数学导学案：6三角函数模型的简单应用

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1。6三角函数模型的简单应用1．能正确分析收集到的数据,选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律；2．能根据实际问题的意义，利用三角函数模型解决有关问题，为决策提供依据．1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0,ω＞0)的图象与性质（1)图象的画法：“五点法”和变换法．(2)定义域：__。(3）值域：__________.当x＝________(k∈Z)时,y取最大值A＋b；当x＝________（k∈Z)时，y取最小值－A＋b.(4）周期：T＝__。(5)奇偶性：当且仅当φ＝kπ(k∈Z)时,函数y＝Asin(ωx＋φ)是__函数；当且仅当φ＝kπ＋eq\f(π，2）(k∈Z）时，函数y＝Asin(ωx＋φ）是__函数．(6）单调性：单调递增区间是eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（,\f（2kπ＋\f(π，2)－φ,ω)））(k∈Z）；单调递减区间是eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(,\f（2kπ＋\f(3π，2）－φ,ω）)）（k∈Z)．(7）对称性：函数图象与__轴的交点是对称中心，即对称中心是eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(kπ－φ,ω)，0))，对称轴与函数图象的交点的__坐标是函数的最值，即对称轴是直线x＝eq\f(kπ＋\f(π，2)－φ,ω),其中k∈Z。(8）对于函数y＝Asin（ωx＋φ)（A＞0,ω＞0)的图象,相邻的两个对称中心或两条对称轴相距__个周期；相邻的一个对称中心和一条对称轴相距周期的________．【做一做1－1】y＝7sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(π,6)x＋\f（π，6)））的周期与最大值分别是()A．12π，7 B．12π，－7 C．12，7 D．12，－【做一做1－2】函数f（x）＝sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（x＋\f(4π,3））)的一条对称轴方程为()A．x＝－eq\f（π，3) B．x＝eq\f(π,6) C．x＝eq\f(π，2） D．x＝eq\f（2π,3)【做一做1－3】f（x）＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(x∈R，A>0，|φ｜<\f（π,2)））的图象如图所示,则f（x)的解析式是__________．2．三角函数模型的应用（1）三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着重要作用．实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要用到计算器或计算机．(2)实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多门学科的知识才能完成，因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助解决问题．(3)建立三角函数模型的步骤如下：【做一做2】某地一天从6~14时的温度变化满足y＝10sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（π,8)t＋\f(3π,4)）)＋20，t∈［6,14］，则最高气温和最低气温分别是（）A．10，－10 B．20，－20 C．30,20 D．30，答案：1．（2)R[－A＋b，A＋b]eq\f(2kπ＋\f（π,2)－φ，ω)eq\f(2kπ－\f（π，2）－φ,ω）(4）eq\f（2π,ω）(5)奇偶(6）eq\f(2kπ－\f（π，2)－φ，ω）eq\f(2kπ＋\f(π，2)－φ，ω）(7)x纵（8)半四分之一【做一做1－1】C【做一做1－2】B【做一做1－3】f（x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(πx＋\f（π,6）））由图象得A＝2，周期T＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（5，6)－\f(1,3））)＝2，则eq\f（2π,ω）＝2，解得ω＝π.则有f(x)＝2sin（πx＋φ)，函数图象经过点eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1,3），2)），则feq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1,3））)＝2，即2＝2sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（π,3）＋φ)),则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（π，3)＋φ））＝1,又｜φ|＜eq\f(π,2)，则φ＝eq\f(π，6).【做一做2】D由6≤t≤14，得eq\f（3π，2）≤eq\f（π,8)t＋eq\f(3π，4）≤eq\f（5π,2），则sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(π，8)t＋\f(3π，4））)∈[－1,1］，可得ymin＝－10＋20＝10，ymax＝10＋20＝30.