专题01比例线段（五大类型）（题型专练）

专题01比例线段（五大类型）【题型1比例性质】【题型2比例线段】【题型3黄金分割比】【题型4相似图形】【题型5相似多边形的性质】【题型1比例性质】1．（2022秋•惠安县期末）若，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵，∴，∴．故选：C．2．（2023•拱墅区模拟）已知，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵，∴3（x+3y）＝2y，∴3x+9y＝2y，∴3x＝2y﹣9y，∴3x＝﹣7y，∴＝﹣，故选：B．3．（2023春•芝罘区期中）已知，则下列等式不成立的是（）A． B．3a＝2b C． D．【答案】C【解答】解：A、＝+1＝+1＝，故A不符合题意；B、由，得到3a＝2b，故B不符合题意；C、由，得不到＝，故C符合题意；D、由，推出＝，故D不符合题意．故选：C．4．（2022秋•石景山区期末）如果2x＝5y（y≠0），那么的值是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵2x＝5y（y≠0），∴＝，故选：C．【题型2比例线段】5．（2023春•广饶县期末）下列各组中的四条线段成比例的是（）A．a＝，b＝3，c＝2，d＝ B．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 C．a＝1，b＝2，c＝，d＝2 D．a＝2，b＝3，c＝4，d＝1【答案】C【解答】解：A、∵×3≠×2，∴四条线段不成比例；B、∵10×4≠5×6，∴四条线段不成比例；C、∵2×＝1×2，∴四条线段成比例；D、∵2×3≠1×4，∴四条线段不成比例．故选：C．6．（2023春•肇源县期末）下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（）A．4cm，5cm，6cm，7cm B．3cm，4cm，5cm，8cm C．5cm，15cm，3cm，9cm D．8cm，4cm，1cm，3cm【答案】C【解答】解：A、4×7≠5×6，故选项不符合题意；B、3×8≠4×5，故选项不符合题意；C、5×9＝15×3，故选项符合题意；D、1×8≠4×3，故选项不符合题意．故选：C．7．（2023•长宁区一模）已知线段a、b、c、d是成比例线段，如果a＝1，b＝2，c＝3，那么d的值是（）A．8 B．6 C．4 D．1【答案】B【解答】解：∵线段a、b、c、d是成比例线段，a＝1，b＝2，c＝3，∴a：b＝c：d，即1：2＝3：d，解得：d＝6．故选：B．8．（2023•江都区模拟）已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a＝9cm，b＝4cm，则线段c＝6cm．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．所以c2＝4×9，解得：x＝±6，（线段是正数，负值舍去），则线段c＝6cm；故答案为：6．9．（2023•金华模拟）已知线段a＝2，b＝8，则线段a和b的比例中项为4．【答案】4．【解答】解：∵线段c是线段a、b的比例中项，∴c2＝ab＝2×8＝16，∴c＝4（负值舍去）．故答案为：4．【题型3黄金分割比】10．（2023秋•海曙区校级期中）已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB，若AB＝4，则PB＝（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB，AB＝4，∴AP＝AB＝×4＝2﹣2，∴PB＝AB﹣AP＝4﹣（2﹣2）＝4﹣2+2＝6﹣2，故选：C．11．（2023秋•滕州市期中）已知点C把线段AB分成两条线段AC，BC，下列说法错误的是（）A．如果＝，那么线段AB被点C黄金分割 B．如果AC2＝AB•BC，那么线段AB被点C黄金分割 C．如果线段AB被点C黄金分割，那么AC与AB的比叫做黄金比 D．0.618是黄金比的近似值【答案】C【解答】解：根据黄金分割的定义可知A、B、D正确．C、如果线段AB被点C黄金分割（AC＞BC），那么AC与AB的比叫做黄金比，所以C错误．故选：C．12．（2023秋•南山区校级期中）如图，若点D是线段AB的黄金分割点（AD＞BD），AB＝8，则AD的长度是（）A．5 B．4﹣4 C．2 D．4+【答案】B【解答】解：∵点D是线段AB的黄金分割点（AD＞BD），∴，∵AB＝8，∴AD＝，故选：B．13．（2023•临安区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝108°，点P在BC边上，若AP是∠BAC的三等分线，则BP的长度为（）A．或5 B． C．﹣1或2 D．或2【答案】C【解答】解：∵AB＝AC＝2，∠BAC＝108°，∴∠B＝∠C＝36°，∵AP是∠BAC的三等分线，∴∠BAP＝36°，∠CAP＝72°，∴∠CPA＝72°，∴AC＝PC＝2，在△BAP与△BCA中，，∴△BAP∽△BCA，∴＝，∴＝，∴BP2+2BP﹣4＝0，∴BP＝﹣1或2．故选C．14．（2023•鹿城区校级三模）把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值为黄金分割，比值为，它被公认为是最能引起美感的比例，如图1为世界名画蒙娜丽莎．如图2，点E是正方形ABCD的AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，以AE为边作正方形AEHF，延长EH交CD于点I，连结BF交EI于点G，连结BI，则S△BCI：S△FGH为（）A．1：1 B． C． D．【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝DA＝AB．∵点E是正方形ABCD的AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，∴＝＝．∵四边形AEHF是正方形，∴EH＝HF＝FA＝AE，FH∥AE，∴△FHG∽△BEG，∴＝，∴＝＝＝＝，∴GH＝HE＝AE，∵∠C＝∠CBE＝∠BEI＝90°，∴四边形BCIE是矩形，∴IC＝BE，∴S△BCI：S△FGH＝＝＝•＝•＝•＝＝．故选：D．15．（2023•播州区三模）五角星是我们中华人民共和国国旗的元素，如图是从一个五角星中分离出来的等腰三角形ABC，已知∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝36°，∴∠A＝∠ABD＝36°，∴DA＝DB，∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，∴∠BDC＝∠C＝72°，∴BD＝BC，∴AD＝BD＝BC，∵顶角为36°的等腰三角形是黄金三角形，∴△ABC是黄金三角形，∴＝，∴＝，故选：B．