专题04直线中的最值、对称、反射问题(原卷版+解析)

1/3专题04直线中的最值、对称、反射问题题型一最值问题1．点到直线距离的最大值为A．1 B． C． D．22．在平面直角坐标系中，从点向直线作垂线，垂足为，则点与点的距离的最小值是A． B． C． D．173．已知直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则三角形面积的最小值为．4．若，为正实数，直线与直线互相垂直，则的最大值为A． B． C． D．5．过点的动直线和过点的动直线交于点（点异于、，且，则的最大值是A． B．5 C． D．6．设直线的方程为．（1）若在两坐标轴上的截距相等，求的一般式方程；（2）若与轴正半轴的交点为，与轴负半轴的交点为，求为坐标原点）面积的最小值．题型二对称问题7．与直线关于轴对称的直线的方程是A． B． C． D．8．点关于直线的对称点是A． B． C． D．9．已知点，直线，点关于直线的对称点的坐标是．10．直线关于对称的直线方程是A． B． C． D．11．已知点与关于直线对称，则，的值分别为A．1，3 B． C．，0 D．，12．与直线关于坐标原点对称的直线方程为A． B． C． D．13．点关于直线对称的点的坐标为．14．直线关于对称的直线方程是A． B． C． D．15．直线的倾斜角为，则直线关于直线对称的直线的倾斜角不可能为A． B． C． D．16．已知直线，直线与关于直线对称，则直线的斜率为A． B． C． D．题型三光的反射问题17．一束光线从点射向轴上一点，又从点以轴为镜面反射到轴上一点，最后从点以轴为镜面反射，该光线经过点，则该光线从点运行到点的距离为A． B．13 C． D．1218．一条经过点的入射光线的斜率为，若入射光线经轴反射后与轴交于点，为坐标原点，则的面积为A．16 B．12 C．8 D．619．光线沿直线入射到直线后反射，则反射光线所在直线的方程为．20．光线沿直线射入，遇直线后反射，求反射光线所在的直线方程．21．光线通过点，在直线上反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为A． B． C． D．22．已知光线通过点，被直线反射，反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是．23．如图，已知，，，，，一束光线从点出发射到上的点，经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则直线的斜率的取值范围为A． B． C． D．24．在等腰直角三角形中，，点是边边上异于的一点，光线从点出发，经，反射后又回到点（如图），若光线经过的重心，则三角形周长等于A． B． C． D．1/10专题04直线中的最值、对称、反射问题题型一最值问题1．点到直线距离的最大值为A．1 B． C． D．2【解答】解：方法一：因为点到直线距离；要求距离的最大值，故需；，当且仅当时等号成立，可得，当时等号成立．方法二：由可知，直线过定点，记，则点到直线距离．故选：．2．在平面直角坐标系中，从点向直线作垂线，垂足为，则点与点的距离的最小值是A． B． C． D．17【解答】解：直线过定点，，可知点是在以为直径的圆上，又，可得：，故选：．3．已知直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则三角形面积的最小值为4．【解答】解：设、，，，，方程为，点代入得，（当且仅当，时，等号成立），故三角形面积，故答案为4．4．若，为正实数，直线与直线互相垂直，则的最大值为A． B． C． D．【解答】解：由直线与直线互相垂直，所以，即；又、为正实数，所以，即，当且仅当，时取“”；所以的最大值为．故选：．5．过点的动直线和过点的动直线交于点（点异于、，且，则的最大值是A． B．5 C． D．【解答】解：因为，则，所以，则，当且仅当时取等号，所以的最大值为．故选：．6．设直线的方程为．（1）若在两坐标轴上的截距相等，求的一般式方程；（2）若与轴正半轴的交点为，与轴负半轴的交点为，求为坐标原点）面积的最小值．【解答】解：（1）对于直线的方程为，当直线经过原点时，，求得，此时它的方程为；当直线不经过原点时，它的方程即，由于它两坐标轴上的截距相等，故有，求得，它的方程为，综上可得，的一般式方程为，或．（2）与轴正半轴的交点为，与轴负半轴的交点为，的横坐标，的纵坐标，求得．求为坐标原点）面积的为，当且仅当时，取等号，故为坐标原点）面积的最小值为6．