解三角函数应用题的步骤剖析：（1）审清题意，读懂题．三角函数应用题的语言形式多为文字语言和图形语言并用,阅读材料时要读懂题目所反映的实际问题的背景,领悟其中的数学本质，在此基础上分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题．（2）搜集整理数据，建立数学模型．根据搜集到的数据，找出变化规律,运用已掌握的三角知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个三角函数问题，实现问题的数学化，即建立三角函数模型．其中要充分利用数形结合的思想以及图形语言和符号语言并用的思维方式．（3）讨论变量关系．根据上一步中建立起来的变量关系，结合题目的要求，与已知数学模型的性质对照，转化为讨论y＝Asin（ωx＋φ)＋b的性质，从而得到所求问题的理论参考值．（4)作出结论．根据上一步得出的理论参考数值按题目要求作出相应的结论．题型一在生活中的应用【例1】如图，某动物种群数量12月1日低至700，6月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．（1）求出种群数量作为月份t的函数表达式;(2）估计当年3月1日动物的种群数量．分析:(1）根据曲线求出函数表达式;(2)由表达式求出当年3月1日即t＝3时对应的函数值．反思：在生活中，呈周期变化的现象,常用三角函数y＝Asin(ωx＋φ）＋b来描述,通过讨论其图象和性质来解决实际问题．题型二在物理中的应用【例2】交流电的电压E（单位:伏）与时间t(单位:秒）的关系可用E＝220eq\r(3）sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(100πt＋\f（π,6）)）来表示．求：(1)开始时的电压;（2）电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次获得这个最大值的时间．分析：(1)开始时的电压即t＝0时电压E的值；（2）电压值每周期重复出现一次；(3)电压的最大值可由关系式求出．反思：由于物理学中的单摆、光波、机械波、电流等都具有周期性，且均符合三角函数的相关知识，因此借助于三角函数模型来研究物理学中的相关知识是解答此类问题的关键．答案：【例1】解：（1)设种群数量y关于t的解析式为y＝Asin（ωx＋φ)＋b（A＞0，ω＞0)，则eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(－A＋b＝700，，A＋b＝900，））解得A＝100，b＝800，又周期T＝2(6－0）＝12,∴ω＝eq\f(2π，T）＝eq\f（2π，12)＝eq\f（π，6）。则有y＝100sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（π,6）t＋φ））＋800.又当t＝6时，y＝900，∴900＝100sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(π，6)×6＋φ）)＋800，∴sin（π＋φ)＝1，∴sinφ＝－1，∴取φ＝－eq\f(π,2).∴y＝100sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（π，6）t－\f(π,2)））＋800。(2）当t＝3时，y＝100sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（π,6)×3－\f（π,2）））＋800＝800，即当年3月1日种群数量约是800.【例2】解：（1）当t＝0时，E＝220eq\r（3)sineq\f（π，6）＝110eq\r(3）(伏)，即开始时的电压为110eq\r(3)伏．（2）T＝eq\f(2π，100π)＝eq\f（1,50)秒，即电压值重复出现一次的时间间隔为0。02秒．(3）电压的最大值为220eq\r（3）伏,令100πt＋eq\f(π,6）＝eq\f（π,2),解得t＝eq\f(1,300).即t＝eq\f（1，300）秒时第一次取得这个最大值．1．如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离scm和时间ts的函数解析式为s＝，那么单摆来回摆动一次所需的时间为__________s.2．如图表示电流I与时间t的关系I＝Asin(ωt＋φ)（A＞0，ω＞0)在一个周期内的图象，则该函数的解析式为(）A．I＝ B．I＝C．I＝ D．I＝3．如图为某简谐运动的图象,这个简谐运动需要__________s往复一次．的模型波动(x为月份），已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元，则f（x)＝__________。5．如图所示，摩天轮的半径为40m，O点距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每3min转一圈，（1）试确定在时刻tmin时P点距离地面的高度；(2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间P点距离地面超过70答案:1．1单摆来回摆动一次所用的时间为一个周期，即T＝＝1（s）．2．C由图象得周期T＝＝，最大值为300,经过点，则ω＝＝100π,A＝300,∴I＝300sin（100πt＋φ)．∴0＝。∴＝0，取φ＝.∴I＝.3．0。8由图象知周期T＝0.8－0