新高考数学之圆锥曲线综合讲义第26讲外接圆问题(原卷版+解析)

第26讲外接圆问题一．解答题1．已知抛物线，是的准线上的动点，过作的两条切线，切点分别为，．（1）当点在轴上时，求切线，的方程；（2）设圆是的外接圆，当圆的面积最小时，求圆的方程．2．已知定点，定直线，动圆过点，且与直线相切．（Ⅰ）求动圆的圆心轨迹的方程；（Ⅱ）过点的直线与曲线相交于，两点，分别过点，作曲线的切线，，两条切线相交于点，求外接圆面积的最小值．3．已知椭圆的两个焦点分别为和，，、是椭圆短轴的两端点，过点的直线与椭圆相交于另一点，且求椭圆的离心率；设直线上有一点，在△的外接圆上，求的值．4．已知椭圆经过点，且其离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）若为椭圆的右焦点，椭圆与轴的正半轴相交于点，经过点的直线与椭圆相交于另一点，且满足，求外接圆的方程．5．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且过抛物线的焦点．（1）求椭圆的方程；（2）设点关于轴的对称点为，过作两条直线和，其斜率分别为、，满足，，它们分别是椭圆的上半部分相交于，两点，与轴相交于，两点，使得，求证：的外接圆过点；（3）设抛物线的准线为，，是抛物线上的两个动点，且满足，线段的中点为，点在上的投影为，求的最大值．6．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，直线与线段、分别交于点、．（Ⅰ）当时，求以，为焦点，且过中点的椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点作直线交于点，记的外接圆为圆．①求证：圆心在定直线上；②圆是否恒过异于点的一个定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由．7．已知的边边所在直线的方程为点关于点的对称点为，点在边所在直线上且满足．求边所在直线的方程；求的外接圆的方程；若点的坐标为，其中为正整数．试讨论在的外接圆上是否存在点，使得成立？说明理由．8．过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，，．（Ⅰ）证明：为定值；（Ⅱ）记的外接圆的圆心为点，点是抛物线的焦点，对任意实数，试判断以为直径的圆是否恒过点？并说明理由．9．已知抛物线，为直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为，．（1）当的坐标为时，求过，，三点的圆的方程；（2）若，是上的任意点，求证：点处的切线的斜率为；（3）证明：以为直径的圆恒过点．10．（2020•广州一模）已知点是抛物线的顶点，，是上的两个动点，且．（1）判断点是否在直线上？说明理由；（2）设点是的外接圆的圆心，求点的轨迹方程．第26讲外接圆问题一．解答题1．已知抛物线，是的准线上的动点，过作的两条切线，切点分别为，．（1）当点在轴上时，求切线，的方程；（2）设圆是的外接圆，当圆的面积最小时，求圆的方程．【解答】解：（1）抛物线，准线的方程，点在轴上，，设，，，，且，由，求导，，解得，切线的方程为，即，同理可得切线的方程为，（2）如图：设点，设过点与抛物线相切的直线方程为，由△．，即切线，互相垂直．即是直角三角形，的外接圆直径为弦．当圆的面积最小时，即是最短时，，此时垂直轴，的外接圆圆心为，圆的方程为．2．已知定点，定直线，动圆过点，且与直线相切．（Ⅰ）求动圆的圆心轨迹的方程；（Ⅱ）过点的直线与曲线相交于，两点，分别过点，作曲线的切线，，两条切线相交于点，求外接圆面积的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设点到直线的距离为，依题意．设，则有．化简得．所以点的轨迹的方程为．（Ⅱ）设，代入中，得．设，，，，则，．所以．因为，即，所以．所以直线的斜率为，直线的斜率为．因为，所以，即为直角三角形．所以的外接圆的圆心为线段的中点，线段是直径．因为，所以当时线段最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为．3．已知椭圆的两个焦点分别为和，，、是椭圆短轴的两端点，过点的直线与椭圆相交于另一点，且求椭圆的离心率；设直线上有一点，在△的外接圆上，求的值．【解答】解：（Ⅰ），且，是和的中点，不妨设，由，，代入得：，，即椭圆的离心率；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，得，，椭圆的方程可设为．若，则，线段的垂直平分线的方程为，直线与轴的交点是△外接圆的圆心．因此，外接圆的方程为．直线的方程为，于是点的坐标满足方程组：，由，解得．故；若，则，同理可得．．4．已知椭圆经过点，且其离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）若为椭圆的右焦点，椭圆与轴的正半轴相交于点，经过点的直线与椭圆相交于另一点，且满足，求外接圆的方程．【解答】解：（1）椭圆经过点，，①椭圆的离心率为，，即②联立①②解得：，，椭圆的方程为；（2）椭圆的方程为，，．设，，则，③，且，，即，④联立③④解得：，或，，或，当为时，，的外接圆是以为圆心，1为半径的圆，此时外接圆的方程为：；当为时，设的外接圆方程为：，则，解得，此时外接圆的方程为：，综上所述，的外接圆的方程为：或．