专题17 等腰三角形与直角三角形（分层精练）（解析版）

专题17等腰三角形与直角三角形（分层精练）1．（2022•永州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，点D为边AC的中点，BD＝2，则BC的长为（）A． B．2 C．2 D．4【答案】C【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为边AC的中点，BD＝2，∴AC＝2BD＝4，∵∠C＝60°，∴∠A＝30°，∴BC＝AC＝2，故选：C．2．（2022•南充）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE＝5，DF＝3，则下列结论错误的是（）A．BF＝1 B．DC＝3 C．AE＝5 D．AC＝9【答案】A【解答】解：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DF⊥AB，∴∠1＝∠2，DC＝FD，∠C＝∠DFB＝90°，∵DE∥AB，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴AE＝DE，∵DE＝5，DF＝3，∴AE＝5，CD＝3，故选项B、C正确；∴CE＝＝4，∴AC＝AE+EC＝5+4＝9，故选项D正确；∵DE∥AB，∠DFB＝90°，∴∠EDF＝∠DFB＝90°，∴∠CDE+∠FDB＝90°，∵∠CDE+∠DEC＝90°，∴∠DEC＝∠FDB，∵tan∠DEC＝，tan∠FDB＝，∴，解得BF＝，故选项A错误；故选：A．3．（2021•襄阳）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈＝10尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度是多少？则水深为（）A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺【答案】C【解答】解：设水深为h尺，则芦苇长为（h+1）尺，根据勾股定理，得（h+1）2﹣h2＝（10÷2）2，解得h＝12，∴水深为12尺，故选：C．4．（2022•攀枝花）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形OABC．若OC＝，BC＝1，∠AOB＝30°，则OA的值为（）A． B． C． D．1【答案】A【解答】解：∵∠OBC＝90°，OC＝，BC＝1，∴OB＝＝＝2，∵∠A＝90°，∠AOB＝30°，∴AB＝OB＝1，∴OA＝＝＝，故选：A．5．（2022•鄂尔多斯）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（）A．2 B．2 C．4 D．4+2【答案】C【解答】解：过点E作EH⊥OA于点H，如图所示：∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，∴EH＝EC，∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，∴∠AOC＝2∠AOE＝30°，∵DE∥OB，∴∠ADE＝30°，∴DE＝2HE＝2EC，∵EC＝2，∴DE＝4，∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，∴∠DEO＝15°，∴∠AOE＝∠DEO，∴OD＝DE＝4，故选：C．6．（2022•宿迁）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm【答案】D【解答】解：当3cm是腰长时，3，3，5能组成三角形，当5cm是腰长时，5，5，3能够组成三角形．则三角形的周长为11cm或13cm．故选：D．7．（2022•杭州）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（）A．线段CD是△ABC的AC边上的高线 B．线段CD是△ABC的AB边上的高线 C．线段AD是△ABC的BC边上的高线 D．线段AD是△ABC的AC边上的高线【答案】B【解答】解：A、线段CD是△ABC的AB边上的高线，故本选项说法错误，不符合题意；B、线段CD是△ABC的AB边上的高线，本选项说法正确，符合题意；C、线段AD不是△ABC的BC边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；D、线段AD不是△ABC的AC边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；故选：B．8．（2022•湖州）如图，已知在锐角△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E是AD上一点，连结EB，EC．若∠EBC＝45°，BC＝6，则△EBC的面积是（）A．12 B．9 C．6 D．3【答案】B【解答】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴BD＝CD＝BC＝3，AD⊥BC，在Rt△EBD中，∠EBC＝45°，∴ED＝BD＝3，∴S△EBC＝BC•ED＝×6×3＝9，故选：B．9．（2022•永州）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明．如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则AE＝．【答案】3【解答】解：∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，∴AB＝BC＝CD＝DA＝5，EF＝FG＝GH＝HE＝1，根据题意，设AF＝DE＝CH＝BG＝x，则AE＝x﹣1，在Rt△AED中，AE2+ED2＝AD2，∴（x﹣1）2+x2＝52，解得：x1＝4，x2＝﹣3（舍去），∴x﹣1＝3，故答案为：3．