无穷小量与无穷大量的比较

§5无穷小量与无穷大量的比较先看数列的情形．设是无穷小量，即：＝0，＝0．考虑可能出现各种情形：，，＝；，＝，＝；，，不存在是有界量，＝，＝，是无界量，但非无穷大，＝，＝，这时＝可见，有些无穷小量可以比较，但有些不能。定义3.10设＝0，＝0．(1)若存在>0，>0及正整数，使得当时，有0<≤≤，则称与是同阶的无穷小量；(2)若＝1，则称与为等价的无穷小量，记为～；(3)若＝0，则称为较高阶的无穷小量，或称是较低阶的无穷小最．记为＝o()．自然地，符号，就表示为无穷小量。与是同阶无穷小量若存在>0，>0及正整数，使得当时，有0<≤≤，则当充分大后，其绝对值互相被一常数倍限制着，即≤，≤，它们趋向于0的速度可以用常数倍来度量是比高阶的无穷小量＝o()＝0或其中，，当时，这表明趋于0的速度比快得多。与为等价无穷小量～＝1，其中，这表明：1、充分大时，于几乎相等。2、两个等价无穷小量之差是比其自身更高阶的无穷小量还要引进一个记号：＝如果是有界的，即≤如果几个常用结论：1、若＝与是同阶的＝且因为由极限的性质知＝>0则存在，当时，有或由得＝由得2、＝＝＝＝0≤＝3、例1、只要证是有界量2、只要证是无穷小量注意：上面的等式不可以反过来写！如果选定作为无穷小量的标准，若满足＝，其中是某个正常数，则称是阶无穷小量，这时＝＋是较高阶的无穷小量，我们把称为的主部。例－＝是阶的无穷小量，由于故其主部是.类似的概念也可转移到连续变量的函数极限．以为例．设＝0，＝0，当时与是同阶的无穷小量若存在>0，>0以及,当时，有≤≤当时与是等价的无穷小量＝1，～（）当时是较高阶的无穷小量＝0＝)（）．若存在，使得在有界＝)()．例判别下列等式是否正确（），（），（），（）解（），（），（）而，故（）是不正确的。二、几个常用的等价无穷小关系利用两个重要极限和函数的连续性，我们立即可以得到在自变量的趋向下，几个常用的等价无穷小关系（）（）（）（）（）（）（）（）意义：1、用直线代替曲线，以简单代替复杂。（在附近，可以用直线代替曲线）(在附近，可以用直线代替曲线）2、作无穷小等价代换，使许多复杂的极限都变得简单。例1注1在求极限过程中我们直接用代换了，用代换了，是因为例2问题1下面的解法对吗？因为当时，，所以问题2()，两者都是的一阶无穷小。但它们之差却是的三阶无穷小。是否两个的一阶等价无穷小之差总是的三阶无穷小？试考察例子：，，当时和都是的一阶等价无穷小，但即是的二阶无穷小。问题3两个同价无穷小之差是否一定是一个更高阶的无穷小。试考察例子：，当时和都是的一阶无穷小，但仍是的一阶无穷小。若和是等价无穷小量，则是比其自身更高阶无穷小量。事实上例5求极限．解因为～～，所以＝＝2总起来说，无穷小量的比较是用它们趋向于0的速度快慢来衡量的．这个观念是分析中十分重要的观念，现在还不能很好体会．以后学多了，便会逐步加深理解．无穷小量的阶是无止尽的．换句话说，任一无穷小量都存在比它更高阶的无穷小量，也存在比它更低阶的无穷小量．下面的数列中，后者是比前者更高阶的无穷小量；而且，相邻的两个无穷小量之间还可插入无穷小量，使得后者是比前者更高阶的无穷小量．…{}，{}，{}，{}，{}，{}，{}，…