16．（2023春•上杭县期中）在古希腊时期，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听，他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数学的方式表达出来，后来人们将这个数称为黄金分割数．设a＝，b＝，记S1＝+，S2＝+，S3＝+…，S100＝+，则S1+S2+S3+…+S100的值为（）A．100 B．200 C．100 D．5050【答案】C【解答】解：∵a＝，b＝，∴ab＝1，∵S1＝+＝＝＝＝1，S2＝+＝＝＝＝＝1，S3＝+＝＝＝＝＝＝1，……Sn＝＝＝＝＝＝1，∴S100＝1，∴S1+S2+S3+…+S100＝1+1+……+1＝100，故选：C．【题型4相似图形】17．（2023•崇明区一模）下列各组图形，一定相似的是（）A．两个等腰梯形 B．两个菱形 C．两个正方形 D．两个矩形【答案】见试题解答内容【解答】解：A、两个等腰梯形不一定相似，故本选项不合题意；B、两个菱形，形状不一定相同，故本选项不合题意；C、两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似形定义，故本选项符合题意；D、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故本选项不合题意．故选：C．18．（2023•石家庄模拟）如图，在边长为1的正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△EDF，则∠ABC+∠ACB的度数为（）A．135° B．90° C．60° D．45°【答案】D【解答】解：∵AB＝、AC＝，BC＝5，DE＝、EF＝2，DF＝，∴＝＝＝，∴△ABC∽△DEF，∴∠BAC＝∠DEF＝180°﹣45°＝135°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝45°．故选：D．19．（2022秋•道县期末）观察下列各组中的两个图形，其中两个图形一定相似的一组是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：A、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意；B、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意；C、两个图形形状相同，相似，符合题意．D、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意．故选：C．20．（2022秋•榕城区期末）下列图形一定相似的为（）A．两个等腰三角形 B．两个等边三角形 C．两个矩形 D．两个平行四边形【答案】B【解答】解：A．两个等腰三角形的内角不一定相等，因此两个等腰三角形不一定相似，故A不符合题意；B．∵两个等边三角形的内角都是60°，∴两个等边三角形一定相似，故B符合题意；C．两个矩形的对应边不一定对应成比例，因此两个矩形不一定相似，故C不符合题意；D．两个平行四边形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，因此两个平行四边形不一定相似，故D不符合题意．故选：B．【题型5相似多边形的性质】21．（2022秋•代县期末）如图1是古希腊时期的巴台农神庙（ParthenomTemple），把图1中用虚线表示的矩形画成图2矩形ABCD，当以矩形ABCD的宽AB为边作正方形ABEF时，惊奇地发现矩形CDFE与矩形ABCD相似，则等于（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵四边形ABEF是正方形，∴BE＝AB，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∴BE＝CD，∵矩形CDFE与矩形ABCD相似，∴＝，∴＝，∴点E是BC的黄金分割点，∴＝，∴＝＝，故选：D．22．（2022秋•韩城市期末）已知四边形ABCD∽四边形EFGH，且AB＝3，EF＝4，FG＝5．则四边形EFGH与四边形ABCD的相似比为（）A．3：4 B．3：5 C．4：3 D．5：3【答案】C【解答】解：∵四边形EFGH∽四边形ABCD，∴相似比＝＝，故选：C．23．（2022秋•信都区校级期末）如图，有甲，乙、丙三个矩形，其中相似的是（）A．甲与丙 B．甲与乙 C．乙与丙 D．三个矩形都不相似【答案】A【解答】解：三个矩形的角都是直角，甲、乙、丙相邻两边的比分别为2：3，1.5：2＝3：4，2：3，∴甲和丙相似，故选：A．24．（2022秋•渠县校级期末）如图，矩形ABCD的对称轴分别交AB于点E，交CD于点F．若矩形AEFD与矩形DABC相似，则AB：BC的值为（）A．2 B． C． D．【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∵矩形ABCD的对称轴分别交AB于点E，交CD于点F，∴AE＝AB，∵矩形AEFD与矩形DABC相似，∴＝，∴＝，∴AB2＝BC2，∴AB2＝2BC2，∴AB＝BC，∴AB：BC＝，故选：B．25．（2022秋•安新县期末）如图，矩形ABCD∽矩形DEFC，且面积比为4：1，则AE：ED的值为（）A．4：1 B．3：1 C．2：1 D．3：2【答案】B【解答】解：∵矩形ABCD∽矩形DEFC，且面积比为4：1，∴AB：DE＝2：1，∴设AE＝x，DE＝a，∴DC＝AB＝2a，则＝，整理，得：x＝3a，则＝3，即AE：ED＝3：1，故选：B．26．（2022秋•长安区校级期末）已知：矩形OABC∽矩形OA'B′C′，B′（10，5），AA'＝1，则CC′的长是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解答】解：∵点B′的坐标为（10，5），AA'＝1，四边形OABC和四边形OA'B′C′是矩形，∴B′C′＝5，A′B′＝10，∴AO＝BC，A′O＝B′C′＝5，OC′＝A′B′＝10，∴AO＝BC＝A′O﹣AA′＝4，∵矩形OABC∽矩形OA'B′C′，∴＝，即＝，∴OC＝8，∴CC'＝OC′﹣OC＝10﹣8＝2，故选：B．27．（2022秋•桥西区期中）如图，取一张长为a、宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方