题型二对称问题7．与直线关于轴对称的直线的方程是A． B． C． D．【解答】解：设所求对称直线的点的坐标，关于轴的对称点的坐标在已知的直线上，所以所求对称直线方程为：．故选：．8．点关于直线的对称点是A． B． C． D．【解答】解：设点关于直线的对称点是，则有，解得，，故点关于直线的对称点是．故选：．9．已知点，直线，点关于直线的对称点的坐标是．【解答】解：设点关于直线的对称点的坐标为，则，解得，，故点，故答案为：．10．直线关于对称的直线方程是A． B． C． D．【解答】解：因为直线即的斜率为1，故有将其代入直线即得：，整理即得．故选：．11．已知点与关于直线对称，则，的值分别为A．1，3 B． C．，0 D．，【解答】解：因为点与关于直线对称，所以直线与直线垂直且线段的中点在直线上，直线的斜率为，线段的中点为，则有，解得．故选：．12．与直线关于坐标原点对称的直线方程为A． B． C． D．【解答】解：设直线点，关于点对称的直线上的点，所求直线关于点的对称直线为，由中点坐标公式得，；解得，代入直线，得，整理得：，即所求直线方程为：．故选：．13．点关于直线对称的点的坐标为．【解答】解：设所求的对称点为，则，解得，故所求对称点的坐标为．故答案为：．14．直线关于对称的直线方程是A． B． C． D．【解答】解：直线的图象关于对称，可得对称直线方程为：，即可．故选：．15．直线的倾斜角为，则直线关于直线对称的直线的倾斜角不可能为A． B． C． D．【解答】解：设直线的倾斜角为，则，，，直线和直线关于直线对称，则也关于对称，故或，当，故选项正确；当，故选项正确；当，故选项正确．故选：．16．已知直线，直线与关于直线对称，则直线的斜率为A． B． C． D．【解答】解：联立，解得，，所以直线与直线的交点坐标为，，设直线的方程为，即，在直线上取点，由题设知点到直线，的距离相等，所以由点到直线的距离得，化简得，解得或，当时，直线为，与重合，舍，所以．故选：．题型三光的反射问题17．一束光线从点射向轴上一点，又从点以轴为镜面反射到轴上一点，最后从点以轴为镜面反射，该光线经过点，则该光线从点运行到点的距离为A． B．13 C． D．12【解答】解：如图，点关于轴对称的点为，点关于轴对称的点为，则该光线从点运行到点的距离为．故选：．18．一条经过点的入射光线的斜率为，若入射光线经轴反射后与轴交于点，为坐标原点，则的面积为A．16 B．12 C．8 D．6【解答】解：设直线与轴交于点，因为的方程为，所以点的坐标为，从而反射光线所在直线的方程为，易求，所以的面积为，故选：．19．光线沿直线入射到直线后反射，则反射光线所在直线的方程为．【解答】解：由得，故入射光线与反射轴的交点为，在入射光线上再取一点，则点关于反射轴的对称点在反射光线上．，解得，，根据、两点的坐标，用两点式求得反射光线的方程为：，即．故答案为：．20．光线沿直线射入，遇直线后反射，求反射光线所在的直线方程．【解答】解：由得，故入射光线与反射轴的交点为，在入射光线上再取一点，则点关于反射轴的对称点在反射光线上．，解得，，，根据、两点的坐标，用两点式求得反射光线的方程为：，即．所求反射光线所在的直线方程为．21．光线通过点，在直线上反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为A． B． C． D．【解答】解：根据光学性质可知点关于直线的对称点在反射光线所在直线上，由两点式可得反射光线所在直线方程为：，化简得：．故选：．22．已知光线通过点，被直线反射，反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是．【解答】解：光线通过点，直线的对称点，即，，，的斜率为6，反射光线所在直线的方程是，故答案为：，23．如图，已知，，，，，一束光线从点出发射到上的点，经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则直线的斜率的取值范围为A． B． C． D．【解答】解：，，，直线方程为，直线方程为如图，作关于的对称点，，，再作关于的对称点，则，连接、交与点，则直线方程为，连接、分别交为点、，则直线方程为，直线方程为，，，连接，，则，之间即为点的变动范围．直线方程为，直线的斜率为斜率的范围为故选：．24．在等腰直角三角形中，，点是边边上异于的一点，光线从点出发，经，反射后又回到点（如图），若光线经过的重心，则三角形周长等于A． B． C． D．【解答】解：以所在直线