山东专用2025届高考数学二轮专题闯关导练四热点问题专练热点十离心率含解析

PAGE热点(十)离心率1．(椭圆离心率＋等差数列)若一个椭圆长轴长、短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是()A.eq\f(4,5)B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5)D.eq\f(1,5)2．(双曲线离心率＋抛物线性质)已知抛物线x2＝4y的焦点F到双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)一条渐近线的距离是eq\f(1,2)，则该双曲线C的离心率为()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C．2D.eq\r(5)3．(椭圆离心率＋直线与圆相切)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为()A.eq\f(\r(6),3)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(2),3)D.eq\f(1,3)4．[2024·山东临沂模拟](双曲线离心率＋直线与圆相交)若双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线被圆x2＋(y－2)2＝2截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为()A.eq\r(3)B．2C.eq\r(5)D．2eq\r(5)5．[2024·山东九校联考](双曲线离心率＋直线与圆相切)已知直线l1，l2为双曲线M：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线，若l1，l2与圆N：(x－2)2＋y2＝1相切，双曲线M离心率的值为()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\f(2\r(3),3)C.eq\r(3)D.eq\f(4\r(3),3)6．(椭圆离心率)以椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上的一点C为圆心的圆与x轴恰好相切于椭圆的一个焦点F，且与y轴交于M，N两点．若△MNC为正三角形，则该椭圆的离心率是()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(2),3)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),3)7．[2024·山东淄博模拟](双曲线离心率)已知直线y＝kx(k≠0)与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F.若△ABF的面积为4a2，则双曲线的离心率是()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C．2D.eq\r(5)8．[2024·山东济南模拟](椭圆离心率＋椭圆定义)设F1，F2分别是椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，且eq\o(AF1,\s\up6(→))·eq\o(AF2,\s\up6(→))＝0，eq\o(AF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2B,\s\up6(→))，则椭圆E的离心率为()A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,4)C.eq\f(\r(5),3)D.eq\f(\r(7),4)9．[2024·山东临沂质量检测](双曲线率心率＋直线对称)F1，F2是双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，直线l为双曲线C的一条渐近线，F1关于直线l的对称点为F′1，且点F′1在以F2为圆心、以半虚轴长b为半径的圆上，则双曲线C的离心率为()A.eq\r(2)B.eq\r(5)C．2D.eq\r(3)10．(多选题)[2024·山东临沂罗庄区模拟](双曲线离心率)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M在双曲线的左支上，若2|MF2|＝5|MF1|，则双曲线的离心率可以是()A．3B.eq\f(7,3)C．2D.eq\f(5,3)11．(多选题)[2024·山东泰安模拟](双曲线离心率＋余弦定理)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，且|PF1|＝2|PF2|，若sin∠F1PF2＝eq\f(\r(15),4)，则对双曲线中a，b，c，e的有关结论正确的是()A．e＝eq\r(6)B．e＝2C．b＝eq\r(5)aD．b＝eq\r(3)a12．(多选题)(椭圆、双曲线的离心率)已知△ABC为等腰直角三角形，其顶点为A，B，C，若圆锥曲线E以A，B为焦点，并经过顶点C，该圆锥曲线E的离心率可以是()A.eq\r(2)＋1B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2)D.eq\r(2)－113．[2024·山东枣庄质量检测](双曲线离心率)已知F为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，过F作C的渐近线的垂线FD，D为垂足，且|FD|＝eq\f(\r(3),2)|OF|(O为坐标原点)，则C的离心率为________．14．[2024·山东淄博试验中学模拟](双曲线离心率)双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1(－2,0)、F2(2,0)，M是C右支上的一点，MF1与y轴交于点P，△MPF2的内切圆在边PF2上的切点为Q，若|PQ|＝eq\r(2)，则C的离心率为________．15．(椭圆、双曲线离心率)已知椭圆M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，双曲线N：eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________．16．[2024·山东省试验中学、淄博试验中学、烟台一中、莱芜一中四校联考](双曲线离心率＋直线与圆相切)已知双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的方程是2eq\r(2)x－y＝0，则双曲线E的离心率e＝________；若双曲线E的实轴长为2，过双曲线E的右焦点F可作两条直线与圆C：x2＋y2－2x＋4y＋m＝0相切，则实数m的取值范围是________．热点(十)离心率1．答案：B解析：由题意得2b＝a＋c，所以4(a2－c2)＝a2＋c2＋2ac,3a2－2ac－5c2＝0，两边同除以a2得到3－2e－5e2＝0，因为0<e<1，所以e＝eq\f(3,5)2．答案：C解析：由抛物线x2＝4y得焦点F(0,1)，而双曲线C的渐近线方程为bx±ay＝0，则有eq\f(a,\r(a2＋b2))＝eq\f(a,c)＝eq\f(1,2)，则双曲线C的离心率e＝eq\f(c,a)＝2，故选C.3．