统考版2025届高考数学二轮专题闯关导练四热点问题专练热点九球文含解析

PAGE热点(九)球1．[2024·大同市测试试题](正方体外接球)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为()A．4eq\r(3)πB．8eq\r(3)πC．12eq\r(3)πD．6eq\r(3)π2．(四棱柱外接球体积)已知底面边长为1，侧棱长为eq\r(2)的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为()A.eq\f(32π,3)B．4πC．2πD.eq\f(4π,3)3．(三棱柱外接球)已知直三棱柱ABC­A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球OA.eq\f(3\r(17),2)B．2eq\r(10)C.eq\f(13,2)D．3eq\r(10)4．(球与三视图)某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为()A.eq\f(16π,3)B．4πC．3D．以上都不对5．(球体＋体积)如图，有一个水平放置的透亮无盖的正方体容器，容器高8cm，现将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，假如不计容器的厚度，则球的体积为()A.eq\f(500π,3)cm3B.eq\f(866π,3)cm3C.eq\f(1372π,3)cm3D.eq\f(2048π,3)cm36．[2024·深圳市统一考试](三视图＋球)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的外接球的表面积为()A.eq\f(32\r(3)π,3)B．32πC．36πD．48π7．[2024·广东省联考试题](圆锥＋外接球的表面积)已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的全部母线和底面都相切，则球与圆锥的表面积之比为()A.eq\f(2,3)B.eq\f(4,9)C.eq\f(2\r(6),9)D.eq\f(8,27)8．(三棱柱内切球＋最值)在封闭的直三棱柱ABC­A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则VA．4πB.eq\f(9π,2)C．6πD.eq\f(32π,3)9．[2024·江西南昌摸底考试](三棱锥＋球)已知在三棱锥S­ABC中，SA＝SB＝SC＝AB＝2，AC⊥BC，则该三棱锥的外接球的体积为()A.eq\f(32\r(3)π,27)B.eq\f(4\r(3)π,9)C.eq\f(32π,3)D.eq\f(16π,3)10．[2024·山东枣庄9月月考](三棱锥＋球)如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别为AB，A1B1的中点，则三棱锥F­ECDA.eq\f(41,4)πB.eq\f(4,3)πC.eq\f(41\r(41),64)πD.eq\f(41\r(41),48)π11．(正方体内切球＋体积)设球O是正方体ABCD­A1B1C1D1的内切球，若平面ACD1截球O所得的截面面积为6π，则球OA.eq\f(3,2)B．3C.eq\f(\r(3),2)D.eq\r(3)12．(三棱锥外接球＋表面积)已知正三棱锥S­ABC的顶点均在球O的球面上，过侧棱SA及球心O的平面截三棱锥及球面所得截面如图所示，若三棱锥的体积为2eq\r(3)，则球O的表面积为()A．16πB．18πC．24πD．32π13．(三棱锥外接球＋表面积)已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝eq\r(2)，则球O的表面积等于________．14．[2024·惠州市考试试题](三棱柱＋外接球＋内切球)已知底面边长为a的正三棱柱ABC­A1B1C1的六个顶点均在球O1上，又知球O2与此正三棱柱的5个面都相切，则球O1与球O215．[2024·武汉市调研测试](四面体外接球＋半径)在四面体ABCD中，AD＝DB＝AC＝CB＝1，则当四面体的体积最大时，它的外接球半径R＝___________________________.16．[2024·广东惠州第一次联考](三棱锥＋外接球＋最值)在三棱锥A­BCD中，底面BCD是直角三角形且BC⊥CD，斜边BD上的高为1，三棱锥A­BCD的外接球的直径是AB，若该外接球的表面积为16π，则三棱锥A­BCD体积的最大值为________．热点(九)球1．答案：A解析：由正方体的体积为8，可知其棱长为2，且正方体的体对角线为其外接球的直径，所以其外接球的半径R＝eq\f(\r(22＋22＋22),2)＝eq\r(3)，则外接球的体积V＝eq\f(4π,3)R3＝4eq\r(3)π.故选A.2．答案：D解析：因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径r＝eq\f(1,2)eq\r(12＋12＋\r(2)2)＝1，所以V球＝eq\f(4π,3)×13＝eq\f(4π,3)，故选D.3．答案：C解析：如图，过球心作平面ABC的垂线，则垂足为线段BC的中点M.易知AM＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(5,2)，OM＝eq\f(1,2)AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2＋62)＝eq\f(13,2)，故选C.4．答案：A解析：由题意可知该几何体是轴截面为正三角形的圆锥，底面圆的直径为2，高为eq\r(3)，∴外接球的半径r＝eq\f(1,cos30°)＝eq\f(2\r(3),3)，∴外接球的表面积为4×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))2＝eq\f(16,3)π，故选A.5．答案：A解析：设球半径为Rcm，依据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4cm，球心到截面的距离为(R－2)cm，所以由42＋(R－2)2＝R2，得R＝5，所以球的体积V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×53＝eq\f(500π,3)cm3，故选A.6．答案：D解析：由三视图可知该四面体为PBCD，如图，将它补成棱长为4的正方体，则正方体的体对角线PC就是该四面体的外接球的直径，所以外接球的直径2R＝eq\r(3×42)，所以R＝2eq\r(3)，则该四面体的外接球的表面积为4πR2＝4×π×(2eq\r(3))2＝48π，故选D.7．