新高考数学专题复习专题14结构不良题型(数列)专题练习(学生版+解析)

专题14结构不良题型（数列）结构不良题型是新课改地区新增加的题型，所谓结构不良题型就是给出一些条件，另外的条件题目中给出三个，学生可以从中选择1个或者2个作为条件，进行解题。数列部分主要涉及到数列的求和以及与不等式有关的问题。一、题型选讲题型一、数列中的求和问题例1、（江苏省南京市2021届高三上学期期初学情调研）已知数列是公比为2的等比数列，其前n项和为，（1）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充到上述题干中．求数列的通项公式，并判断此时数列是否满足条件P：任意m，n，均为数列中的项，说明理由；（2）设数列满足，n，求数列的前n项和．注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．例2、（湖北黄冈地区高三联考）已知函数（k为常数，且）．（1）在下列条件中选择一个，使数列是等比数列，说明理由；①数列是首项为2，公比为2的等比数列；②数列是首项为4，公差为2的等差数列；③数列是首项为2，公差为2的等差数列的前n项和构成的数列．（2）在（1）的条件下，当时，设，求数列的前n项和.例3、（2021年辽宁锦州联考）在①，②，，③这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．设等差数列的前项和为，数列为等比数列，_____，．求数列的前项和．例4、（江苏省扬州2021届高三上学期期初学情调研）在①，，成等差数列，②，，成等比数列，③，三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．已知为数列的前n项和，，(n)，，且．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前n项和．题型二、数列中的不等式问题例5、（江苏省南通2021届高三上学期期初学情调研）在①为等比数列，,②为等差数列，,③为等比数列，。这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并作答。已知数列满足,数列满足____________,为数列的前项和,是否存在正整数,使得成立?若存在,求出的最小值；若不存在,请说明理由。例6、（2021年湖北咸阳中学联考）在①，②，③三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．在已知等比数列的公比前项和为，若_____，数列满足．（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和，并证明．例7、（2021年湖北仙桃中学模拟）在①，②这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并给出解答．已知数列的前项和为，满足____，____；又知正项等差数列满足，且，，成等比数列．（1）求和的通项公式；（2）证明：．二、达标训练1、在等差数列中，已知，．（1）求数列的通项公式；（2）若____，求数列的前项和．在①，②，③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解．2、在①，②，③三个条件中任选两个，补充到下面问题中，并解答．已知等差数列的前项和为，满足：，．（1）求的最小值；（2）设数列的前项和，证明：．3、从条件①，②，③，中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答．已知数列的前项和为，，_____．若，，成等比数列，求的值．4、在①，；②；③，是与的等比中项，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．已知为等差数列的前项和，若____．（1）求；（2）记，求数列的前项和．专题14结构不良题型（数列）结构不良题型是新课改地区新增加的题型，所谓结构不良题型就是给出一些条件，另外的条件题目中给出三个，学生可以从中选择1个或者2个作为条件，进行解题。数列部分主要涉及到数列的求和以及与不等式有关的问题。一、题型选讲题型一、数列中的求和问题例1、（江苏省南京市2021届高三上学期期初学情调研）已知数列是公比为2的等比数列，其前n项和为，（1）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充到上述题干中．求数列的通项公式，并判断此时数列是否满足条件P：任意m，n，均为数列中的项，说明理由；（2）设数列满足，n，求数列的前n项和．注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：（1）选=1\*GB3①，因为S1＋S3＝2S2＋2，所以S3－S2＝S2－S1＋2，即a3＝a2＋2，又数列{an}是公比为2的等比数列，所以4a1＝2a1＋2，解得a1＝1，因此an＝1×2n－1＝2n－1．此时任意m，n∈N*，aman＝2m－1·2n－1＝2m＋n－2，由于m＋n－1∈N*，所以aman是数列{an}的第m＋n－1项，因此数列{an}满足条件P．选=2\*GB3②，因为S3＝eq\F(7,3)，即a1＋a2＋a3＝eq\F(7,3)，又数列{an}是公比为2的等比数列，所以a1＋2a1＋4a1＝eq\F(7,3)，解得a1＝eq\F(1,3)，因此an＝eq\F(1,3)×2n－1．此时a1a2＝eq\F(2,9)＜a1≤an，即a1a2不为数列{an}中的项，因此数列{an}不满足条件P．选=3\*GB3③，因为a2a3＝4a4，又数列{an}是公比为2的等比数列，所以2a1×4a1＝4×8a1，又a1≠0，故a1＝4，因此an＝4×2n－1＝2n＋1．此时任意m，n∈N*，aman＝2m＋1·2n＋1＝2m＋n＋2，由于m＋n＋1∈N*，所以aman是为数列{an}的第m＋n＋1项，因此数列{an}满足条件P．