第4章 新高考新题型微课堂　5　多选题命题热点之解三角形-2022届高三数学一轮复习讲义（新高考）

五多选题命题热点之解三角形以三角形为载体，以正弦定理、余弦定理为工具，以三角恒等变换为手段来考查解三角形问题是多选题中的一类热点题型，主要考查内容有正弦定理、余弦定理、三角形面积的计算、三角恒等变换和三角函数的性质．解题时通常交替使用正弦定理、余弦定理，利用函数与方程思想等进行求解．三角形边、角、周长和面积的计算(多选题)(2020·烟台模拟)在△ABC中，D在线段AB上，且AD＝5，BD＝3.若BC＝2CD，cos∠CDB＝－eq\f(\r(5),5)，则()A．sin∠CDB＝eq\f(3,10)B．△ABC的面积为8C．△ABC的周长为8＋4eq\r(5)D．△ABC为钝角三角形BCD解析：由cos∠CDB＝－eq\f(\r(5),5)得sin∠CDB＝eq\r(1－\f(1,5))＝eq\f(2\r(5),5)，故A错误；设CD＝x，CB＝2x，在△CBD中，由余弦定理得，cos∠CDB＝eq\f(9＋x2－4x2,6x)＝－eq\f(\r(5),5)，整理得，5x2－2eq\r(5)x－15＝0，解得x＝eq\r(5)或x＝－eq\f(3\r(5),5)(舍)，即CD＝eq\r(5)，BC＝2eq\r(5)，所以S△ABC＝S△BCD＋S△ADC＝eq\f(1,2)×3×eq\r(5)×eq\f(2\r(5),5)＋eq\f(1,2)×5×eq\r(5)×eq\f(2\r(5),5)＝8，故B正确；由余弦定理得，cosB＝eq\f(BC2＋BD2－CD2,2BC·BD)＝eq\f(BC2＋AB2－AC2,2BC·AB)，即eq\f(20＋9－5,2×3×2\r(5))＝eq\f(20＋64－AC2,2×8×2\r(5))，解得AC＝2eq\r(5)，故△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝8＋2eq\r(5)＋2eq\r(5)＝8＋4eq\r(5)，故C正确；由余弦定理得，cos∠ACB＝eq\f(20＋20－64,2×2\r(5)×2\r(5))＝－eq\f(3,5)<0，故∠ACB为钝角，D正确．故选BCD.解答三角形面积周长问题要注意的问题(1)利用正弦、余弦定理建立三角形中的边和角的关系，并能恰当地进行边角互化；(2)根据题目条件和所求结论选择正弦定理、余弦定理或三角形的面积公式；(3)注意三角形内角的特点．在△ABC中，因为A＋B＋C＝π，所以sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC，tan(A＋B)＝－tanC，sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)，coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2).(多选题)(2020·山东全真模拟)四边形ABCD内接于圆O，AB＝CD＝5，AD＝3，∠BCD＝60°，则()A．四边形ABCD为梯形B．圆O的直径为7C．四边形ABCD的面积为eq\f(55\r(3),4)D．△ABD的三边长度可以构成一个等差数列ACD解析：如图．因为AB＝CD＝5，AD＝3，∠BCD＝60°，所以∠BAD＝120°，连接BD，AC.易得△BAD≌△CDA，所以∠BAD＝∠CDA＝120°，所以∠BCD＋∠CDA＝180°，所以BC∥AD.显然AB不平行于CD，即四边形ABCD为梯形，故A正确．在△BAD中，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD，所以BD2＝52＋32－2×5×3cos120°＝49，所以BD＝7，所以圆的直径不可能是7，故B错误．在△BCD中，由余弦定理得BD2＝CB2＋CD2－2CB·CDcos∠BCD，所以72＝CB2＋52－2×5×CBcos60°，解得CB＝8或CB＝－3(舍去)．因为S△BAD＝eq\f(1,2)AB·ADsin120°＝eq\f(1,2)×5×3×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(15\r(3),4)，S△BCD＝eq\f(1,2)CB·CDsin60°＝eq\f(1,2)×5×8×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(40\r(3),4)，所以S四边形ABCD＝S△BAD＋S△BCD＝eq\f(15\r(3),4)＋eq\f(40\r(3),4)＝eq\f(55\r(3),4)，故C正确．在△ABD中，AD＝3，AB＝5，BD＝7，满足AD＋BD＝2AB，所以△ABD的三边长度可以构成一个等差数列，故D正确．故选ACD.解三角形与三角函数的综合(多选题)(2020·山东模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.()A．若2cosC(acosB＋bcosA)＝c，则C＝eq\f(π,3)B．若2cosC(acosB＋bcosA)＝c，则C＝eq\f(π,6)C．若边BC上的高为eq\f(\r(3),6)a，则当eq\f(c,b)＋eq\f(b,c)取得最大值时，A＝eq\f(π,3)D．若边BC上的高为eq\f(\r(3),6)a，则当eq\f(c,b)＋eq\f(b,c)取得最大值时，A＝eq\f(π,6)AC解析：因为2cosC(acosB＋bcosA)＝c，所以由正弦定理得2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC，所以2cosCsin(A＋B)＝2cosCsinC＝sinC.因为sinC≠0，所以cosC＝eq\f(1,2).因为C∈(0，π)，所以C＝eq\f(π,3)，所以A正确，B错误．因为边BC上的高为eq\f(\r(3),6)a，所以eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)·a·eq\f(\r(3)a,6)，所以a2＝2eq\r(3)bcsinA.因为cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，所以b2＋c2＝a2＋2bccosA＝2eq\r(3)bc·sinA＋2bccosA，所以eq\f(c,b)＋eq\f(b,c)＝eq\f(b2＋c2,bc)＝2eq\r(3)sinA＋2cosA＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6)))≤4，当A＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)时等号成立，此时A＝eq\f(π,3)，故C正确，D错误．故选AC.解答三角形边、角问题的关注点(1)正确应用所学知识“翻译”题目条件，根据题目条件和要求选择正弦或余弦定理求解；(2)注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是解决问题的突破口．(3)重视等价转化、函数方程思想的应用．(多选题)在△ABC中，下列命题正确的有()A．若A＝30°，b＝4，a＝5，则△ABC有两个解B．若0<tanAtanB<1，则△ABC一定是钝角三角形C．若cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)＝1，则△ABC一定是等边三角形D．若a－b＝ccosB－ccosA，则△ABC是等腰或直角三角形BCD解析：由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，即eq\f(5,\f(1,2))＝eq\f(4,sinB)，得sinB＝eq\f(2,5).因为b<a，所以B<A，所以B为锐角，所以△ABC有一个解，故选项A错误．若0<tanAtanB<1，则tanA>0且tanB>0，所以A，B为锐角，tan(A＋B)＝eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)>0，所以tanC＝－eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＜0，C为钝角，△ABC一定是钝角三角形，故选项B正确．若cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)＝1，则cos(A－B)＝cos(B－C)＝cos(C－A)＝1，即A－B＝B－C＝C－A＝0，所以A＝B＝C，所以△ABC一定是等边三角形，故选项C正确．若a－b＝ccosB－ccosA，