第26章反比例函数（拔高卷）教师版

20232024学年人教版数学九年级下册章节真题汇编检测卷（拔高）第26章反比例函数考试时间：120分钟试卷满分：100分难度：较难一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（本题2分）（2023春·江苏连云港·八年级统考期末）如图，直线与轴、轴分别交于点、，点是线段上一动点，过点作轴，轴，垂足分别是点、，，若双曲线经过点，则的值为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】由直线求出，的长，设出，，由得出，的长，进而得出结论．【详解】解：对于，当时，；当时，，，，设，轴，轴，∴四边形是矩形，，，解得：经检验，是原方程的根，∵点在反比例函数的图象上，，即，故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数综合及矩形的判定及性质，用到的知识点是待定系数法求函数的解析式等，难度适中，正确求得C的坐标是关键，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．2．（本题2分）（2023春·吉林长春·八年级统考期末）如图，函数和的图象分别是和．设点P在上，轴交l1于点A，轴交于点B，则△PAB的面积为（）

A．1 B．4 C． D．【答案】C【分析】根据反比例函数系数的几何意义以及反比例函数图象上点的坐标特征，设点的横坐标为，用含有的代数式表示、，再利用三角形面积公式进行计算即可．【详解】如图，延长、分别交轴，轴于点、，连接、，

设点的横坐标为，则点的纵坐标为，点的纵坐标为，，点在反比例函数的图象上，点的纵坐标为，点的横坐标为，即，，，故选：C．【点睛】本题考查反比例函数系数的几何意义以及反比例函数图象上点的坐标特征，设点的横坐标为，根据反比例函数图象上点的坐标特征用含有的代数式表示出、是解决问题的关键．3．（本题2分）（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，直线交轴于点，交反比例函数的图象于．将直线向下平移个单位得直线，直线交反比例函数的图象于点，连接，，，若的面积为，则的值为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】设直线交轴于点，连接，设点的坐标为，根据，可求得点的坐标，进而可求得答案．【详解】解：如图所示，设直线交轴于点，连接，设点的坐标为．

根据平移的性质可知，，∴．∴．∴．∴点的坐标为．因为直线的图象过点，所以，解得．故选：D．【点睛】本题主要考查图形平移的性质、一次函数和反比例函数的图象和性质，牢记图形平移的性质（一个图形和它经过平移所得到的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等）是解题的关键．4．（本题2分）（2022秋·浙江舟山·九年级校考阶段练习）如图，在反比例函数的图象上，有点，它们的横坐标依次为1，2，3，4，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则（

）

A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】先求出和的坐标，得出，，根据即可求解．【详解】解：把代入得：，∴，∴，把代入得：，∴，∴，由图可知：，，故选：C．

【点睛】本题主要考查了反比例函数k值的几何意义，解题的关键是掌握过反比例函数图像上的点，作x轴和y轴的垂线，围成的矩形面积等于．5．（本题2分）（2022秋·陕西西安·九年级西安建筑科技大学附属中学校考期中）如图，点是反比例函数图像上的一动点，连接并延长交图像的另一支于点．在点的运动过程中，若存在点，使得，，则，满足（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，过点作轴于点，过点作轴于点，根据等腰直角三角形的性质得出，通过角的计算找出，结合“，”可得出，根据全等三角形的性质，可得出，进而得到，进一步得到．【详解】解：连接，过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示：由直线与反比例函数的对称性可知、点关于点对称，，又，，，，，，，又，，，，，点，，，，，，点是反比例函数图像上，，即，故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数的性质，等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定及性质，解题的关键是求出点的坐标．6．（本题2分）（2022春·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在第二象限，其余顶点都在第一象限，轴，，．过点作，垂足为，．反比例函数的图象经过点，与边交于点，连接，，．若，则的值为（

