数学成长训练：向量在物理中的应用举例

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精主动成长夯基达标1.河水的流速为2m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为（)A.10m/sB。m/sC。m/sD.12m/s解析：由题意｜v水|=2m/s,|v船|=10m/s,作出示意图如图，∴|v｜=。答案：B2。已知两个力F1、F2的夹角为90°，它的合力大小为10N,合力与F1的夹角为60°,那么F1的大小为（）A。53NB。5NC.10ND。52N解析:由题意作出示意图,有|F1｜=｜F|cos60°=10×=5.答案：B3。某人到商店购买了4种商品,这4种商品的单价用一个向量表示为a=(5，10，21,6）(单位元）,对应的这4种商品的件数用一个向量表示为b=(3,3，2，1），则此人总共应付钱____________元。解析:所付钱数即a、b的数量积为a·b=（5,10,21，6)·（3,3,2,1）=15+30+42+6=93(元).答案：934.做匀速圆周运动的物体的速度为｜v0｜，当转过时，速度的改变量为_____________.解析：作出示意图如右:|Δv|=|v1-v0｜=|v0｜.答案：|v0｜5.人骑自行车的速度为a，风速为v2，则逆风行驶的速度为________________。解析：设无风时自行车的速度为v0，则a=v0+v2,故v0=a-v2,于是逆风时的速度为v0—v2=a—2v2。答案:a-2v26。平面上有两个向量e1=(1,0）,e2=(0，1)，今有动点P,从P0（-1，2)开始沿着与向量e1+e2相同的方向作匀速直线运动，速度大小为｜e1+e2｜，另一动点Q,从点Q0(—2，-1)出发,沿着与向量3e1+2e2相同的方向作匀速直线运动，速度大小为|3e1+2e2|,设P、Q在t=0秒时分别在P0、Q0处,则当⊥时，t=____________秒。解析：∵P0（—1,2），Q0（—2，—1），∴=(—1,-3).又∵e1+e2=(1,1),∴|e1+e2｜=2。∵3e1+2e2=(3，2)，∴|3e1+2e2｜=。∴当t时刻时,点P的位置为（—1+t，2+t），点Q的位置为(-2+3t，—1+2t）。∴=(-1+2t,-3+t）.∵⊥,∴（-1)×（-1+2t）+（—3）×（—3+t)=0。∴t=2.答案:27.已知一个与水平方向夹角为30°的力F，F的大小为50N,拉着一个重80N的木块在摩擦系数μ=0。02的水平面上运动了20米，求F与摩擦力f做功分别为多少？解:设木块位移为s,则F力所做的功为F·s=50×20×cos30°=（J）,F在沿直线方向的分解力大小为50×sin30°=25,故f的大小为（80—25）×0.02=1。1。所以f所做的功是f·s=1。1×20×cos180°=-22(J）.8.平面内三个力F1、F2、F3作用于同一点且处于平衡状态,已知|F1｜=1N，｜F2|=N,F1、F2的夹角为45°，求F3的大小及与F1的夹角.解:如图,设F1、F2的合力为F，则|F|=|F3|，∵∠F1OF2=45°,∴∠OF1F在△OF1F中,由余弦定理得=1+（)2-2×1××（-)=4+=（+1）2.∴｜｜=+1,即｜F3｜=1+。又由正弦定理得sin∠F1OF==,∴∠F1OF=30°，从而F1与F3的夹角为150°。∴F3的大小为（1+3）N，F3与F1的夹角为150°。9。已知两恒力F1（3，4)、F2(6,-5）作用于同一质点，使之由A（20，15)移动到点B(7，0),试求：（1）F1、F2分别对质点所做的功;（2）F1、F2的合力F对质点所做的功.解析：=（7，0)-（20,15)=(—13,-15），（1）W1=F1·=（3,4)·(-13，—15)=3×(—13)+4×（-15）=—99(焦),W2=F2·=（6，-5)·(—13，—15)=6×（—13）+(—5）×(-15）=—3（焦)。（2)W=f·=（F1+F2)·=［（3，4）+(6,—5)]·（-13,—15)=（9,—1）·（—13，-15)=9×(—13)+(-1)×（-15）=-117+15=—102（焦).10。一年轻的父亲欲将不会走路的小孩的两条胳膊悬空拎起，结果造成小孩胳膊受伤，试用向量知识加以解释.解析：针对小孩的两条胳膊画出受力图形,然后进行受力分析，并用向量表示。建立数学模型：通过胳膊受力分析，建立向量模型：|F1｜=，θ∈［0,π］来确定何种情形时,小孩的胳膊容易受损.解:设孩子自重为G,两胳膊受力分别为F1、F2，且F1=F2，两胳膊间夹角为θ，胳膊受力分析如图（不计其他因素产生的作用力)，不难建立向量模型：|F1｜=,θ∈［0,π］,当θ=0时,｜F1|=；当θ=时，|F1｜=｜G｜;又∈(0，)时，|F1｜单调递增，故θ∈（0，)时，|F1｜∈(,｜G｜），θ∈(，π）时，｜F1｜＞｜G｜,此时欲悬空拎着幼儿的胳膊，极易造成小孩胳膊受伤。走近高考11。(2004广西高考,7)用三根轻绳将质量为m的物块悬挂在空中，如图2-5-10所示。已知绳ac和bc与竖直方向的夹角分别为30°和60°，则绳ac和绳bc中的拉力分别为（）图2-5—10A.mg,mgB。mg，mgC。mg,mg