答案：B解析：设圆锥底面圆的半径为R，球的半径为r，由题意知，圆锥的轴截面是边长为2R的等边三角形，球的大圆是该等边三角形的内切圆，如图所示，所以r＝eq\f(\r(3),3)R，S球＝4πr2＝4π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)R))2＝eq\f(4π,3)R2，S圆锥＝πR·2R＋πR2＝3πR2，所以球与圆锥的表面积之比eq\f(S球,S圆锥)＝eq\f(\f(4π,3)R2,3πR2)＝eq\f(4,9)，故选B.8．答案：B解析：由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10.要使球的体积V最大，则需球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC的内切圆的半径为r，易知eq\f(1,2)×6×8＝eq\f(1,2)×(6＋8＋10)·r，所以r＝2，此时2r＝4>3，不合题意．因此当球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大，由2R＝3，得R＝eq\f(3,2)，故球的最大体积V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(9,2)π，故选B.9．答案：A解析：由题意画出图形如图所示，取AB的中点D，连接SD，CD.因为AC⊥BC，所以点D为Rt△ABC的外接圆的圆心，则外接球的球心O在过点D且与平面ABC垂直的直线上．又SA＝SB＝SC＝AB＝2，所以SD⊥AB，且SD＝eq\f(\r(3),2)AB＝eq\r(3)，CD＝eq\f(1,2)AB＝1，所以SC2＝SD2＋CD2，所以SD⊥CD，所以SD⊥平面ABC，故球心O为△SAB外接圆的圆心，则OD＝eq\f(1,3)SD＝eq\f(\r(3),3).连接OA，设外接球的半径为R，则R＝OA＝eq\r(AD2＋OD2)＝eq\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2)＝eq\f(2\r(3),3)，所以三棱锥S­ABC的外接球的体积V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))3＝eq\f(32\r(3)π,27)，故选A.10．答案：D解析：如图所示，连接FC1，FD1.三棱锥F­ECD的外接球为三棱柱FC1D1­ECD的外接球．在三角形ECD中，取CD的中点H，连接EH，则EH垂直平分CD，所以△ECD的外心在EH上，设△ECD的外心为点M.同理可得△FC1D1的外心N.连接MN，则三棱柱外接球的球心为MN的中点，设为点O.连接CM，易得EM2＝CM2＝CH2＋MH2.又MH＝2－EM，CH＝1，所以EM＝CM＝eq\f(5,4)，连接OC，则OC2＝MO2＋CM2＝1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))2，解得OC＝eq\f(\r(41),4)，即三棱锥F­ECD的外接球的半径R＝eq\f(\r(41),4).所以三棱锥F­ECD的外接球的体积V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(41),4)))3＝eq\f(41\r(41),48)π.故选D.11．答案：B解析：如图，易知直线B1D过球心O，且B1D⊥平面ACD1，不妨设垂足为点M，正方体棱长为a，则球半径R＝eq\f(a,2)，易知DM＝eq\f(1,3)DB1，所以OM＝eq\f(1,6)DB1＝eq\f(\r(3),6)a，所以截面圆半径r＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2－OM2)＝eq\f(\r(6),6)a，由截面圆面积S＝πr2＝6π，得r＝eq\f(\r(6),6)a＝eq\r(6)，即a＝6，所以球O的半径R＝eq\f(a,2)＝3，故选B.12．答案：A解析：设正三棱锥的底面边长为a，外接球的半径为R，因为正三棱锥的底面为正三角形，边长为a，所以AD＝eq\f(\r(3),2)a，则AO＝eq\f(2,3)AD＝eq\f(\r(3),3)a，所以eq\f(\r(3),3)a＝R，即a＝eq\r(3)R，又因为三棱锥的体积为2eq\r(3)，所以eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)a2R＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(3)R)2×R＝2eq\r(3)，解得R＝2，所以球的表面积S＝4πR2＝16π，故选A.13．答案：4π解析：将三棱锥S­ABC补成以SA、AB、BC为棱的长方体，易得其对角线SC为球O的直径，即2R＝SC＝2⇒R＝1，所以表面积为4πR2＝4π.14．答案：eq\r(5)︰15︰1解析：设球O1、球O2的半径分别为R，r，由于正三棱柱的六个顶点均在同一个球面上，所以球心O1在上、下底面中心连线段的中点处，又球O2与正三棱柱的5个面都相切，所以点O2与O1重合．如图，取上、下底面的中心分别为F，E，BC的中点为D，EF的中点为O1，连接EF，AD，O1A，则E在AD上，O1A＝R，O1E＝r，在△O1EA中，AE＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(\r(3),3)a，O1E＝r＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(\r(3),6)a，由于O1A2＝O1E2＋AE2，所以R2＝eq\f(5,12)a2，r2＝eq\f(1,12)a2，则球O1与球O2的半径之比为eq\r(5)︰1，所以球O1与球O2的表面积之比为eq\f(4πR2,4πr2)＝eq\f(R2,r2)＝eq\f(\f(5,12)a2,\f(1,12)a2)＝5︰1.15．答案：eq\f(\r(15),6)解析：当平面ADC与平面BCD垂直时，四面体ABCD的体积最大，因为AD＝AC＝1，所以可设等腰三角形ACD的底边CD＝2x，高为h，则x2＋h2＝1，此时四面体的体积V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2x×h2＝eq\f(1,3)x(1－x2)，则V′＝eq\f(1,3)－x2，令V′＝0，得x＝eq\f(\r(3),3)，从而h＝eq\f(\r(6),3)，则CD＝AB＝eq\f(2\r(3),3)，故可将四面体ABCD放入长、宽、高分别为a，b，c