5．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且过抛物线的焦点．（1）求椭圆的方程；（2）设点关于轴的对称点为，过作两条直线和，其斜率分别为、，满足，，它们分别是椭圆的上半部分相交于，两点，与轴相交于，两点，使得，求证：的外接圆过点；（3）设抛物线的准线为，，是抛物线上的两个动点，且满足，线段的中点为，点在上的投影为，求的最大值．【解答】（1）解：由已知，设椭圆的方程为，则，离心率为，，，椭圆的方程为；（2）证明：由题意，，并且和，关于轴对称，与，与也分别关于轴对称，的方程代入椭圆方程，可得，或，，或，直线是椭圆的上半部分相交，，，和的方程分别为或，令，可得，，，，，，四点共圆，的外接圆过点；（3）设，则，，由抛物线的定义及梯形的中位线定理可得，时，的最大值为．6．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，直线与线段、分别交于点、．（Ⅰ）当时，求以，为焦点，且过中点的椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点作直线交于点，记的外接圆为圆．①求证：圆心在定直线上；②圆是否恒过异于点的一个定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，当时，中点为，所以，椭圆的标准方程为；（Ⅱ）①证明：直线；；所以可得，，，直线交于点，设的外接圆的方程为，则圆心坐标为圆心在定直线上；②由①可得圆的方程为：整理可得，且联立此两方程解得，或，圆恒过异于点的一个定点，该点的坐标为，．7．已知的边边所在直线的方程为点关于点的对称点为，点在边所在直线上且满足．求边所在直线的方程；求的外接圆的方程；若点的坐标为，其中为正整数．试讨论在的外接圆上是否存在点，使得成立？说明理由．【解答】解：，又在上，为，（1分）又边所在直线的方程为，所以直线的斜率为．（2分）又因为点在直线上，所以边所在直线的方程为．即．（3分）与的交点为，所以由解得点的坐标为，（5分）（6分）又．（7分）从外接圆的方程为：．（8分）若在的外接圆圆上存在点，使得成立，则为线段的垂直平分线与圆的公共点．所以当与圆相离时，不存在满足条件的点；当与圆相交或相切时则存在满足条件的点．由，，知的斜率为，线段的中点为线段的垂直平分线为（10分）圆的圆心到直线的距离为（11分）当时，，此时直线与圆相交，存在满足条件的点当时，此时直线与圆相交，存在满足条件的点当时，此时直线与圆相离，不存在满足条件的点．（14分）8．过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，，．（Ⅰ）证明：为定值；（Ⅱ）记的外接圆的圆心为点，点是抛物线的焦点，对任意实数，试判断以为直径的圆是否恒过点？并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）证明：法1：由，得，所以．所以直线的斜率为．因为点，和，在抛物线上，所以，．所以直线的方程为．（1分）因为点在直线上，所以，即．（2分）同理，．（3分）所以，是方程的两个根．所以．（4分）又，（5分）所以为定值．（6分）法2：设过点且与抛物线相切的切线方程为，（1分），消去得，由△，化简得．（2分）所以．（3分）由，得，所以．所以直线的斜率为，直线的斜率为．所以，即．（4分）又，（5分）所以为定值．（6分）（Ⅱ）法1：直线的垂直平分线方程为，（7分）由于，，所以直线的垂直平分线方程为．①（8分）同理直线的垂直平分线方程为．②（9分）由①②解得，，所以点．（10分）抛物线的焦点为，则．由于，（11分）所以．所以以为直径的圆恒过点．（12分）另法：以为直径的圆的方程为．（11分）把点代入上方程，知点的坐标是方程的解．所以以为直径的圆恒过点．（12分）法2：设点的坐标为，则的外接圆方程为，由于点，，，在该圆上，则，．两式相减得，①（7分）由（Ⅰ）知，代入上式得，（8分）当时，得，②假设以为直径的圆恒过点，则，即，，，得，③（9分）由②③解得，（10分）所以点．（11分）当时，则，点．所以以为直径的圆恒过点．（12分）9．已知抛物线，为直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为，．（1）当的坐标为时，求过，，三点的圆的方程；（2）若，是上的任意点，求证：点处的切线的斜率为；（3）证明：以为直径的圆恒过点．【解答】解：（1）当的坐标为时，设过点的切线方程为，代入，整理得，令△，解得，代入方程得，故得，，因为到的中点的距离为2，从而过，，三点的圆的方程为．（2）证明：抛物线，导数为，可得，是上的任意点，点处的切线的斜率为；（3）证明：设切点分别为，，，，，，切线的方程为，即，切线的方程为，即，又因为切线过点，，所以得，①又因为切线也过点，，所以得，②所以，是方程的两实根，由韦达定理得，，因为，，，，所以，将，代入，得，则以为直径的圆恒过点．10．（2020•广州一模）已知点是抛物线的顶点，，是上的两个动点，且．（1）判断点是否在直线上？说明理由；（2）设点是的外接圆的圆心，求点的轨迹方程．【解答】解：（1）由抛物线的方程可得顶点，由题意可得直线的斜率存在，设直线的方程为：，设，，，联立直线与抛物线的方程：，整