第3讲利用导数研究函数的性质(原卷版+解析)

第3讲利用导数研究函数的性质【题型精讲】题型一：导数的几何意义1．（2021·陕西·西安中学高三期中）若函数存在平行于轴的切线，则实数取值范围是（）A． B． C． D．2．（2021·河南驻马店·模拟预测（文））已知函数，则曲线在点处的切线方程为（）A． B． C． D．3．（2021·江西·赣州市赣县第三中学高三期中（文））已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是（）A． B．C． D．4．（2021·全国·高三专题练习）点P在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（）A． B．C． D．5．（2021·安徽·六安市裕安区新安中学高三月考（理））函数存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．6．（2021·全国·高三专题练习）若函数在点处的切线方程为，则函数的增区间为（）A． B． C． D．题型二：利用导数研究函数的单调性1、与函数的单调区间有关的问题1．（2021·西藏·林芝市第二高级中学高三月考（理））函数的单调递增区间是（）A． B． C． D．2．（2021·河南·高三月考（文））若函数存在递减区间，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．3．（2021·北京·潞河中学高三月考）函数在单调递增的一个必要不充分条件是（）A． B． C． D．4．（2021·西藏·拉萨中学高三月考（文））函数是上的单调函数，则的范围是（）A． B． C． D．5．（2021·全国·高三月考（理））若的单调减区间是，则的值是（）A． B． C． D．6．（2021·全国·高三月考（文））函数在上单调递减则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．7．（2021·宁夏·中宁一中高三月考（理））若在上是减函数，则的取值范围是（）A． B． C． D．8．（2021·江西宜春·模拟预测（文））“”是“函数在上单调递增”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．（2021·浙江·高三专题练习）若函数在区间单调递增，则的取值范围是（）A． B． C． D．10．（2021·重庆市清华中学校高三月考）函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．2、构造函数比较大小或解不等式1．（2021·山西大附中高三月考（理））已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是（）A． B． C． D．2．（2021·江西赣州·高三期中（理））已知定义在上的函数满足且有，则的解集为（）A． B． C． D．3．（2021·陕西渭南·高三月考（理））已知定义在上的奇函数的导函数为，且，则（）A． B．C． D．4．（2021·内蒙古宁城·高三月考（文））已知函数对任意的满足（其中为函数的导函数），则下列不等式成立的是（）A． B．C． D．5．（2021·云南·昆明一中高三月考（理））已知定义在上的函数的导函数为，，则下列不等关系成立的是（）A． B．C． D．6．（2021·四川·成都外国语学校高三月考（文））设是定义在上的可导函数，且满足，对任意的正数，下面不等式恒成立的是（）A． B． C． D．7．（2021·云南·峨山彝族自治县第一中学高三月考（文））定义在上的函数，其导函数为，若恒有，则下列不等式成立的是（）A． B．C． D．8．（2021·江苏·苏州中学高三月考）已知奇函数是定义在上的可导函数，其导函数为，当时，有，则不等式的解集为（）A． B．C． D．9．（2021·河南省信阳市第二高级中学高三月考（理））已知定义在上的函数满足：对任意恒成立，其中为的导函数，则不等式的解集为（）A． B．C． D．10．（2021·新疆喀什·模拟预测）定义在上的偶函数存在导数，且当时，有恒成立，若，则实数的取值范围是（）A．， B．C． D．，，题型三：利用导数研究函数的极值、最值1．（2021·河南·高三月考（理））函数的极大值为（）A． B． C．0 D．2．（2021·河南南阳·高三期中（理））已知函数在处取得极小值，若，，使得，且，则的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．63．（2021·山西太原·高三期中）若是函数的极值点，则函数（）A．有最小值，无最大值 B．有最大值，无最小值C．有最小值，最大值 D．无最大值，无最小值4．（2021·安徽·六安市裕安区新安中学高三月考（文））如图是函数的大致图象，则（）A． B． C． D．5．（2021·全国·高三月考（理））已知函数若时，恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．6．（2021·湖北·高三月考）已知函数，若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．7．（2021·江苏·泰州中学高三月考）已知函数，若存在实数，满足，且，则的最大值为（）A． B．C． D．18．（2021·浙江·高三月考）已知，函数的最小值为，则的最小值为（）A． B． C． D．9．（2021·重庆市第七中学校高三月考）“当时，不等式恒成立”的一个必要不充分条件为（）A． B．C． D．10．（2021·北京·潞河中学高三月考）若函数在上的最大值为2，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【课后精练】一、单选题1．（2021·北京交通大学附属中学高三开学考试）已知是定义在上的偶函数，当时，，且，则不等式的解集是（）A． B．