相似三角形基本模型综合基础训练（四）

相似三角形基本模型综合基础训练（四）1．如图，点，将线段平移得到线段，若，则点D的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】如图过点C作轴垂线，垂足为点E，∵∴∵∴在和中，，∴，∴，则,∵点C是由点B向右平移6个单位，向上平移2个单位得到，∴点D同样是由点A向右平移6个单位，向上平移2个单位得到，∵点A坐标为(0，3)，∴点D坐标为(6，5)，选项D符合题意，故答案选D2．如图，点是斜边AB上的动点，点D、E分别在AC、BC边上，连结PD、PE，若，，，，则当取得最小值时AP的长是（

）A．18 B． C． D．【答案】B【详解】解：如图，连接DE，过D作于延长至使连接QE，交AB于P，则此时最短，∵是的中位线，故选：B．3．如图，在矩形中，是的中点，若交于点，是的中点，连接，，则的长为（

）A． B． C．1 D．【答案】C【详解】解：∵在矩形中，∴AD∥BC，AD=BC，∴，∴，即：3EF=，延长AE交DC得延长线于点H，∵AB∥CD，∴∠ABE=∠HCE=90°，∵是的中点，∴BE=CE，又∵∠AEB=∠CEH，∴，∴AE=EH，AB=CH=CD，即C是DH的中点，∵是的中点，∴HF=2，∵3EF=，∴4EF=4，∴EF=1，故选C．4．如图，在△ABC中，AB＜AC，∠C＝45°，AB＝5，BC＝4，点D在AC上运动，连接BD，把△BCD沿BD折叠得到，交AC于点E，，则图中阴影部分的面积是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：如图，过点A作AF⊥BC于点F，∴∠AFB＝∠AFC＝90°，∵∠C＝45°，∴AF＝CF，ACCF，∵AB＝5，BC＝4，∴BF＝BC﹣CF＝4CF，在Rt△ABF中，AB2＝BF2+AF2，即52＝（4CF）2+CF2，解得：CF或，∵AB＜AC，∴AF＝CF，∴ACCF＝7，∵△BCD沿BD折叠得到△BC′D，∴，，∵C′DAB，∴∠ABE＝∠C′＝45°，∵∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝45°+∠CBE，∠ABE＝∠C+∠CBE＝45°+∠CBE，∴∠ABC＝∠ABE，∴△ABC∽△AEB，∴，即，∴AE，∴CE＝AC﹣AE，∴C′D＝CD＝CE﹣DEDE，∵C′DAB，∴，∴，即，解得：DE，∵S△ABCAF•BC414，如图，过点B作BG⊥AC于点G，∵S△ABCAC•BG，∴147×BG，∴BG＝4，∴S阴影部分DE•BG4．故选：D．5．如图，在正方形中，，点，分别是射线，射线上的点，，与交于点．过点作，交直线于点，则的长是（

