第5章生活中的轴对称（学生版）

第5章生活中的轴对称知识点01：轴对称图形1、如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。2、理解轴对称图形要抓住以下几点：（1）指一个图形；（2）存在一条直线（对称轴）；（3）图形被直线分成两部分互相重合；（4）轴对称图形对称轴有只有一条，有则存在多条；（5）线段、角、长方形、正方形、菱形、等腰三角形、圆都是轴对称图形；知识点02：轴对称1、对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能互相重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴。可以说成：这两个图形关于某条直线对称。2、理解轴对称应注意：（1）有两个图形；（2）沿某一条直线对折后能够完全重合；（3）轴对称两个图形一定是全等形，但两个全等图形一定是轴对称图形；（4）对称轴是直线而是线段；轴对称图形轴对称区别是一个图形自身对称特性是两个图形之间对称关系对称轴可能止一条对称轴只有一条共同点沿某条直线对折后都能够互相重合如果轴对称两个图形看作一个整体，那么它就是一个轴对称图形；如果把轴对称图形分成两部分（两个图形），那么这两部分关于这条对称轴成轴对称。知识点03：角平分线性质1、角平分线所在直线是该角对称轴。2、性质：角平分线上点到这个角两边距离相等。知识点04：线段垂直平分线1、垂直于一条线段并且平分这条线段直线叫做这条线段垂直平分线，又叫线段中垂线。2、性质：线段垂直平分线上点到这条线段两端点距离相等。知识点05：等腰三角形1、有两条边相等三角形叫做等腰三角形；2、相等两条边叫做腰；另一边叫做底边；3、两腰夹角叫做顶角，腰与底边夹角叫做底角；4、三条边都相等三角形也是等腰三角形。5、等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴（等边三角形除外），其底边上高或顶角平分线，或底边上中线所在直线都是它对称轴。6、等腰三角形三条重要线段是它对称轴，它们所在直线才是等腰三角形对称轴。7、等腰三角形底边上高，底边上中线，顶角平分线互相重合，简称为“三线合一”。8、“三线合一”是等腰三角形所特有性质，一般三角形具备这一重要性质。9、“三线合一”是等腰三角形特有性质，是指其顶角平分线，底边上高和中线，这三线，并非其他。10、等腰三角形两个底角相等，简写成“等边对等角”。11、判定一个三角形是等腰三角形常用两种方法：（1）两条边相等三角形是等腰三角形；（2）如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对边也相等相等，简写为“等角对等边”。知识点06：等边三角形1、等边三角形是指三边都相等三角形，又称正三角形，是最特殊三角形。2、等边三角形是底与腰相等等腰三角形，所以等边三角形具备等腰三角形所有性质。3、等边三角形有三条对称轴，三角形高、角平分线和中线所在直线都是它对称轴。4、等边三角形三边都相等，三个内角都是600。图形定义性质等腰三角形有两边相等三角形1、两腰相等，两底角相等。2、顶角=18002×底角。底角=（1800顶角）/2。3、顶角平分线、底边上中线和高“三线合一”。4、轴对称图形，有一条对称轴。等边三角形（又叫正三角形）三边都相等三角形1、三边都相等，三内角相等，且每个内角都等于600。2、具有等腰三角形所有性质。3、轴对称图形，有三条对称轴。知识点07：轴对称性质1、两个图形沿一条直线对折后，能够重合点称为对应点（对称点），能够重合线段称为对应线段，能够重合角称为对应角。2、关于某条直线对称两个图形是全等图形。3、如果两个图形关于某条直线对称，那么对应点所连线段被对称轴垂直平分。4、如果两个图形关于某条直线对称，那么对应线段、对应角都相等。5、类似地，轴对称图形性质有：（1）轴对称图形对应点所连线段被对称轴垂直平分。（2）轴对称图形对应线段、对应角相等。（3）根据轴对称图形性质可求作轴对称图形对应点、对应线段或对应角，并由此能补全轴对称图形。知识点08：图案设计1、作出简单平面图形经过轴对称后图形，实际上是轴对称图形性质灵活运用。2、作出简单平面图形经过轴对称后图形步骤:（1）首先要确定一个简单平面图形上几个特殊点；（2）然后利用轴对称性质，作出其相应对称点（对应点所连线段被对称轴垂直平分）。（3）分别连接其对称点，则可得其对称图形。3、表达方式（以点M为例）：（1）过点M作对称轴垂线，垂足为A；（2）延长MA到M’到，使M’A=MA，则点M’就是点M关于直线对称点。