）A． B． C．7 D．【答案】A【分析】延长EA交x轴于点G，过点F作FH⊥x轴于点H，可得AG⊥x轴；利用AO⊥AD，AO＝AD证明△DAE≌△AOG，得到DE＝AG，AE＝OG；利用DE＝4CE，四边形ABCD是菱形，可得AD＝CD＝DE．设DE＝4a，则AD＝OA＝5a，由勾股定理可得EA＝3a，求出EG＝AE＋AG＝7a，可得E点坐标为（3a，7a），所以k＝21a2．证明四边形AGHF为矩形，则FH＝AG＝4a，可得点F的坐标为（a，4a），利用S△OEF＝S△OEG＋S梯形EGHF−S△OFH，列出关于a的方程，求得a2的值，则k的值可求．【详解】解：如图，延长EA交x轴于点G，过点F作FH⊥x轴于点H，∵AB∥x轴，AE⊥CD，AB∥CD，∴AG⊥x轴．∵AO⊥AD，∴∠DAE＋∠OAG＝90°，∵AE⊥CD，∴∠DAE＋∠D＝90°．∴∠D＝∠OAG，在△DAE和△AOG中，，∴△DAE≌△AOG（AAS），∴DE＝AG，AE＝OG，∵四边形ABCD是菱形，DE＝4CE，∴AD＝CD＝DE，设DE＝4a，则AD＝OA＝5a，∴OG＝AE＝＝3a，∴EG＝AE＋AG＝7a，∴E（3a，7a），∵反比例函数的图象经过点E，∴k＝21a2，∵AG⊥GH，FH⊥GH，AF⊥AG，∴四边形AGHF为矩形，∴HF＝AG＝4a，∵点F在反比例函数的图象上，∴x＝，∴F（，4a），∴OH＝，FH＝4a，∴GH＝OH−OG＝，∵S△OEF＝S△OEG＋S梯形EGHF−S△OFH，S△EOF＝，∴OG•EG＋（EG＋FH）•GH－OH•HF＝，∴×21a2＋(7a＋4a)×－×21a2＝，解得：a2＝，∴k＝21a2＝21×＝．故选：A．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，待定系数法，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形判定与性质，菱形的性质，勾股定理等．熟练掌握利用点的坐标表示相应线段的长度和利用线段的长度表示相应点的坐标是解题的关键．7．（本题2分）（2023春·江苏·八年级专题练习）两个反比例函数和在第一象限内的图像如图所示，点在的图像上，轴于点，交的图像于点，轴于点，交的图像于点，轴于点，当点在图像上运动时，以下结论：①与始终平行；②与始终相等；③四边形的面积不会发生变化；④的面积等于四边形的面积．其中一定正确的是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】C【分析】①正确，只要证明即可；②错误；只有当四边形OCPD为正方形时满足PA=PB；③正确；由于矩形OCPD、三角形ODB、三角形OCA为定值，则四边形PAOB的面积不会发生变化；④正确．只要证明△OBA的面积=矩形OCPD的面积S∆ODBS△BAPS∆AOC，四边形ACEB的面积=矩形OCPD的面积S∆ODB一S△BAPS∆OBE即可．【详解】①正确；∵A，B在上，∴S∆AOC=S∆BOE∴OC∙AC=OE∙BE，∴OC∙AC=OE∙BE，∴OC=PD，BE=PC，∴PD∙AC=DB∙PC，∴∴AB//CD．故此选项正确．②错误，不一定，只有当四边形OCPD为正方形时满足PA=PB；③正确，由于矩形OCPD、三角形ODB、三角形OCA为定值，则四边形PAOB的面积不会发生变化；故此选项正确．正确，∵△ODB的面积=∆OCA的面积=，∴△ODB与∆OCA的面积相等，同理可得:S∆ODB=S∆OBE，∵∆OBA的面积=矩形OCPD的面积S∆ODBS∆BAPS∆AOC，四边形ACEB的面积=矩形OCPD的面积S∆ODBS∆BAPS∆OBE．∴∆OBA的面积=四边形ACEB的面积，故此选项正确，故一定正确的是①③④故选：C【点睛】本题考查反比例函数k是几何意义、矩形的性质、平行线的判定等知识，本题综合性比较强，属于中考填空题中的压轴题．8．（本题2分）（2022·江苏宿迁·统考中考真题）如图，点A在反比例函数的图像上，以为一边作等腰直角三角形，其中∠=90°，，则线段长的最小值是（

