答案】/【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得的长，再根据某零件的外径为，即可求得x的值．【解析】解∶∵，，∴，∴，∵的长是，∴，∵零件的外径为，∴零件的厚度为∶，故答案为：．【点睛】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是求出AB的值．11．如图，矩形中，，，若与相似，则．【答案】或或【分析】设，则，根据三角形相似对应边对应成比例即可求解．【解析】解：∵矩形，∴，，设，则，①，∴，即，解方程得，，，②，∴，即，解方程得，，∴与相似，则，或，故答案为：或或．【点睛】本题主要考查解一元二次方程与相似三角形的综合应用，掌握解一元二次方程的方法，相似三角形对应边成比例是解题的关键．12．如图，，，则．【答案】【分析】根据可求出，再根据三角形相似的性质即可求解．【解析】解：∵，∴，∵，∴，且，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查比例的性质，相似三角形的性质，理解平行线的性质，相似三角形的性质是解题的关键．13．如图，在梯形中，，，，则．【答案】/0.5【分析】证明，与为对应边，相似三角形的面积比等于相似比的平方，因此只需求出即可．【解析】解：，，，，．．，，又，，与为对应边，，故答案为：．【点睛】本题考查勾股定理、等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．14．如图，中，，，是边的中点，延长到点，使，那么的长是．【答案】2【分析】先判断出，再利用相似三角形的性质即可得到．【解析】：∵，∴，∵是边的中点，，∴，∴，∴∵∴∴．故答案为：2．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．15．如图，在中，，正方形的边在的边上，顶点、分别在边、上，如果其面积为24，那么的值为．【答案】24【分析】通过证明，则，即可得到答案．【解析】，正方形的四个顶点在三角形的边上，，，，．故答案为24．【点睛】本题主要涉及三角形相似的判定和相似三角形的性质应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．16．如图，在中，，E为上一点，过点E作，垂足为点D，并交的延长线于点F，联结，如果，，的值为．

【答案】【分析】由，，，根据勾股定理求得，再根据同角的余角相等证明，而，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明，即可得到，即可得到答案；【解析】解：∵∠ACB＝90°，AE＝6，CE＝2，∴，，∴，∵于点D，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】此题重点考查勾股定理、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．17．新定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做等高底三角形，这条边叫做等底．如图，是等高底三角形，是等底，点关于直线的对称点是点，连接，如果点是的重心，那么的值是．

【答案】/【分析】延长与交于点，根据轴对称性质得，，，再由是等高底三角形，是等底，得，再根据三角形的重心定理得，设，则，由勾股定理用表示，进而计算的值便可．【解析】解：延长与交于点，如图所示：

点A关于直线的对称点是点，，，，是等高底三角形，是等底，，点是的重心，，设，则，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了对称变换，三角形的重心性质，新定义，关键是根据三角形的重心性质得出与的数量关系．18．在中，，在中，，点D、E分别在、上．（1）如图1，若，则与的数量关系是；（2）若，将绕点A旋转至如图2所示的位置，则与的数量关系是．

【答案】【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理计算即可．（２）过点作交于点，求得，再证明列式计算即可．【解析】解：（1）

，

，

．故答案为：．（2）过点作交于点，，

，，，由，得：，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查旋转的相关知识，等腰三角形的相关知识，三角形相似的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质，直角三角形的性质是解题的关键．三、解答题19．如图，点D、E分别在的边和上，，，，，求的值．

【答案】36【分析】先证明，再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行求解即可．【解析】解：，，，∵，．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键．20．求证：相似三角形对应角平分线的比等于相似比．【答案】见解析【分析】先根据题意写出已知条件以及所需证明的结论，再根据相似三角形的判定与性质即可作答．【解析】已知：如图，，且相似比为，、分别是、的角平分线．求证：．证明：，，，；又、分别是、的角平分线，，，，，．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，正确的将命题转化是解答本题的关键．21．已知，在等腰中，，以的中点D为顶点作，分别交、于点E、F，，，求底边的长．

【答案】【分析】先证明，，即可证明，得出，根据，即可求出．【解析】解：，而，，又，，，，，，，，又，．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是证明．22．如图，在梯形ABCD中，，DF分别交对角线AC、底边BC于点E、F，且．(1)求证：；(2)点G在底边BC上，，，连接，如果与的面积相等，求的长．【答案】(1)见解析