解一元二次方程（因式分解法）（导学案）-九年级数学上册同步备课系列

学习目标1.利用因式分解法解一元二次方程；2.能根据一元二次方程的特征，灵活选择一元二次方程的解法；3.通过学生讨论解一元二次方程的方法，理解对于某些特殊的一元二次方程，利用因式分解法解起来较为简单，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度。让学生再次体会“降次”的思想，从而培养学生主动探究的精神与积极参与的意识。重点难点突破★知识点1：使一元二次方程转化为两个一次式乘积等于0的形式，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。★知识点2：通过因式分解法解一元二次方程的步骤：1.移项：使一元二次方程等式右边为0；2.分解：把左边运用因式分解法化为两个一次因式相乘的形式；3.赋值：令每个因式等于0，得到两个一元一次方程；4.求解：解这两个一元一次方程，最后得到方程的解。【归纳】左分解，右化零，两因式，各求解。★知识点3：解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次。核心知识1.使一元二次方程转化为___________________________的形式，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。2.通过因式分解法解一元二次方程的步骤：1）移项：使一元二次方程等式右边为___________；2）分解：把左边运用因式分解法化为__________________________的形式；3）赋值：令每个因式等于0，得到___________________________；4）求解：_______________________，最后得到方程的解。【归纳】左分解，右化零，两因式，各求解。3.解一元二次方程的基本思路是：_________________________________，即降次。思维导图复习巩固【提问】已经学过了哪些解一元二次方程的方法？【提问】多项式因式分解的方法有哪些？【问题】1.如果a×b=0，则a=_____或b=_______.2.如果两个因式的________，那么这两个因式中_____________；反之，如果两个因式中_________为0，那么它们的_____________。新知探究根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经过xs离地面的高度(单位：m)为10x-4.9x2。根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)?【问题】尝试用配方法和公式法求方程的解【提问】1.观察所列方程结构，能否找到更简单的方法求解方程？并尝试求解2.解方程时，二次方程是如何降为一次的？典例分析例1解下列方程？(1)x(x-2)=0(2)(x+2)(x-3)=0(3)(3x+6)(2x-4)=0(4)x2=x例2解下列方程:(1)x(x﹣2)+x﹣2=0(2)5x2﹣2x﹣14=x2﹣2x+【提问】简述通过因式分解法解一元二次方程的步骤。【针对训练】1．一元二次方程x2+px+q=0的两根为3、4，那么二次三项式A．(x+3)(x−4) B．C．(x−3)(x−2．三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣13x+36=0的一个根，则该三角形的周长为（）A．13 B．15 C．18 D．13或18【能力提升】1已知(x2+y2)(x2+y2-1)-6=0，则x2+y2的值是（）A．3或-2 B．-3或2 C．3 D．-22．已知△ABC中，AB=3，AC=5，第三边BC的长为一元二次方程x2﹣9x+20=0的一个根，则该三角形为_____三角形．3．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+2＝0有两个不相等实数根，且m为正整数，则此方程的解为（）A．x1＝﹣1，x2＝3 B．x1＝﹣1，x2＝﹣3C．x1＝1，x2＝3 D．x1＝1，x2＝﹣3新知讲解解一元二次方程的方法典例分析例2填空①x2-3x+1=0②3x2-1=0③-3t2+t=0④x2-4x=2⑤2x2-x=0⑥5(m+2)2=8⑦3y2-y-1=0⑧2x2+4x-1=0；⑨(x-2)2=2(x-2).1）适合运用直接开平方法；2）适合运用因式分解法；3）适合运用公式法；4）适合运用配方法.【提示】每个题都有多种解法，选择更合适的方法，可以简化解题过程！直击中考1（2022云南中考真题）方程2x2+1=3x的解为________．2．（2022贵港中考真题）若x=−2是一元二次方程x2A．0，−2 B．0，0 C．−2，−2 D．−2，0归纳小结1.本节课学习，你有哪些收获？请你用自己的语言描述分解因式法解一元二次方程的基本步骤吗？2.解一元二次方程的基本思路是什么？3.通过本节课的学习，你领悟到哪些数学思想方法？【参考答案】核心知识1.使一元二次方程转化为两个一次式乘积等于0的形式，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。2.通过因式分解法解一元二次方程的步骤：1.移项：使一元二次方程等式右边为0；2.分解：把左边运用因式分解法化为两个一次因式相乘的形式；3.赋值：令每个因式等于0，得到两个一元一次方程；4.求解：解这两个一元一次方程，最后得到方程的解。【归纳】左分解，右化零，两因式，各求解。3.解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次。复习巩固【提问】已经学过了哪些解一元二次方程的方法?直接开平方法：x2=a(a≥0)配方法：(x+m)2=n(n≥0)公式法：x=【提问】多项式因式分解的方法有哪些？①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)②平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)③完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2④“十”字相乘法：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)【问题】1.如果a×b=0，则a=__0___或b=____0___.2.如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反之，如果两个因式中任何一个为0，那么它们的积也等于0。新知探究根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经过xs离地面的高度(单位：m)为10x-4.9x2。根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)?【问题】尝试用配方法和公式法求方程的解设物体经过x秒落回地面，即10x-4.9x2=0①方法一：配方法解：移项得，4.9x2-10x=0系数化为1得，x2-10049配方得，x2-10049x+5049整理得，x−5049由此可得，x−5049则x1=0，这两个根中，x2≈2.04表示物体约在2.04s落回地面，而x1=0表示物体被上抛离开地面的时刻，即在0s时物体被抛出，此刻物体的高度是0m.方法二：公式法解：移项得，4.9x2-10x=0a=4.9，b=-10，c=0Δ=b2-4ac=100>0方程有两个不等的实数根x=−即x1=0，x2=100这两个根中，x2≈2.04表示物体约在2.04s落回地面，而x1=0表示物体被上抛离开地面的时刻，即在0s时物体被抛出，此刻物体的高度是0m.【提问】1.观察所列方程结构，能否找到更简单的方法求解方程？并尝试求解方法三：因式分解法解：因式分解得x(10-4.9x)=0∴x=0或10﹣4.9x=0即x1=0，x2=100这两个根中，x2≈2.04表示物体约在2.04s落回地面，而x1=0表示物体被上抛离开地面的时刻，即在0s时物体被抛出，此刻物体的高度是0m.2.解方程时，二次方程是如何降为一次的？因式分解，使一元二次方程转化为两个一次式乘积等于0的形式，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。典例分析例1解下列方程？(1)x(x-2)=0(2)(x+2)(x-3)=0(3)(3x+6)(2x-4)=0(4)x2=x答案：1)x1=0，x2=2；2)x1=-2，x2=3；3)x1=-2，x2=2；4)x1=0，x2=1.例2解下列方程:(1)x(x﹣2)+x﹣2=0(2)5x2﹣2x﹣14=x2﹣2x+1)解:因式分解得(x﹣2)(x+1)=0于是得x-2=0，或x+1=0∴x1=2，x2=﹣12)移项、合并同类项得4x2﹣1=0因式分解得(2x+1)(2x-1)=0于是得2x+1=0或2x﹣1=0∴x1=0.5，x2=﹣0.5【提问】简述通过因式分解法解一元二次方程的步骤。1.移项：使一元二次方程等式右边为0；2.分解：把左边运用因式分解法化为两个一次因式相乘的形式；3.赋值：令每个因式等于0，得到两个一元一次方程；4.求解：解这两个一元一次方程，最后得到方程的解。【