）A．1 B． C． D．4【答案】C【分析】如图，过作轴，交y轴于M，过作轴，垂足为D，交MA于H，则证明可得设则可得再利用勾股定理建立函数关系式，结合完全平方公式的变形可得答案．【详解】解：如图，过作轴，交y轴于M，过作轴，垂足为D，交MA于H，则设则而当时，则∴的最小值是8，∴的最小值是故选：C．【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数的性质，完全平方公式的变形应用，勾股定理的应用，掌握“的变形公式”是解本题的关键．9．（本题2分）（2023·广东惠州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A、B均在函数的图象上，点C在y轴正半轴上，，．若点的横坐标是点A横坐标的3倍，则的面积为（

）A． B．3 C．5 D．6【答案】A【分析】过点A作轴于点M，过点B作轴于点N，易证(AAS)，即得出．设A(x，)，则B(3x，)，则C(0，)．由两点的距离公式可求出，，再由，即可列出关于x的等式，解出x，即可求出，从而可求出面积．【详解】如图，过点A作轴于点M，过点B作轴于点N，∵，∴．∵，∴．又∵，，∴(AAS)，∴，设A(x，)，则B(3x，)，∴C(0，)．∵，，又∵，∴，解得：（舍），∴，∴．故选：A．【点睛】本题考查反比例函数与几何的综合，三角形全等的判定和性质，两点的距离公式．正确的作出辅助线是解题关键．10．（本题2分）（2022·江苏盐城·统考二模）如图，已知点，，C是y轴上位于点B上方的一点，AD平分，BE平分，直线BE交AD于点D．若反比例函数的图像经过点D，则k的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意根据角平分线的性质可知，进而可得，勾股定理求得，进而求得，进而求得点的坐标，即可求得【详解】如图，过分别作的垂线，垂足分别为，，平分，平分，,,，四边形是正方形，，故选B【点睛】本题考查了反比例函数的定义，正方形的判定，角平分线的性质，HL判定三角形全等以及全等的性质，勾股定理，理解角平分线的性质是解题的关键．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（本题2分）（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，在x轴的上方作正方形，其对角线交点在第一象限，双曲线经过点P和点C，则的值是．

【答案】【分析】过点C作轴的垂线垂足为点N，过点A作轴的垂线垂足为点M，连接，则，证明，则，，则，证明，，得到，则是等腰直角三角形，作于点H，可得，得到，则点C的坐标是，由双曲线经过点P和点C，可得，则，求出的值即可．【详解】解：过点C作轴的垂线垂足为点N，过点A作轴的垂线垂足为点M，连接，则，

∵四边形为正方形，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴是等腰直角三角形，作于点H，∵，∴，则∴，∴点C的坐标是，∵双曲线经过点P和点C，∴，则，即，∵，∴两边同除以得到，，令，则，解得或，即或（不合题意，舍去），即的值是，故答案为：【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、解一元二次方程等知识，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形，得出点C的坐标．12．（本题2分）（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，A为反比例函数上一动点，C为中点，过点C作轴，交反比例函数于点B，连接，若三角形面积为，则

【答案】【分析】设点，则，由轴得，利用面积可建立一个关于a、b的方程，解得a、b之积即为k值．【详解】解：设点A的坐标为，∵C为中点，∴，∵轴，且点B在反比例函数图象上，∴，∴的边上的高，，又，∴．即．故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数的k值的几何意义，反比例函数图象上点的纵横坐标之积等于常数k．13．（本题2分）（2023·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点，分别与对角线，边交于点，，连接，．若点为的中点，的面积为，则的值为．

【答案】【分析】设，根据已知条件表示出点，点坐标，易得，，由的面积为，得的面积为，所以，即可求出的值【详解】解：设，是矩形，且点为的中点，点纵坐标为，代入反比例函数解析式得，，点横坐标为，点横坐标为，代入反比例函数解析式，得，，，的面积为，的面积为，，，解得．故答案为：．【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合应用，根据中点坐标公式表示各点坐标是解决本题的关键．14．（本题2分）（2023春·浙江温州·八年级统考阶段练习）如图，点A，B在反比例函数的图象上，轴于点C，交于点F，轴于点D，轴于点E，连接．若，，则k的值为．