）A．8 B． C．6 D．【答案】B【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴，，又∵，∴，在和中，，∴，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，解得：，∴．故选：B6．如图，在正方形ABCD中，，点H在AD上，且，点E绕着点B旋转，且，在AE的上方作正方形AEFG，则线段FH的最小值是______．【答案】【详解】解：连接CA、AF、CH，在正方形ABCD和AEFG中，∠BCA=∠ECF=45°，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，AD=AB=CD=8，∴，∠BAE=∠CAF，∴△BAE∽△CAF，∴，∵，∴，∴点F在以A为圆心，为半径的圆上运动，当A、C、F三点共线时，FH最小，∴，∵AH=2，∴DH=6，在Rt△CDH中，CD=8，DH=6，∴CH=10，∴FH=．故答案为：7．如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，连接AE，作BF⊥AE于F，作DG⊥AE于G，连接DF，若EF=1，AG=3，则线段DF的长为__________．【答案】【详解】解：过F作MH∥BC交AB于H，交DC于M，∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD=DC=BC，∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°，∴HM∥BC，∴∠BHM=180°∠ABC=90°，∴∠BHM=∠ABC=∠BCD=90°，∴四边形BHMC为矩形，∴MC=HB，HM=BC，∵BF⊥AE，DG⊥AE，∴∠AFB=∠DGA=90°，∵∠DAG+∠BAF=∠DAG+∠ADG=90°，∴∠BAF=∠ADG，在△BAF和△ADG中，，∴△BAF≌△ADG（AAS），∴BF=AG=3，∵EF=1，∴BE=，设AB=x，∵∠EBF+∠BEF=∠BAE+∠BEF=90°，∴∠BAE=∠FBE，∠AEB=∠BEF，∴△ABE∽△BFE，∴，即，∴,,∴AF=AEEF=9，∵HF∥BE，∴∠HFB=∠FBE，∵∠BHF=∠EFB=90°，∴△HBF∽△FEB，∴，即，∴，∴DM=DCMC=，FM=HMHF=，∴DF=．故答案为：．8．如图，矩形，E，F分别为中点，P，Q分别在线段上且，过点B作于H，连接，则线段的长度最小值为___________．【答案】【详解】解：连接EF交PQ于M，连接BM，取BM的中点O，连接OH，OD，过点O作ON⊥CD于N．∵四边形ABCD是矩形，DF=CF，AE=EB，∴四边形ADFE是矩形，∴EF=AD=6，∵FQ∥PE，∴△MFQ∽△MEP，∴，∵PE=FQ，∴EM=MF，∴EM=2，FM=4，∵MF∥ON∥BC，MO=OB，∴FN=CN=2，DN=DF+FN=6，，∴，∵BH⊥PQ，∴∠BHM=90°，∵OM=OB，∴，∵DH≥ODOH，∴DH≥，由于M和B点都是定点，所以其中点O也是定点，当O，H，D共线时，此时DH最小，∴DH的最小值为，故答案为：．9．如图，E是正方形ABCD的边CD上的一点，连接AE，点F为AE的中点，过点F作AE的垂线分别交AD，BC于点M，N，连接AN，若，则△AMN的面积为_________．【答案】【详解】解：如图，过点N作NG⊥AD于G，∵正方形ABCD，∴∠BAD=∠B=∠D=90°，AD=AB=9，∵AB=3DE，∴DE=3，∵NG⊥AD于G，∴四边形ABNG是矩形，∴NG=AB=9，在Rt△ADE中，由勾股定理，得AE=，∵MN垂直平分AE，∴∠AFM=90°，AF=AE=，∵∠MAF=∠EAD，∠AFM=∠D=90°，∴△AFM∽△ADE，∴，即，∴AM=5，∴S△AMN=，故答案为：．10．如图，在中，，，AD平分，过点B作于点E，F是边上一动点，连接，当时，的长是__________．【答案】【详解】解：延长BE交AC于点G，连接DG，如下图．∵在中，，，AD平分，∴点D到AB与点D到AC的距离相等，点A到BD与点A到DC的距离相等，∴，，∴，∴，∴．∵，AD平分，∴AD是BG的垂直平分线，∴，，∴，．∵，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，∴．故答案为：．11．如图，将正方形ABCD的边AB，BC绕着点A逆时针旋转一定角度，得到线段，，连接交CD于点E，连接，，若，则______．【答案】75°【详解】连接AC，根据旋转的性质得，，∴，.∵，∴．设，∴，，∴．∵四边形ABCD是正方形，∴，∴，即，解得，∴．故答案为：75°．12．如图1，和都是等腰三角形，．(1)观察发现请直接写出：的值是______，的值是______；(2)问题探究如图2，固定不动，将绕着点O自由旋转，旋转角为，连接BN和AM．的值改变吗？请说明理由；【答案】(1)(2)的值不变，理由见解析【解析】(1)如图1中，过点A作AH⊥OB于H，过点M作MT垂直ON于T．∵AO=AB，AH⊥OB，∴OH=HB，∵∠O=30°，∴，∴，同法可证，，∴，故答案为：(2)的值不变，理由如下：由（1）可知：，∵∠AOB=∠NOM=30°，∴∠AOB+∠AON=∠NOM+∠AON，∴∠BON=∠AOM，∴△BON∽△AOM，∴．13．【探究】已知，点，，，分别在四边形的四条边上，且(1)如图，若四边形为正方形，，则______；(2)如图，若四边形为矩形，，，求的值．(3)【拓展】如图，四边形中，点，分别在，上，且，若，，，求的值．【答案】(1)；(2)；(3)【解析】(1)解：如图，过点作于，过点作于点，，四边形是正方形，，∴四边形ABNE、四边形BCMG是矩形，∴AB=EN，BC=MG，又，，，，，，，，，，，

