2024高考数学统考一轮复习第九章概率统计与统计案例第一节随机事件的概率教师文档教案文北师大版

PAGE第一节随机事务的概率授课提示：对应学生用书第169页[基础梳理]1．事务的相关概念(1)必定事务：在肯定条件下，肯定发生的事务；(2)不行能事务：在肯定条件下，肯定不发生的事务；(3)随机事务：在肯定条件下，可能发生也可能不发生的事务．2．频率和概率(1)频数、频率：在相同的条件S下重复n次试验，视察某一事务A是否出现，称n次试验中事务A出现的次数nA为事务A出现的频数，称事务A出现的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)为事务A出现的频率．(2)概率：对于给定的随机事务A，假如随着试验次数的增加，事务A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事务A的概率．3．事务的关系与运算名称条件结论符号表示包含关系A发生⇒B发生事务B包含事务A(事务A包含于事务B)B⊇A(或A⊆B)相等关系若B⊇A且A⊇B事务A与事务B相等A＝B并(和)事务A发生或B发生事务A与事务B的并事务(或和事务)A＋B(或A∪B)交(积)事务A发生且B发生事务A与事务B的交事务(或积事务)A∩B(或AB)互斥事务AB为不行能事务事务A与事务B互斥AB＝∅对立事务AB为不行能事务，A＋B为必定事务事务A与事务B互为对立事务AB＝∅，P(A＋B)＝14.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1．(2)必定事务的概率为1．(3)不行能事务的概率为0．(4)概率的加法公式：假如事务A与事务B互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．(5)对立事务的概率：若事务A与事务B互为对立事务，则A＋B为必定事务，P(A＋B)＝1，P(A)＝1－P(B)．1．辨析两组概念(1)频率与概率．①频率是一个变量，随着试验次数的变更而变更；②概率是一个确定的常数，是客观存在的，与每次试验无关；③频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率．(2)互斥事务与对立事务．①两个事务是互斥事务，它们未必是对立事务；②两个事务是对立事务，它们也肯定是互斥事务．2．概率加法公式的推广当一个事务包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．[四基自测]1．(基础点：必定事务及概率)一个袋子中有红球5个，黑球4个，现从中任取5个球，则至少有1个红球的概率为________．答案：12．(基础点：对立事务的概率)甲、乙二人下棋，甲不输的概率为0.8，则乙获胜的概率为________．答案：0.23．(基础点：互斥事务的概率)一副混合后的扑克牌(52张)中，随机抽取1张，事务A为“抽得红桃K”，事务B为“抽得黑桃”，则概率P(A＋B)＝________．(结果用最简分数表示)答案：eq\f(7,26)授课提示：对应学生用书第170页考点一随机事务的关系挖掘事务的关系与运算/自主练透[例](1)(2024·孝感模拟)把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事务“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是()A．对立事务 B．互斥但不对立事务C．不行能事务 D．以上都不对[解析]从红牌的去一直看，有4种可能，故事务“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事务．[答案]B(2)(2024·临沂模拟)一枚匀称的正方体玩具的各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.将这个玩具向上抛掷1次，设事务A表示向上的一面出现奇数点，事务B表示向上的一面出现的点数不超过3，事务C表示向上的一面出现的点数不小于4，则()A．A与B是互斥而非对立事务B．A与B是对立事务C．B与C是互斥而非对立事务D．B与C是对立事务[解析]依据互斥事务与对立事务的意义作答，AB＝{出现点数1或3}，事务A，B不互斥也不对立；BC＝∅，B＋C＝Ω，故事务B，C是对立事务．[答案]D(3)从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取2个球，以下给出了三组事务：①至少有1个白球与至少有1个黄球；②至少有1个黄球与都是黄球；③恰有1个白球与恰有1个黄球．其中互斥而不对立的事务共有()A．0组 B．1组C．2组 D．3组[解析]对于①，“至少有1个白球”发生时，“至少有1个黄球”也会发生，比如恰好一个白球和一个黄球，故①中的两个事务不互斥．对于②，“至少有1个黄球”说明有黄球，黄球的个数可能是1或2，而“都是黄球”说明黄球的个数是2，故这两个事务不是互斥事务．③“恰有1个白球”与“恰有1个黄球”，都表示取出的两个球中，一个是白球，另一个是黄球．故不是互斥事务．[答案]A[破题技法]1.精确把握互斥事务与对立事务的概念(1)互斥事务是不行能同时发生的事务，但可以同时不发生．(2)对立事务是特别的互斥事务，特别在对立的两个事务不行能都不发生，即有且仅有一个发生．2．判别互斥、对立事务的方法判别互斥事务、对立事务一般用定义推断，不行能同时发生的两个事务为互斥事务；两个事务，若有且仅有一个发生，则这两个事务为对立事务，对立事务肯定是互斥事务．考点二随机事务的概率与频率挖掘用频率估计概率/自主练透[例](1)从存放的号码分别为1，2，3，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并登记号码，统计结果如下：卡片号码12345678910取到次数138576131810119则取到号码为奇数的卡片的频率是()A．0.53 B．0.5C．0.47 D．