【答案】【分析】证明四边形是矩形，可得，求解，可得，求解，而，在中，，再建立方程可得答案．【详解】解：∵轴于点D，轴于点E，∴四边形是矩形，∴，把代入，，∴，∴，∵，∴，∵轴于点C，把代入得，，∴，而，在中，，∴，解得，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的判定和性质，勾股定理的应用，二次根式的化简等，表示出线段的长度是解题的关键．15．（本题2分）（2023秋·河南驻马店·九年级统考期末）如图，点A在反比例函数第二象限内的图象上，点B在x轴的负半轴上，若，则的面积为．

【答案】4【分析】过A作于H，依据可得的面积为2，根据等腰三角形的性质即可得出答案．【详解】解：如图，过A作于H，

∵点A在反比例函数第二象限内的图象上，∵的面积为，∵，∴的面积为．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数k的几何意义：反比例函数图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．16．（本题2分）（2023·福建·九年级专题练习）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点E，F．若，则k的值为．【答案】/【分析】作轴，轴，垂足分别为，，与交于点，首先求出的坐标，再证明为等腰直角三角形，进而得出，再证明为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，得出，然后设点的坐标为，则点的坐标为，再根据，得出，解出即可得出点的坐标，再把点的坐标代入，计算即可得出答案．【详解】解：如图，作轴，轴，垂足分别为，，与交于点，∵直线与x轴，y轴分别交于点A，B，∴当时，，当时，，∴，，∴，∵，∴，∴为等腰直角三角形，∴，∴，∵轴，轴，∴，，

∴，，∴为等腰直角三角形，∴，又∵点、在直线上，∴设点的坐标为，则点的坐标为，∵点、在反比例函数上，又∵，∴，解得：，∵，，∴点的坐标为，∴，∴k的值为．故答案为：【点睛】本题考查了坐标与图形、等腰直角三角形的判定与性质、一次函数与反比例函数的交点问题、解一元一次方程，解本题的关键在充分利用数形结合思想解答，并正确作出辅助线．17．（本题2分）（2023·全国·九年级专题练习）如图，点P是双曲线上的一点，过点P作y轴的平行线交直线：于点Q，连接．当点P在曲线上运动，且点P在Q的上方时，则四边形面积的最大值是．【答案】3【分析】设，则，得到PQ＝−x＋2，根据三角形面积公式得到，再根据二次函数的性质求出最大值即可．【详解】解：∵PQ⊥x轴，∴，则，∴PQ＝∵∴,即∴∵∴四边形面积有最大值，最大值是3．故答案为3．【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质、反比例函数系数k的几何意义等知识点，掌握从反比例函数图像上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为是解答本题的关键．18．（本题2分）（2023春·全国·八年级专题练习）如图，已知点A是一次函数图象上一点，过点A作轴的垂线，是上一点在A上方，在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，反比例函数的图象过点，，若的面积为，则的面积是．【答案】【分析】过作轴于，交于，设，根据直角三角形斜边中线是斜边一半得：，设，则，，因为、都在反比例函数的图象上，列方程可得结论．【详解】解：如图，过作轴于，交于．轴，，是等腰直角三角形，，设，则，设，则，，，在反比例函数的图象上，，解得，，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质、三角形面积，熟练掌握反比例函数上的点符合反比例函数的关系式是关键．19．（本题2分）（2022秋·四川达州·九年级校考阶段练习）如图，，，，…均为等边三角形，其中点，，，…都在x轴上，点，，，…，都在反比例函数的图象上，则的坐标为．【答案】【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点E，利用等边三角形的性质，以及反比例函数上图象上的点的特点，分别求出的坐标，抽象概括出点的规律，进行求解即可．【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点E，∵为等边三角形，∴，，∴，设的长度为t，则的坐标为，把代入得：，解得或（舍去），∴，∴；设的长度为m，同理得到，则的坐标表示为，把代入得，解得或（舍去），∴，，，∴；设的长度为n，同理，为，B3的坐标表示为，把代入得，解得：或（舍去），∴，，，∴，综上可得：，故答案为：．【点睛】本题考查反比例函数与几何综合，坐标系下点的规律探究．熟练掌握等边三角形的性质，双曲线上点的特点，抽象概括出点的坐标规律是解题的关键．20．（本题2分）（2023·全国·九年级专题练习）如图，平行四边形的顶点，在轴上，顶点在上，顶点在上，则平行四边形的面积是．【答案】11【分析】过点作于点，过点作轴于点，因为四边形是平行四边形，可证得，，即，，再根据反比例函数的的几何意义即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作轴于点，四边形是平行四边形，，，，，，同理可得：，，点在反比例函数上，，点在反比例函数上，，平行四边形的面积为：，故答案为：11．【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（本题6分）（2023春·河南新乡·九年级校联考开学考试）如图所示，在平面直角坐标系中，反比例函数与矩形的两条边的交点分别是M，N，其中点M的坐标为．连接，，已知的面积是矩形面积的．