10．（2022•黑龙江）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝．【答案】3【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∵AD平分∠CAB，∴CD＝DE，∴S△ABC＝AC•CD+AB•DE＝AC•BC，即×6•CD+×10•CD＝×6×8，解得CD＝3．故答案为：3．11．（2021•娄底）如图，△ABC中，AB＝AC＝2，P是BC上任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，若S△ABC＝1，则PE+PF＝．【答案】1【解答】解：如图所示，连接AP，则S△ABC＝S△ACP+S△ABP，∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，∴S△ACP＝AC×PF，S△ABP＝AB×PE，又∵S△ABC＝1，AB＝AC＝2，∴1＝AC×PF+AB×PE，即1＝×2×PF+×2×PE，∴PE+PF＝1，故答案为：1．12．（2021•岳阳）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈．问门高、宽各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）如图，设门高AB为x尺，根据题意，可列方程为．【答案】（x﹣6.8）2+x2＝102【解答】解：设门高AB为x尺，则门的宽为（x﹣6.8）尺，AC＝1丈＝10尺，依题意得：AB2+BC2＝AC2,即（x﹣6.8）2+x2＝102．故答案为：（x﹣6.8）2+x2＝102．13．（2021•杭州）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E．已知∠ABC＝60°，∠C＝45°．（1）求证：AB＝BD；（2）若AE＝3，求△ABC的面积．【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∠ABC＝60°，∴∠DBC＝∠ABC＝30°，∵∠C＝45°，∴∠ADB＝∠DBC+∠C＝75°，∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝75°，∴∠BAC＝∠ADB，∴AB＝BD；（2）解：在Rt△ABE中，∠ABC＝60°，AE＝3，∴BE＝＝，在Rt△AEC中，∠C＝45°，AE＝3，∴EC＝＝3，∴BC＝3+，∴S△ABC＝BC×AE＝．14．（2022•青岛）【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形、例如：如图①，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分别是BC和B'C'边上的高线，且AD＝A'D'、则△ABC和△A'B'C'是等高三角形．【性质探究】如图①，用S△ABC，S△A'B'C′分别表示△ABC和△A′B′C′的面积，则S△ABC＝BC•AD，S△A'B'C′＝B′C′•A′D′，∵AD＝A′D′∴S△ABC：S△A'B'C′＝BC：B'C'．【性质应用】（1）如图②，D是△ABC的边BC上的一点．若BD＝3，DC＝4，则S△ABD：S△ADC＝；（2）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：2，CD：BC＝1：3，S△ABC＝1，则S△BEC＝，S△CDE＝；（3）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：m，CD：BC＝1：n，S△ABC＝a，则S△CDE＝．【解答】解：（1）∵BD＝3，DC＝4，∴S△ABD：S△ADC＝BD：DC＝3：4，故答案为：3：4；（2）∵BE：AB＝1：2，∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：2，∵S△ABC＝1，∴S△BEC＝；∵CD：BC＝1：3，∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：3，∴S△CDE＝S△BEC＝×＝；故答案为：，；（3）∵BE：AB＝1：m，∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：m，∵S△ABC＝a，∴S△BEC＝S△ABC＝；∵CD：BC＝1：n，∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：n，∴S△CDE＝S△BEC＝•＝，故答案为：．15．（2022•怀化）如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN＝AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．（1）求证：MP＝NP；（2）若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．【解答】（1）证明：过点M作MQ∥BC，交AC于点Q，如图所示：在等边△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，∵MQ∥BC，∴∠AMQ＝∠B＝60°，∠AQM＝∠ACB＝60°，∠QMP＝∠N，∴△AMQ是等边三角形，∴AM＝QM，∵AM＝CN，∴QM＝CN，在△QMP和△CNP中，，∴△QMP≌△CNP（AAS），∴MP＝NP；（2）解：∵△AMQ是等边三角形，且MH⊥AC，∴AH＝HQ，∵△QMP≌△CNP，∴QP＝CP，∴PH＝HQ+QP＝AC，∵AB＝a，AB＝AC，∴PH＝a．16．（2022•张家界）如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