0.37[解析]取到号码为奇数的卡片的次数为：13＋5＋6＋18＋11＝53，则所求的频率为eq\f(53,100)＝0.53.故选A.[答案]A(2)(2024·高考全国卷Ⅱ)我国高铁发展快速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车全部车次的平均正点率的估计值为________．[解析]eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(10×0.97＋20×0.98＋10×0.99,10＋20＋10)＝0.98.则经停该站高铁列车全部车次的平均正点率的估计值为0.98.[答案]0.98(3)(2024·山西太原一模)某快递公司收取快递费用的标准如下：质量不超过1kg的包袱收费10元；质量超过1kg的包袱，除1kg收费10元之外，超过1kg的部分，每1kg(不足1kg，按1kg计算)需再收5元．该公司对近60天每天揽件数量统计如下表：包袱件数范围0～100101～200201～300301～400401～500包袱件数(近似处理)50150250350450天数6630126①某人准备将A(0.3kg)，B(1.8kg)，C(1.5kg)三件礼物随机分成两个包袱寄出，求该人支付的快递费不超过30元的概率；②该公司从收取的每件快递的费用中抽取5元作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的作为其他费用．前台工作人员每人每天揽件不超过150件，工资100元，目前前台有工作人员3人，那么公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润是否更有利？[解析]①由题意，寄出方式有以下三种可能：状况第一个包袱其次个包袱礼物质量(kg)快递费(元)礼物质量(kg)快递费(元)需支付的总快递费(元)1A0.310B，C3.325352B1.815A，C1.815303C1.515A，B2.12035全部3种状况中，有1种状况快递费未超过30元，依据古典概型概率计算公式，所求概率为eq\f(1,3).②由题目中的天数得出频率，如下：包袱件数范围0～100101～200201～300301～400401～500包袱件数(近似处理)50150250350450天数6630126频率0.10.10.50.20.1若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数状况如下：包袱件数(近似处理)50150250350450实际揽件数50150250350450频率0.10.10.50.20.1平均揽件数50×0.1＋150×0.1＋250×0.5＋350×0.2＋450×0.1＝260故公司平均每日利润为260×5－3×100＝1000(元)；若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数状况如下：包袱件数(近似处理)50150250350450实际揽件数频率0.10.10.50.20.1平均揽件数50×0.1＋150×0.1＋250×0.5＋300×0.2＋300×0.1＝235故公司平均每日利润为235×5－2×100＝975(元)．综上，公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利．[破题技法]1.计算简洁随机事务频率或概率的解题思路(1)计算出所求随机事务出现的频数及总事务的频数．(2)由频率与概率的关系得所求．2．求解以统计图表为背景的随机事务的频率或概率问题的关键点求解该类问题的关键是由所给频率分布表、频率分布直方图或茎叶图等图表，计算出所求随机事务出现的频数，进而利用频率与概率的关系得所求．考点三互斥事务、对立事务的概率挖掘互斥事务、对立事务/自主练透[例](1)(2024·高考全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为()A．0.3 B．0.4C．0.6 D．0.7[解析]由题意可知不用现金支付的概率为1－0.45－0.15＝0.4.故选B.[答案]B(2)(2024·太原模拟)已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为eq\f(1,2)，乙胜的概率为eq\f(1,3)，则甲胜的概率和甲不输的概率分别为________．[解析]“甲胜”是“和棋或乙胜”的对立事务，所以“甲胜”的概率为1－eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6).设“甲不输”为事务A，则A可看作是“甲胜”与“和棋”这两个互斥事务的和事务，所以P(A)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,2)＝eq\f(2,3).[答案]eq\f(1,6)，eq\f(2,3)(3)某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事务分别为A，B，C.求：①P(A)，P(B)，P(C)；②1张奖券的中奖概率；③1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．[解析]①P(A)＝eq\f(1,1000)，P(B)＝eq\f(10,1000)＝eq\f(1,100)，P(C)＝eq\f(50,1000)＝eq\f(1,20).②因为事务A，B，C两两互斥，所以P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(1,1000)＋eq\f(1,100)＋eq\f(1,20)＝eq\f(61,1000).故1张奖券的中奖概率为eq\f(61,1000).③P(eq\o(A,\s\up6(－))＋eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－P(A＋B)＝1－(eq\f(1,1000)＋eq