(1)求反比例函数的解析式；(2)求四边形的面积．【答案】(1)(2)18【分析】（1）将M代入反比例函数的表达式中求解即可；（2）利用k的几何意义求出、的面积，进而求出矩形的面积，借助割补法求解面积即可．【详解】（1）解：∵反比例函数经过点，∴．∴．∴反比例函数的解析式为．（2）解：由反比例函数k的几何意义可知的面积的面积．∵的面积是矩形面积的，∴矩形的面积．∴．【点睛】本题考查坐标与图形性质、待定系数法求函数表达式、反比例函数比例系数k的几何意义，熟练反比例函数比例系数k的几何意义，利用割补法求解图形面积是解答的关键．22．（本题6分）（2023春·河南南阳·八年级统考期中）如图，、两点在函数的图象上．

(1)求的值及直线的解析式．(2)当时，自变量的取值范围是______．(3)如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点为格点，请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数．(4)请在右图中画出函数的图象并写出当时、、的大小关系．【答案】(1)，(2)(3)3个(4)画图见解析，【分析】（1）把点代谢反比例函数的解析，即可求得m的值，把，分别代入表达式，即可求得直线AB的解析式；（2）由图象即可求得；（3）根据图象及解析式即可求得．（4）根据题意，画出函数的图象，进而根据函数图象，即可求解．【详解】（1）解：由图可知反比例函数过点，将代入，得，∴反比例函数的表达式为将点，分别代入表达式得：，解得∴直线AB的表达式为（2）解：由图象可知：当时，故答案为：（3）解：格点的横坐标x的取值范围为且x为整数当时，，，此时格点的坐标为当时，，，此时格点的坐标为当时，，，此时格点的坐标为当时，，，此时没有格点综上，所含格点的坐标为，，，共3个，（4）解：如图所示，

∴【点睛】本题考查了利用待定系数法求反比例函数及一次函数的解析式，利用图象求不等式的解集，格点问题，采用数形结合的思想是解决此类题的关键．23．（本题8分）（2023·山东·九年级专题练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．

(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)点在x轴负半轴上，连接，过点B作，交的图象于点Q，连接．当时，求n的值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据反比例函数过，，求得B的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数和一次函数的表达式；（2）证得四边形是平行四边形，根据平移的思想得到Q点的坐标，代入反比例函数解析式即可求得n的值．【详解】（1）解：反比例函数的图象过，两点，∴，∴，，∴反比例函数为，，把A、B的坐标代入得，解得，∴一次函数为；（2）如图，连接，

∵，，，，，∴四边形是平行四边形，∴点A向左平移个单位，向下平移4个单位得到P，∴点向左平移个单位，向下平移4个单位得到，∵点Q在上，∴，解得n．【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，平移的性质，平行四边形的性质，求解Q点的坐标是解题的关键．24．（本题8分）（2023春·江苏盐城·八年级景山中学校考阶段练习）如图，在直角坐标系中，直线与反比例函数的图像交于、两点，已知点的纵坐标是．

(1)求反比例函数的表达式；(2)根据图像直接写出的的解集；(3)将直线向上平移后与轴交于点，与双曲线在第二象限内的部分交于点，如果的面积为，求平移后的直线表达式．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）将代入一次函数解析式中，求出的值，即可得出点的坐标，再利用反比例函数图像上点的坐标特征即可求出反比例函数的表达式；（2）根据图像即可求得；（3）连接、，设平移后的解析式为，由平行线的性质可得出，结合正、反比例函数的对称性以及点的坐标，即可得出关于的一元一次方程，解方程即可得出结论．【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图像交于、两点，已知点的纵坐标是，当时，，解得：，∴点的坐标为，∵点在反比例函数的图像上，∴，∴反比例函数的表达式为；（2）由图像可知：的解集为：；（3）∵直线与反比例函数的图像交于、两点，由对称性质可知：点的坐标为，连接、，设平移后的解析式为，∵该直线平行直线，∴，∵的面积为，∴，∴，∴平移后的直线的函数表达式为．