C． D．2．（2021·河南·高三月考（文））函数的极大值为（）A． B．C． D．3．（2021·全国·高三月考（文））函数在上单调递减则实数的取值范围为（）A． B． C． D．4．（2021·北京·潞河中学高三月考）函数在单调递增的一个必要不充分条件是（）A． B． C． D．5．（2021·甘肃·嘉峪关市第一中学模拟预测（文））已知函数，有两个极值点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．6．（2021·山东·嘉祥县第一中学高三期中）已知函数（其中是自然对数的底数），若，，，则的大小关系为（）A． B．C． D．7．（2021·陕西·泾阳县教育局教学研究室高三期中（文））已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式的解集是（）A． B．C． D．8．（2021·广东深圳·高三月考）已知函数若函数有三个零点，则（）A． B． C． D．二、多选题9．（2021·湖北·高三月考）已知函数．则下列说法正确的是（）A．当时，B．当时，直线与函数的图象相切C．若函数在区间上单调递增，则D．若在区间上恒成立，则10．（2021·辽宁沈阳·高三月考）已知函数(其中是自然对数的底数)，函数有三个零点，则（）A．实数的取值范围为B．实数的取值范围为C．的取值范围为D．的取值范围为11．（2021·重庆·高三月考）定义域在R上函数的导函数为，满足，，则下列正确的是（）A． B．C． D．12．（2021·全国·高三专题练习）已知函数，，是其导函数，恒有，则（）A． B．C． D．三、填空题13．（2021·江西赣州·高三期中（理））已如函数，若.则的取值范围为___________.14．（2021·陕西·西安中学高三月考（理））已知函数，若对于任意的且，都有成立，则的取值范围是________.15．（2021·宁夏·固原一中高三期中（文））已知函数是定义在上的偶函数，，，则不等式的解集为______．16．（2021·陕西·千阳县中学二模（理））已知函数，则的值域是___________.设函数，若对于任意实数，总存在，使得成立，则实数的取值范围是__________第3讲利用导数研究函数的性质【题型精讲】题型一：导数的几何意义1．（2021·陕西·西安中学高三期中）若函数存在平行于轴的切线，则实数取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：因为函数存在平行于轴的切线，所以在上有解，即在上有解，因为，所以，故选：C.2．（2021·河南驻马店·模拟预测（文））已知函数，则曲线在点处的切线方程为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：∵的导数为，∴．∵，∴曲线在点处的切线方程为，即．故选：C．3．（2021·江西·赣州市赣县第三中学高三期中（文））已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【详解】，.设，则曲线在点P处的切线的斜率为，.，故选：D4．（2021·全国·高三专题练习）点P在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【详解】，即，又，所以，故选：D.5．（2021·安徽·六安市裕安区新安中学高三月考（理））函数存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意，函数的定义域，且，因为函数存在与直线平行的切线，即有解，即在有解，因为，可得，则，可得，所以，即实数的取值范围是.故选：C.6．（2021·全国·高三专题练习）若函数在点处的切线方程为，则函数的增区间为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】将代入得到，所以切点为.因为，所以，所以，当时，，为增函数.所以函数的增区间为.故选：C题型二：利用导数研究函数的单调性1、与函数的单调区间有关的问题1．（2021·西藏·林芝市第二高级中学高三月考（理））函数的单调递增区间是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】函数的定义域为，，令，解得，因此，函数的单调递增区间是.故选：D.2．（2021·河南·高三月考（文））若函数存在递减区间，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【详解】由题设，，由存在递减区间，即存在使，∴，可得或.故选：B3．（2021·北京·潞河中学高三月考）函数在单调递增的一个必要不充分条件是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题得，函数在区间单调递增，在区间上恒成立．，而在区间上单调递减，．选项中只有是的必要不充分条件.选项AC是的充分不必要条件，选项B是充要条件.故选：D4．（2021·西藏·拉萨中学高三月考（文））函数是上的单调函数，则的范围是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】函数是上的单调函数，即或(舍)在上恒成立，解得故选：D5．（2021·全国·高三月考（理））若的单调减区间是，则的值是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意，函数，可得，令，可得，因为的单调减区间是，可得，解得．故选：A.6．（2021·全国·高三月考（文））函数在上单调递减则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】，∵在上单调递减，∴在上恒成立，由二次函数的图象可知，即．故选：B7．（2021·宁夏·中宁一中高三月考（理））若在上是减函数，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题知，，.