2025版新教材高考数学一轮复习第6章平面向量复数第2节平面向量基本定理及坐标表示学案含解析新人教B版

第2节平面对量基本定理及坐标表示一、教材概念·结论·性质重现1．平面对量基本定理(1)定理：假如平面内的两个向量a与b不共线，则对该平面内随意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb.(2)基底：平面内不共线的两个向量a与b组成的集合{a，b}常称为该平面上向量的一组基底．理解基底应留意以下三点(1)基底a，b必需是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底．(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一．(3)对于一组基底a，b，若c＝λ1a＋λ2b＝μ1a＋μ2b，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ1＝μ1，,λ2＝μ2.))2．平面对量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐标的求法①一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点的坐标；②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(1)向量坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键．(2)要区分点的坐标与向量坐标，尽管在形式上它们类似，但意义完全不同，向量坐标中既有方向的信息，也有大小的信息．3．平面对量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b⇔x2y1＝x1y2.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2).因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.4．常用结论(1)若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.(2)已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).(3)已知△ABC的顶点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).二、基本技能·思想·活动体验1．推断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(×)(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.((3)平面对量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．(√)(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2).(×)(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(√)2．已知平面对量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b＝()A．(－2，－1) B．(－2,1)C．(－1,0) D．(－1,2)D解析：因为a＝(1,1)，b＝(1，－1)，所以eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b＝eq\f(1,2)(1,1)－eq\f(3,2)(1，－1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(3,2)))＝(－1，2)．3．已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(1,2)，b＝(m,3m－2)，且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则实数mA．(－∞，2) B．(2，＋∞)C．(－∞，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞)D解析：由题意可知a与b不共线，即3m－2≠2m，所以m4．设0＜θ＜eq\f(π,2)，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(cosθ，1)，若a∥b，则tanθ＝________.eq\f(1,2)解析：因为a∥b，所以sin2θ×1－cos2θ＝0，所以2sinθcosθ－cos2θ＝0.因为0＜θ＜eq\f(π,2)，所以cosθ＞0，所以2sinθ＝cosθ，所以tanθ＝eq\f(1,2).5．在▱ABCD中，AC为一条对角线，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,4)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1,3)，则向量eq\o(BD,\s\up6(→))的坐标为________．(－3，－5)解析：因为eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，－1)，所以eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3，－5)．考点1平面对量的坐标运算——基础性1．(2024·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，则|a－b|＝()A．eq\r(2) B．2C．5eq\r(2) D．50A解析：由向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，可得a－b＝(－1,1)，所以|a－b|＝eq\r(－12＋12)＝eq\r(2).2．(2024·榆社中学诊断)若向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＝(2,0)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(1,1)，则eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))等于()A．(3,1) B．(4,2)C．(5,3) D．(4,3)B解析：eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝(3,1)，又eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1,1)，则eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝(1,1)，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝(4,2)．3．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a,3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量(4，－6)解析：由题意知4a＝(4，－12)，3b－2a＝(－6,12)－(2，－6)＝(－8,18)，由4a＋(3b－2a)＋c＝04．已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1,1)，C(2,3)，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AC,\s\up6(→))|，则向量eq\o(OB,\s\up6(→))的坐标是________．(4,7)解析：因为点C是线段AB上一点，且|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AC,\s\up6(→))|，所以eq\o(BC,\s\up6(→))＝－2eq\o(AC,\s\up6(→)).设点B为(x，y)，则(2－x,3－y)＝－2(1,2)．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x＝－2，,3－y＝－4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝7.))所以向量eq\o(OB,\s\up6(→))的坐标是(4,7)．平面对量坐标运算的技巧(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解．考点2平面对量共线的坐标表示——应用性(2024·福州质检)设向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(a，－1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(－b,0)，其中O为坐标原点，a＞0，b＞0.若A，B，C三点共线，则ab的最大值为()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,6)C.eq\f(1,8) D.eq\f(1,9)C解析：因为eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(a，－1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(－b,0)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(a－1,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－b－1,2)．因为A，B，C三点共线，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，即(a－1,1)＝λ(－b－1,2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1＝λ－b－1，,1＝2λ，))可得2a＋b＝1.因为a＞0，b＞0，所以1＝2a＋b≥2eq\r(2ab)，所以ab≤eq\f(1,8).当且仅当2a＝b＝eq\f(1,2)时取等号．