在和中，，，，故答案为；(2)解：如图，过点作于，过点作于点，，，同（1）的得，，，，，；(3)解：如图，过点作，过点作于点，延长交于点，连接，四边形是矩形，∠G=∠H=90°，在和中，，，，∴∠HAD+∠BAG=90°，又∠HAD+∠HAD=90°，∴∠BAG=∠HAD，又∠G=∠H=90°，，，设，，，

在中，由勾股定理得，，(舍)或，∴BG=CH=10+6=16，由（2）知，．14．如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD，EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB．(1)求证：BD⊥EC；(2)若AB＝2，求AE的长；(3)如图2，连接AG，求证：EG﹣DGAG．【答案】(1)见解析(2)AE(3)见解析【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，∴∠EAF＝∠DAB＝90°，又∵AE＝AD，AF＝AB，∴△AEF≌△ADB（SAS），∴∠AEF＝∠ADB，∴∠GEB+∠GBE＝∠ADB+∠ABD＝90°，即∠EGB＝90°，故BD⊥EC；(2)解：∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥CD，∴∠AEF＝∠DCF，∠EAF＝∠CDF，∴△AEF∽△DCF，∴，即AE•DF＝AF•DC，设AE＝AD＝a（a＞0），，则有a•（a﹣b）＝b2，化简得a2﹣ab﹣b2＝0，解得ab或b（舍去），∴AE：AB＝a：b，∵AB＝2，∴AE；(3)证明：如图，在线段EG上取点P，使得EP＝DG，在△AEP与△ADG中，AE＝AD，∠AEP＝∠ADG，EP＝DG，∴△AEP≌△ADG（SAS），∴AP＝AG，∠EAP＝∠DAG，∴∠PAG＝∠PAD+∠DAG＝∠PAD+∠EAP＝∠DAE＝90°，∴△PAG为等腰直角三角形，∴EG﹣DG＝EG﹣EP＝PGAG．15．四边形，点是对角线上一点，将一个含有角的三角板的直角顶点与点重合，使其一条直角边经过点，另一条直角边与交于点．(1)如图1，若四边形是正方形，求证：；（请用两种方法证明）(2)如图2，若四边形是矩形，且，，猜想与之间的数量关系，并证明．【答案】(1)过程见解析；(2)，过程见解析【解析】（1）连接EC，如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∠ABD=∠CBD=45°．∵BE=BE，∴△ABE≌△CBE，∴AE=CE，∠BAE=∠BCE．∵∠AEF=90°，∠BAE+∠ABC+∠AEF+∠BFE=360°，∴∠BAE+∠BFE=180°．∵∠BFE+∠EFC=180°，∴∠EFC=∠BAE，∴∠EFC=∠BCE，∴EF=EC，∴AE=EF；方法二：过点E作EM⊥AB于点M，EN⊥BC于点N，如图．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∠ABD=∠CBD=45°．∵EM⊥AB，EN⊥BC，∴四边形BNEM是正方形，∴EM=EN，∠MEN=90°，∴∠MEF+∠FEN=90