若在上是减函数，则在上恒成立，由得，，当时，，所以.故选：C.8．（2021·江西宜春·模拟预测（文））“”是“函数在上单调递增”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】若在上单调递增，则对任意的恒成立，∴有对任意的恒成立，即，而当且仅当时等号成立，则.∴“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件.故选：A．9．（2021·浙江·高三专题练习）若函数在区间单调递增，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】由知，，因为在上单调递增，所以在上恒成立，即，则在上恒成立，令，因为在上恒成立，所以在上单调递减，则，所以.故选:C.10．（2021·重庆市清华中学校高三月考）函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：的定义域是，，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增，若函数在区间上单调递减，则且且，解得：，故选：．2、构造函数比较大小或解不等式1．（2021·山西大附中高三月考（理））已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：令函数，因为定义域为的是奇函数，所以函数为偶函数；，当时，因为，所以，所以，即，所以在上为减函数，，因为，所以，即.故选：B2．（2021·江西赣州·高三期中（理））已知定义在上的函数满足且有，则的解集为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】设，则，因为，所以，所以是上的增函数，，不等式即为，即，所以，故选：D．3．（2021·陕西渭南·高三月考（理））已知定义在上的奇函数的导函数为，且，则（）A． B．C． D．【答案】B【详解】因为，所以，令，，则，所以单调递增，所以，所以为奇函数，，所以，即，所以A，C错误；因为，所以，又因为为奇函数，所以，所以B正确；因为，所以．又因为为奇函数，所以，所以D错误．故选：B4．（2021·内蒙古宁城·高三月考（文））已知函数对任意的满足（其中为函数的导函数），则下列不等式成立的是（）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：令，故，故在递增，所以，可得，即，所以D正确；故选：D．5．（2021·云南·昆明一中高三月考（理））已知定义在上的函数的导函数为，，则下列不等关系成立的是（）A． B．C． D．【答案】D【详解】设，则，又，，所以，所以在上单调递减，由可得，故A错；由可得，即，故B错；由可得，即，故C错；因为，所以，得，故D正确.故选：D6．（2021·四川·成都外国语学校高三月考（文））设是定义在上的可导函数，且满足，对任意的正数，下面不等式恒成立的是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】构造函数，则，因为，所以，故，因此在上单调递增，所以对于任意的正数，有，即，即，又因为，所以，结合选项可知B正确，故选：B7．（2021·云南·峨山彝族自治县第一中学高三月考（文））定义在上的函数，其导函数为，若恒有，则下列不等式成立的是（）A． B．C． D．【答案】D【详解】令，则因为，因为所以得所以在上单调递减，故，所以，有故选：D8．（2021·江苏·苏州中学高三月考）已知奇函数是定义在上的可导函数，其导函数为，当时，有，则不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】A【详解】解：设，由为奇函数，可得，故为上的奇函数，当时，，，单调递增，根据奇函数的对称性可知，在上单调递增，则不等式可转化为，即，即，即．故选：A9．（2021·河南省信阳市第二高级中学高三月考（理））已知定义在上的函数满足：对任意恒成立，其中为的导函数，则不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】D【详解】设，则，因为对任意，所以在上恒成立，所以在上单调递增，又等价于，即，因为在上单调递增，所以解得，所以原不等式的解集是.故选：D.10．（2021·新疆喀什·模拟预测）定义在上的偶函数存在导数，且当时，有恒成立，若，则实数的取值范围是（）A．， B．C． D．，，【答案】D【详解】解：是上的偶函数，令，则，为偶函数，当时，，在上单调递增，①，，，即，由①得，展开得，解得，或，故选：D．题型三：利用导数研究函数的极值、最值1．（2021·河南·高三月考（理））函数的极大值为（）A． B． C．0 D．【答案】B【详解】函数的定义域为R，则，令，解得，，当或时，，则单调递增，当时，，则单调递减，所以当时，取得极大值．故选：B2．（2021·河南南阳·高三期中（理））已知函数在处取得极小值，若，，使得，且，则的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【详解】解：函数在处取得极小值所以，即解得：，由得：当和时，，即单调递增当时，，即单调递减所以的极大值为，极小值为由得：或由得：或若，，使得，且，则故选：C.3．（2021·山西太原·高三期中）若是函数的极值点，则函数（）A．有最小值，无最大值 B．有最大值，无最小值C．有最小值，最大值 D．无最大值，无最小值【答案】A【详解】由题设，且，∴，可得.∴且，当时，递减；当时，递增；∴有极小值，无极大值.综上，有最小值，无最大值.故选：A4．（2021·安徽·六安市裕安区新安中学高三月考（文））如图是函数的大致图象，则（）A． B． C． D．【答案】C【详解】由图示可知：经过（0，0）、（1，0）、（2，0），所以有：，即，解得：，所以，.