【点睛】本题考查反比例函数与一次函数交点的问题，待定系数法确定函数解析式，函数图像上点的坐标特征，利用图像解不等式，平移的性质，三角形面积等知识点，数形结合是解题的关键．25．（本题8分）（2023春·广东惠州·九年级校考开学考试）如图1，在平面直角坐标系中，的一个顶点与坐标原点重合，边落在x轴上，且，，．反比例函数的图象经过点C，与交于点D，连接．

(1)试求反比例函数的解析式；(2)求证：平分；(3)如图2，连接，在反比例函数图象上是否存在一点P，使得？如果存在，请直接写出点P的坐标．如果不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)见解析(3)存在，点P的坐标为或【分析】（1）先确定出，即可得出点C坐标，最后用待定系数法即可得出结论；（2）先判断出，再联立两函数解析式求出点D的坐标，进而得出，即可得出结论；（3）分两种情况利用面积关系得出点P到的距离等于的一半即可得出结论．【详解】（1）如图1，过点C作轴于E，

∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵点C在反比例函数图象上，∴，∴反比例函数解析式为，（2）如图2，过点D作轴于G，交于F，

∵轴，∴，∵，由（1）知，，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，，∴直线的解析式为①，∵反比例函数解析式为②，联立①②解得，或（舍），∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴点D是的角平分线上，即：平分；（3）存在，∵点，∴直线的解析式为，，∵，∴Ⅰ、如图3，当点P在点C右侧时，即：点P的横坐标大于2，

∵，∴设的中点为M，∴，过点M作交双曲线于P，∴直线的解析式为③，∵反比例函数解析式为④，联立③④解得，或（舍），∴；Ⅱ、当点在点C左侧时，即：点的横坐标大于0而小于2，设点M关于的对称点为，，∴，，∴，，∴，∵，∴直线的解析式为⑤，联立④⑤解得，或（舍），∴．即：点P的坐标为或．【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，解方程组，点到直线的距离，角平分线的判定，解本题的关键是用分类讨论的思想解决问题．26．（本题8分）（2022秋·广东梅州·九年级统考期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点C，轴于点D，，点关于直线的对称点为点．

(1)点是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；(2)连接、，若四边形为正方形．①求、的值；②若点在轴上，当最大时，求点的坐标．【答案】(1)点在这个反比例函数的图象上，理由见解析(2)①；②【分析】（1）设点的坐标为，根据轴对称的性质得到，平分，如图，连接交于，得到，再结合，轴，进而求得，于是得到点在这个反比例函数的图像上；（2）①根据正方形的性质得到，垂直平分，求得，设点的坐标为，得到（负值舍去），求得，，把，代入得，解方程组即可得到结论；②延长交轴于，根据已知条件得到点与点关于轴对称，求得，则点即为符合条件的点，求得直线的解析式为，于是得到结论．【详解】（1）解：点在这个反比例函数的图象上，理由：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，∴设点的坐标为，∵点关于直线的对称点为点，∴，平分，如图．连接交于，∴，

∵，，∴，∴，∵轴于，∴轴，∴，∵，∴点在这个反比例函数的图象上；（2）解：①∵四边形为正方形，∴，垂直平分，∴，设点的坐标为，∴，∴，∴，∴，∴，把，代入得，∴；②延长交轴于，

∵，∴点与点关于轴对称，∴，则点即为符合条件的点，由①知，，，∴，设直线的解析式为，∴，∴，∴直线的解析式为，当时，，∴．故当最大时，点的坐标为．【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，正方形的性质，轴对称的性质，待定系数法求一次函数的解析式，正确地作出辅助线是解题的关键．27．（本题8分）（2023·江苏徐州·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与矩形