（2）因为数列{an}是公比为2的等比数列，所以eq\F(an＋1,an)＝2，因此bn＝n×2n－1．所以Tn＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n×2EQ\s\up4(n－1)，则2Tn＝1×21＋2×22＋…＋(n－1)×2EQ\s\up4(n－1)＋n×2EQ\s\up4(n)，两式相减得－Tn＝1＋21＋22＋…＋2EQ\s\up4(n－1)－n×2EQ\s\up4(n)＝EQ\F(1－2n,1－2)－n×2EQ\s\up4(n)＝(1－n)2EQ\s\up4(n)－1，所以Tn＝(n－1)2EQ\s\up4(n)＋1．例2、（湖北黄冈地区高三联考）已知函数（k为常数，且）．（1）在下列条件中选择一个，使数列是等比数列，说明理由；①数列是首项为2，公比为2的等比数列；②数列是首项为4，公差为2的等差数列；③数列是首项为2，公差为2的等差数列的前n项和构成的数列．（2）在（1）的条件下，当时，设，求数列的前n项和.【解析】（1）①③不能使成等比数列.②可以：由题意，………1分即，得，且，.………3分常数且，为非零常数，数列是以为首项，为公比的等比数列．………4分（2）由（1）知，所以当时，. ………5分因为，所以，所以，………7分.……10分例3、（2021年辽宁锦州联考）在①，②，，③这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．设等差数列的前项和为，数列为等比数列，_____，．求数列的前项和．解：选①：当时，，当时，，又满足，所以．设的公比为，又因为，得，，所以；由数列的前项和为，又可知，数列的前项和为，故．选②：设公差为，由解得所以．设的公比为，又因为，得，，所以．由数列的前项和为，又可知，数列的前项和为，故．选③：由，，所以，所以．设的公比为，又因为，得．由数列的前项和为，又可知，数列的前项和为，故．例4、（江苏省扬州2021届高三上学期期初学情调研）在①，，成等差数列，②，，成等比数列，③，三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．已知为数列的前n项和，，(n)，，且．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前n项和．题型二、数列中的不等式问题例5、（江苏省南通2021届高三上学期期初学情调研）在①为等比数列，,②为等差数列，,③为等比数列，。这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并作答。已知数列满足,数列满足____________,为数列的前项和,是否存在正整数,使得成立?若存在,求出的最小值；若不存在,请说明理由。解：由可得,,两式相减可得,,所以,当时,由可得,,满足,所以,若选①可得,所以,此时,可得,,可得,所以存在最小值为.若选②,可得，所以，此时可得，，所以存在最小值为10若选③,可得，所以，此时所以那么两式相减得，所以不存在整数k例6、（2021年湖北咸阳中学联考）在①，②，③三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．在已知等比数列的公比前项和为，若_____，数列满足．（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和，并证明．解：（1）若选择①，可得，化为，解得舍去），又因为，，解得，所以，；选择②，可得，解得，又，解得，可得，又因为，，解得，所以，；选择③，可得，即，解得，又因为，，解得，所以，；（2）证明：，，由，可得．例7、（2021年湖北仙桃中学模拟）在①，②这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并给出解答．已知数列的前项和为，满足____，____；又知正项等差数列满足，且，，成等比数列．（1）求和的通项公式；（2）证明：．解：选择①②：（1）解：由当时，有，两式相减得：，即，．又当时，有，又，，也适合，所以数列是首项、公比均为的等比数列，所以；设正项等差数列的公差为，，且，，成等比数列，，即，解得：或（舍，，故，．（2）证明：由（1）可得，．选择：②③：（1）解：由当时，，两式相减得：，即，．又当时，有，又，，也适合，所以数列是首项、公比均为的等比数列，所以；设正项等差数列的公差为，，且，，成等比数列，，即，解得：或（舍，，故，．（2）证明：由（1）可得，．二、达标训练1、在等差数列中，已知，．（1）求数列的通项公式；（2）若____，求数列的前项和．在①，②，③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解．解：（1）由题意，设等差数列的公差为，则，解得，，．（2）方案一：选条件①由（1）知，，．方案二：选条件②由（1）知，，，当为偶数时，，，当为奇数时，为偶数，，，；方案三：选条件③由（1）知，，，，两式相减，可得．．2、在①，②，③三个条件中任选两个，补充到下面问题中，并解答．已知等差数列的前项和为，满足：，．（1）求的最小值；（2）设数列的前项和，证明：．解：（1）①若选择②③；由题知：，又因为，所以．所以，解得．所以．所以，所以②若选择①②；由题知：，又因为，所以．所以，．所以．所以，所以③若选择①③；由题知：，所以由题知：，所以所以，．所以．所以，所以．证明（2）因为，所以所以．3、从条件①，②，③，中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答．已知数列的前项和为，，_____．若，，成等比数列，求的值．解：选择①，，相减可得：，，，可得：．．，，成等比数列，，，，解得．选择②，变形得：，，化为：，数列是等差数列，首项为1，公差为1．，解得．时，．，