因此ab的最大值为eq\f(1,8).1．本例若把条件“eq\o(OC,\s\up6(→))＝(－b,0)”改为“eq\o(OC,\s\up6(→))＝(2,1)”，其他条件不变，求a的值．解：因为eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(a，－1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(2,1)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(a－1,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1,3)．因为A，B，C三点共线，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，即(a－1,1)＝λ(1,3)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1＝λ，,1＝3λ，))可得a＝eq\f(4,3).2．本例条件“向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(a，－1)”不变，若向量c＝(2，a)与向量eq\o(AB,\s\up6(→))方向相反，求|c|.解：因为eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(a，－1)．所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(a－1,1)．因为向量c＝(2，a)与向量eq\o(AB,\s\up6(→))方向相反，所以a(a－1)－1×2＝0，即a2－a－2＝0，所以a＝－1或a＝2(舍去)，所以|c|＝eq\r(22＋－12)＝eq\r(5).平面对量共线的坐标表示问题的解题策略(1)假如已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．已知O为坐标原点，点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，AC与OB的交点为P，求点P的坐标．解：由O，P，B三点共线，可设eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＝(4λ，4λ)，则eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(4λ－4,4λ)．又eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－2,6)，由eq\o(AP,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝eq\f(3,4)，所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OB,\s\up6(→))＝(3,3)，所以点P的坐标为(3,3)．考点3平面对量基本定理的应用——综合性考向1用已知基底表示向量(2024·郑州模拟)如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(EC,\s\up6(→))，F为AE的中点，则eq\o(BF,\s\up6(→))＝()A．eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→)) B．eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))C．－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→)) D．－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))C解析：如图，取AB中点G，连接DG，CG，易知四边形DCBG为平行四边形，所以eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(GD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))－\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→)).所以eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\o(AB,\s\up6(→))＋\f(2,3)\o(AD,\s\up6(→))))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→)).用已知基底表示向量的关注点(1)理论依据：平面对量基本定理．(2)实质：利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．考向2解析法(坐标法)在向量中的应用已知|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(OB,\s\up6(→))，点C在∠AOB内，且eq\o(OC,\s\up6(→))与eq\o(OA,\s\up6(→))的夹角为30°，设eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)，则eq\f(m,n)的值为()A．2 B．eq\f(5,2)C．3 D．4C解析：因为eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(OB,\s\up6(→))，以OA为x轴，OB为y轴建立直角坐标系，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1,0)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(0，eq\r(3))，eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))＝(m，eq\r(3)n)．因为tan30°＝eq\f(\r(3)n,m)＝eq\f(\r(3),3)，所以m＝3n，即eq\f(m,n)＝3.应用平面对量基本定理解题的两种思路(1)基向量法．(2)坐标法．能用坐标法的问题，一般不用基向量法．考向3利用平面对量基本定理求参数的值(或范围)在△ABC中，点P是AB上一点，且eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又eq\o(CM,\s\up6(→))＝teq\o(CP,\s\up6(→))，则t的值为________．eq\f(3,4)解析：eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))，即P为AB的一个三等分点，如图所示．因为A，M，Q三点共线，所以eq\o(CM,\s\up6(→))＝xeq\o(CQ,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\f(x,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＋(x－1)eq\o(AC,\s\up6(→))，而eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\f(x,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－1))eq\o(AC,\s\up6(→)).又eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，由已知eq\o(CM,\s\up6(→))＝teq\o(CP,\s\up6(→))，可得eq\f(x,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－1))eq\o(AC,\s\up6(→))＝teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\o(AC,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(AB,\s\up6(→)))).又eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))不共线，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＝\f(t,3)，,\f(x,2)－1＝－t，))解得t＝eq\f(3,4).用平面对量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的状况下，合理地选取基底会给解题带来便利．另外，要娴熟运用平面几何的一些性质定理．1．(2024·南通模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AC＝2AB，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D.设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，则向量eq\o(AD,\s\up6(→))＝()A．a＋bB．eq\f(1,2)a＋bC．a＋eq\f(1,2)bD．a＋eq\f(2,3)bC解析：连接BD，DC(图略)，设圆的半径为r，在Rt△ABC中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AC＝2AB，所以∠BAC＝eq\f(π,3)，∠ACB＝eq\f(π,6)，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，所以∠ACB＝∠BAD＝∠CAD＝eq\f(π,6).依据圆的性质得BD＝CD＝AB.又因为在Rt△ABC中，AB＝eq\f(1,2)AC＝r＝OD，所以四边形ABDO为菱形，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AO,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b.2．如图，已知平面内有三个向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(