由图示可知是的极值点，所以是的两根.所以.故选：C5．（2021·全国·高三月考（理））已知函数若时，恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为成立，故原命题即对任意的成立，此时，由得且，当时，，当且仅当时等号成立，故；当时，记，则在上为增函数，且，故，即，综合所述，a的取值范围为.故选：A6．（2021·湖北·高三月考）已知函数，若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】由得，∴当或时，，当时，，故是函数的极大值点，令，即，∴，或，又函数在区间上有最大值，∴，解得.故选：A.7．（2021·江苏·泰州中学高三月考）已知函数，若存在实数，满足，且，则的最大值为（）A． B．C． D．1【答案】A【详解】当时，，当时，，则，令，则，，设，，，即在上单调递增，，所以的最大值为.故选：A8．（2021·浙江·高三月考）已知，函数的最小值为，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：由题意得：令，其最小值为再令，则当时，函数单调递减；当时，函数单调递增.故时，故的最小值为.故选：B9．（2021·重庆市第七中学校高三月考）“当时，不等式恒成立”的一个必要不充分条件为（）A． B．C． D．【答案】B【详解】当时，不等式恒成立，当时，不等式恒成立，等价于，当时，不等式恒成立，等价于，令，，令，则，，可知函数在上递增，在上递减，所以当，即时，当时，，即，所以，当时，即时，函数在递减，在上递增，所以当时，，所以，综上，当时，不等式恒成立的充要条件为，所以是“当时，不等式恒成立”的一个必要不充分条件，故选：B10．（2021·北京·潞河中学高三月考）若函数在上的最大值为2，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【详解】当时，，则．当时，；当时，．所以，函数在处取得极大值，亦即最大值，即．当时，函数在上单调递增，由题意可知，，得，解得，此时，；当时，且当时，合乎题意；当时，函数在上单调递减，此时，，合乎题意．综上所述，实数的取值范围是，故选：D【题型精练】一、单选题1．（2021·北京交通大学附属中学高三开学考试）已知是定义在上的偶函数，当时，，且，则不等式的解集是（）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：∵是定义在上的偶函数，当时，，∴为增函数，为偶函数，为奇函数，∴在上为增函数，∵，若，，所以；若，，在上为增函数，可得，综上得，不等式的解集是.故选：C.2．（2021·河南·高三月考（文））函数的极大值为（）A． B．C． D．【答案】B【详解】由可得，由可得：或，由可得，所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，所以时，取得极大值为，故选：B.3．（2021·全国·高三月考（文））函数在上单调递减则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】，∵在上单调递减，∴在上恒成立，由二次函数的图象可知，即．故选：B4．（2021·北京·潞河中学高三月考）函数在单调递增的一个必要不充分条件是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题得，函数在区间单调递增，在区间上恒成立．，而在区间上单调递减，．选项中只有是的必要不充分条件.选项AC是的充分不必要条件，选项B是充要条件.故选：D5．（2021·甘肃·嘉峪关市第一中学模拟预测（文））已知函数，有两个极值点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】,因为有两个极值点，故有两个变号零点，故在上有两个不同的解，故，所以，故选：D.6．（2021·山东·嘉祥县第一中学高三期中）已知函数（其中是自然对数的底数），若，，，则的大小关系为（）A． B．C． D．【答案】B【详解】函数是偶函数，，当，即函数在上单调递减，上单调递增，因为，，所以，则，，即．故选：B．7．（2021·陕西·泾阳县教育局教学研究室高三期中（文））已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式的解集是（）A． B．C． D．【答案】A【详解】设，则所以在上单调递减，又由，即，所以所以故选：A8．（2021·广东深圳·高三月考）已知函数若函数有三个零点，则（）A． B． C． D．【答案】D【详解】要使函数有三个解，则与有三个交点，当时，，则，可得在上递减，在递增，∴时，有最小值，且时，；当时，；当时，；当时，单调递增；∴图象如下，要使函数有三个零点，则，故选：D．二、多选题9．（2021·湖北·高三月考）已知函数．则下列说法正确的是（）A．当时，B．当时，直线与函数的图象相切C．若函数在区间上单调递增，则D．若在区间上恒成立，则【答案】ABD【详解】解：对于A：当时，，则，令，得，所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以，所以，故A正确；对于B：当时，，则，设切点为，则过切点的切线方程为：，因为切线过原点，所以，解得，此时，所以直线与函数的图像相切，故B正确；对于C：由函数得，因为函数在区间上单调递增，所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立，令，则，又令，所以，，函数单调递减，所以，所以，故C不正确；对于D：在区间上恒成立，等价于在区间上恒成立，当时，不等式恒成立；当时，恒成立，令，则，令，得，因为，，函数单调递减，所以，所以，故D正确；故选：ABD.10．（2021·辽宁沈阳·高三月考）已知函数(其中是自然对数的底数)，函数有三个零点，则（）A．实数的取值范围为B．实