答案：A解析：由题意知以线段A1A2为直径的圆的圆心坐标为(0,0)，半径为a又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d＝eq\f(2ab,\r(a2＋b2))＝a，解得a＝eq\r(3)b，∴eq\f(b,a)＝eq\f(1,\r(3))，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2－b2),a)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3))))2)＝eq\f(\r(6),3).故选A.4．答案：B解析：设圆心到双曲线的渐近线的距离为d，由弦长公式可得，2eq\r(2－d2)＝2，解得d＝1，又双曲线C的渐近线方程为bx±ay＝0，圆心坐标为(0,2)，故eq\f(|0±2a|,\r(a2＋b2))＝1，即eq\f(2a,c)＝1，所以双曲线C的离心率e＝eq\f(c,a)＝2，故选B.5．答案：B解析：设渐近线方程y＝±eq\f(b,a)x，即eq\f(b,a)x±y＝0，与圆N：(x－2)2＋y2＝1相切，圆心到直线的距离d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2b,a))),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2＋1))＝1，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2b,a)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2＋1,3b2＝a2,3(c2－a2)＝a2，所以3c2＝4a2，e2＝eq\f(4,3)，e＞1，e＝eq\f(2\r(3),3).故选B.6．答案：D解析：不妨设点F为椭圆的右焦点，点C在x轴上方，由题意得点C的横坐标为c，代入椭圆的方程得Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，则△MNC的边长为eq\f(b2,a)，高为c，则cos30°＝eq\f(c,\f(b2,a))＝eq\f(ac,a2－c2)＝eq\f(\r(3),2)，化简得3c2＋2eq\r(3)ac－3a2＝0，则3e2＋2eq\r(3)e－3＝0，解得e＝eq\f(\r(3),3)或e＝－eq\r(3)(舍去)，故选D.7．答案：D解析：设双曲线的左焦点为F1，由双曲线的对称性得圆O经过点F1，且|BF1|＝|AF|，设|BF1|＝|AF|＝m，|BF|＝n，因为BF⊥AF，BF1⊥BF，所以S△ABF＝eq\f(1,2)mn＝4a2，m2＋n2＝4c2，则mn＝8a2，又因为|BF1|－|BF|＝|m－n|＝2a，所以|m－n|2＝m2－2mn＋n2＝4c2－16a2＝4a2，化简得双曲线的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5)，故选D.8．答案：C解析：设|F2B|＝m，则|F1B|＝2a－m，|AF2|＝2m，所以|AF1|＝2a－2m，|AB|＝|AF2|＋|F2B|＝3m，由eq\o(AF1,\s\up6(→))·eq\o(AF2,\s\up6(→))＝0，得AF1⊥AF2，AF1⊥AB，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|AF1|2＋|AB|2＝|F1B|2,|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－2m2＋9m2＝2a－m2，,2a－2m2＋4m2＝4c2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3m，,c＝\r(5)m，))所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),3)，故选C.9．答案：B解析：(法一)易知F1(－c,0)，设F′1(x0，y0)，则F1，F′1的中点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0－c,2)，\f(y0,2)))，易知M点在双曲线的一条渐近线上，不妨设该渐近线方程为y＝eq\f(b,a)x，再结合直线F1F′1与直线l垂直可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x0－c,2)×b－a×\f(y0,2)＝0，,\f(y0,x0＋c)×\f(b,a)＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(b2－a2,c)，,y0＝－\f(2ab,c).))再依据|F′1F2|＝b，可得eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b2－a2,c)－c))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2ab,c)))2)＝b，整理可得4a2＝b2，故5a2＝c2，故e＝eq\r(5)，故选B.(法二)依据题意得F1(－c,0)，F2(c,0)，一条渐近线方程为y＝eq\f(b,a)x，则F1到该渐近线的距离为eq\f(|bc|,\r(a2＋b2))＝b，设F1关于该渐近线的对称点为F′1，F1F′1与该渐近线的交点为A，所以F1F′1＝2b，A为线段F1F′1的中点，又O是线段F1F2的中点，所以OA∥F2F′1，所以∠F1F′1F2＝90°，即△F1F′1F2为直角三角形，由勾股定理得4c2＝b2＋(2b)2，所以4c2＝5c2－5a2，离心率e10．答案：BCD解析：由双曲线的定义可得|MF2|－|MF1|＝eq\f(3,2)|MF1|＝2a.依据点M在双曲线的左支上，可得|MF1|＝eq\f(4a,3)≥c－a，∴e＝eq\f(c,a)≤eq\f(7,3)，∴双曲线离心率的最大值为eq\f(7,3)，故选BCD.11．答案：ABCD解析：由双曲线定义可知：|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a∴|PF1|＝4a，由sin∠F1PF2＝eq\f(\r(15),4)，可得cos∠F1PF2＝±eq\f(1,4)，在△PF1F2中，由余弦定理可得：eq\f(4a2＋16a2－4c2,2×2a×4a)＝±eq\f(1,4)，解得：eq\f(c2,a2)＝4或eq\f(c2,a2)＝6，∴e＝eq\f(c,a)＝2或eq\r(6).∴c＝2a或c＝eq\r(6)a又∵c2＝a2＋b2，∴b＝eq\r(3)a或b＝eq\r(5)a.故选ABCD.12．答案：ABD解析：(1)△ABC为等腰直角三角形，假如C＝eq\f(π,2)，圆锥曲线E为椭圆，e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(AB,CA＋CB)＝eq\f(\r(2),2)，(2)△ABC为等腰直角三角形，假如C＝eq\f(π,4)，A或B为直角，圆锥曲线E为椭圆，e＝eq\f(AB,CA＋CB)＝eq\f(1,\r(2)＋1)＝eq\r(2)－1.(3)△ABC为等腰直角三角形，假如C＝eq\f(π,4)，A或B为直角，圆锥曲线为双曲线，e＝eq\f(AB,|CA－CB|)＝eq\f(1,\r(2)－1)＝eq\r(2)＋1.故选ABD.13．答案：2解析：由题意得F(c,0)，一条渐近线方程为y＝eq\f(b,a)x，即bx－ay＝0，∴|FD|＝eq\f(|bc|,\r(b2＋a2))＝b，由|FD|＝eq\f(\r(3),2)|OF|得b＝eq\f(\r(3),2)c，∴b2＝eq\f(3,4)c2＝c2－a2，c2＝4a2，∴e＝eq\f(c,a)＝2.14．答案：eq\r(2)解析：设△MPF2的内切圆与MF1，MF2的切点分别为A，B，由切线长定理可知|MA|＝|MB|，|PA|＝|PQ|，|BF2|＝