（3）在复杂作图中，也可以叙述为：作出点M关于直线对称点M’.4、在运用轴对称设计图案时，就注意以下几点：（1）要有明确设计意图；（2）创意要新颖独特；（3）设计出图案要符合要求；（4）能清楚地表达自己设计意图和制作过程。5、图案设计除采用对称手段外，通常还综合采用旋转、倒置、重复等手段和形式。6、设计图案要美观、大方，积极向上，反映时代特色。知识点09：镜面对称1、镜面对称有关性质：（1）任何一个平面图形（物体）在镜子中像与它是可以重合。因此，一个轴对称图形在镜子中像仍是轴对称图形。（2）若一个平面图形正对镜面，则其左（右）侧在镜中像是其右（左）侧；（3）若一个平面图形（物体）垂直于镜面摆放，则靠近镜面部分，其像也靠近镜面；2、关于数字0、1、3、8在镜面中像两个结论：（1）如果写数字纸条垂直于镜面摆放，则纸条上写0、1、3、8所成像与原来数字完全一样。（2）如果纸条正对镜面摆放，则纸条上写0、1、8这三个数字在镜中像和原来数字完全一样。3、像与物体到镜面距离相等。4、像与物体对应点连线被镜面垂直平分。5、由镜中时间来判断真实时间是近几年来中考一个热点。时间表示有用一般数字表示，也有直接用钟表来表示。在判断时，大家要注意灵活利用镜面对称知识来加以解决。一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022春•沙坪坝区校级期末）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为（）A．105° B．115° C．120° D．130°2．（2分）（2022春•广饶县期末）如图，已知AD是△ABC的角平分线，AD的中垂线交AB于点F，交BC的延长线于点E．以下四个结论：（1）∠EAD＝∠EDA；（2）DF∥AC；（3）∠FDE＝90°；（4）∠B＝∠CAE．恒成立的结论有（）A．（1）（2） B．（2）（3）（4） C．（1）（2）（4） D．（1）（2）（3）（4）3．（2分）（2018春•官渡区期末）如图，有一条宽纸带，FG∥PH，沿折痕AB进行折叠，BD交FG于点E，∠1＝50°，则下列说法正确的有（）个．①∠CAF＝50°；②∠BAG＝∠2+50°；③∠EBP＝∠HBA；④∠AEB＝∠ABE；⑤∠2＝65°．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个4．（2分）（2018春•沙坪坝区期末）如图，点D为△ABC边BC的延长线上一点．∠ABC的角平分线与∠ACD的角平分线交于点M，将△MBC以直线BC为对称轴翻折得到△NBC，∠NBC的角平分线与∠NCB的角平分线交于点Q，若∠A＝48°，则∠BQC的度数为（）A．138° B．114° C．102° D．100°5．（2分）（2018秋•前郭县校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，∠A＝36°，P是△ABC内一点，且∠1＝∠2，则∠BPC的度数为（）A．72° B．108° C．126° D．144°6．（2分）（2022春•龙岗区期末）如图，分别以△ABC的边AB，AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE，∠BAC＝150°，线段BD与CE相交于点O，连接BE、ED、DC、OA．有如下结论：①∠EAD＝90°；②∠BOE＝60°；③OA平分∠BOC；④EA＝ED；⑤BP＝EQ．其中正确的结论个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个7．（2分）（2022春•和平区期末）将一张长方形纸片ABCD按如图所示方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为B′、D′，若∠B′AD′＝8°，则∠EAF的度数为（）A．40° B．40.5° C．41° D．42°8．（2分）（2021秋•河东区期末）如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个9．（2分）（2020春•崇川区校级期末）如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，则∠ADB的度数为（）A．54° B．50° C．48° D．46°10．（2分）（2020•黄岩区模拟）如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP．下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF．其中，正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022秋•曲靖期末）如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为30，40，50．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO＝．12．（2分）（2022春•张家川县期末）如图，在△ACE中，AE＝7，AC＝9，CE＝12，点B、D分别在边CE、AE上，若△ACD与△BCD关于CD所在直线对称，则△BDE的周长为．13．（2分）（2022春•榆林期中）如图，△AOB与△COB关于边OB所在的直线成轴对称，AO的延长线交BC于点D．若∠BOD＝46°，∠C＝20°，则∠ADC＝°．14．（2分）（2022秋•睢阳区期末）已知△ABC为等边三角形，AB＝10，M在AB边所在直线上，点N在AC边所在直线上，且MN＝MC，若AM＝16，则CN的长为．15．（2分）（2021春•渠县期末）如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝，ON＝6，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是．16．（2分）（2023春•东台市月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝70°，D是AB的中点，点E在边AC上一动点，将△ADE沿DE翻折，使点A落在点A′处，当A′E∥BC时，则∠ADE＝．17．（2分）（2022春•菏泽期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，两锐角的角平分线交于点P，点E、F分别在边BC、AC上，且都不与点C重合，若∠EPF＝45°，连接EF，当AC＝6，BC＝8，AB＝10时，则△CEF的周长为．18．（2分）（2021春•静安区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，E是BC边上一点，将△ABE沿AE翻折，点B落到点D的位置，AD边与BC边交于点F，如果AE＝AF＝DE，那么∠BAC＝度．19．（2分）（2021秋•璧山区校级期中）在四边形ABCD中，∠ADC与∠BCD的角平分线交于点E，∠DEC＝115°，过点B作BF∥AD交CE于点F，CE＝2BF，∠CBF＝∠BCE，连接BE，S△BCE＝4，则CE＝．20．（2分）（2022春•即墨区期末）在△ABC中，AB＝AC＝10，AD是△ABC的角平分线，E在AB的垂直平分线上，AE：EC＝3：2，F为AD上的动点，则EF+CF的最小值为．三．解答题（共7小题，满分60分）21．（8分）（2023•龙岩模拟）如图，已知△ABC中，∠DAB＝∠ABC，AC＝BD．（1）求作点D关于直线AB的对称点E；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下连接AE，BE，求证：∠AEB+∠C＝180°．22．（8分）（2023春•工业园区校级期中）如图，O是△ABC的三条角平分线的交点，OG⊥BC，垂足为G．∠DOB＝50°，求∠GOC的度数．​23．（8分）（2023•岳池县模拟）认真观察下面四幅图中阴影部分构成的图案，回答下列问题．（1）请你写出这四个图案都具有的两个共同特征：特征1：；特征2：．（2）请你借助下面的网格，设计出三个不同图案，使它也具备你所写出的上述特征．（注意：新图案与以上四幅图中的图案不能相同）24．（8分）（2022秋•翔安区期末）如图，在△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于点E，且AE＝BD，求证：BD是∠ABC的角平分线．25．（8分）（2022秋•茶陵县期末）在△ABC和△DCE中，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝α．（1）如图1，将AD、EB延长，延长线相交于点O：①求证：BE＝AD；②用含α的式子表示∠AOB的度数（直接写出结果）；如图2，当α＝45°时，连接BD、AE，作CM⊥AE于M点，延长MC与BD交于点N，求证：N是BD的中点．26．（10分）（2022秋•遂平县期末）阅读材料：如图，△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP＝S△ABC，即：，∴r1+r2＝h（定值）．（1）类比与推理如果