第02讲探索平行线的性质（2大考点7种题型强化训练）（原卷版）

第02讲探索平行线的性质（2大考点+7种题型+强化训练）1.认识并掌握平行线的性质；2.运用平行线的性质进行简单的推理及有条理的表达；3．理解和掌握平行线的性质定理并灵活运用于求角的关系；4．能够灵活运用平行线的判定定理和性质定理进行证明．知识点1：平行线的性质1、性质1：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。简称为：两直线平行，同位角相等。2、性质2：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。简称为：两直线平行，内错角相等。3、性质3：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。简称为：两直线平行，同旁内角互补。知识点2：平行线的性质和判定的区别与联系平行线的性质和判定中的条件和结论恰好相反，在“两条直线被第三条直线所截”的前提下，从同位角相等，内错角相等或同旁内角互补，推出两直线平行，这是平行线的判定；而从两直线平行推出同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，这是平行线的性质。性质判定二者的因果关系如下：性质判定题型一：两直线平行同位角相等【例1】．（2023下·江苏镇江·七年级校考期末）请把下列证明过程补充完整．已知：如图，平分，点D、E分别在、上，且．求证：．

证明：∵平分（已知），∴______（______）．∵（已知），∴______（______）．∴______（______）．【变式1】．（2023下·江苏扬州·七年级校考阶段练习）如图，平分，F在上，G在上，与相交于点H，，试说明．（请通过填空完善下列推理过程）解：∵（已知），（______)．∴______（______）．∴（______）．∴______（______）．∵平分（______），∴______（______）．∴（______）．【变式2】．（2023下·江苏扬州·七年级统考期末）如图，直线，且直线被直线所截．

(1)求证：；(2)若，试判断直线与直线的位置关系，并说明理由．【变式3】．（2023·江苏·七年级假期作业）如图，，），解答下列问题．(1)如图①，当，时，过点B在的内部作则度；(2)如图②，点G在上，过点G作．①当，时，求的度数；②用含有和的式子表示；③当，时，过点G作，直接写出的度数．题型二：两直线平行内错角相等【例2】．（2023下·江苏泰州·七年级校考周测）如图，已知，平分，＝，求的度数．

【变式1】．（2023下·江苏盐城·七年级校考期末）如图：在中，平分外角，且．求证：．

【变式2】．（2023下·江苏南京·七年级校考期中）完成下面的推理说明：已知：如图，，分别平分和．

求证：．证明：∵分别平分和（已知），∴，（①______）．∵（已知），∴（②______）．∴（等量代换）．∴（③______）．∴（④______）．【变式3】．（2023下·江苏无锡·七年级校联考期中）如图，，点E在上，点G在上．

(1)如图1，在、上分别取点M、N，连接，点F在上，已知平分，平分，若，，求，的度数．(2)如图2，平分，平分，反向延长交于K，设，请通过计算，用含x的代数式表示．(3)如图3，已知，，平分，平分，请直接写出与的数量关系_________________题型三：两直线平行同旁内角互补【例3】．（2023下·江苏盐城·七年级统考期中）如图，，，．求和的度数．

【变式1】．（2023下·江苏苏州·七年级统考期末）如图，，．与相等吗？为什么？

【变式2】．（2023下·江苏连云港·七年级校考阶段练习）为了美化夜景，在某段道路两旁安置了两座可旋转激光灯．如图，灯A射线自开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是/秒，灯B转动的速度是/秒，且a、b满足．假定主道路是平行的，即，且．

(1)填空：_______，_______，_______；(2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，灯A射线转动几秒，两灯的光束互相平行？(3)如图，两灯同时转动，在灯A射线到达之前，若射出的光束交于点C，过C作交于点D，则在转动过程中，与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．【变式3】．（2023下·江苏·七年级专题练习）如图1，已知两条直线被直线所截，分别交于点E，点F，平分交于点M，且．

(1)判断直线与直线是否平行，并说明理由；(2)如图2，点G是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点H，过点H作于点N，设．①当点G在点F的右侧时，若，求α的度数；②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．题型四：根据平行线的性质探究角的关系【例4】．（2023下·江苏·七年级专题练习）如图，已知的平分线交于点F．探究与之间的数量关系，并证明你的结论．

【变式1】．（2023下·江苏南通·七年级统考期末）如图，在中，．过点A作．

(1)判断是否平分，并说明理由；(2)如图2，点D是射线上一动点（不与点B，C重合），平分交射线于E，过点E作于F．①当点D在点B左侧时，若，求的度数；②点D在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．【变式2】．（2023下·江苏南京·七年级统考期中）从特殊到一般是数学研究的常用方法，有助于我们发现规律，探索问题的解．

(1)如图1，，点E为、之间的一点．求证：．(2)如图2，，点E、F、G、H为、之间的四点．则______．(3)如图3，，则______．【变式3】．（2023下·江苏南京·七年级校考阶段练习）如图所示的格线彼此平行．小明在格线中作，并探究角之间的数量关系．

(1)如图1，他先在一条格线上取一点，作出，当时，________；（注：、是角的两边与格线所成的角）(2)如图2，他又在两条格线之间取一点，作出，请探究、与之间的数量关系，并证明；（注：、是角的两边与格线所成的角）(3)如图3，点、、、在格线上，点在格线之间，平分，平分，若，则________．题型五：根据平行线的性质求角的度数【例5】．（2023下·江苏南通·七年级如东县实验中学校考期中）如图，点C，D在直线上，，，的角平分线交于点G，过点F作交的延长线于点M，若，求的度数．

【变式1】．（2023下·江苏盐城·七年级校考阶段练习）如图，在中，点D，E分别在和上，平分，过点D作．已知，求的度数是多少？

【变式2】．（2023下·江苏镇江·七年级校联考阶段练习）如图，，直线EF分别交、于点E、F，平分，，求的度数．

【变式3】．（2023下·江苏淮安·七年级统考期末）如图，直线，一副三角板（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分．

(1)求的度数；(2)如图②，若将绕B点以每秒的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G）．设旋转时间为t秒；①在旋转过程中，若边，求t的值；②若在绕B点旋转的同时，绕E点以每秒的速度按顺时针方向旋转（C、D的对应点分别为K、T），请直接写出与平行时t的值．题型六：平行线的性质在生活中的应用【例6】．（2023下·七年级单元测试）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图1中，有∠1＝∠2．(1)如图2，已知镜子MO与镜子ON的夹角∠MON＝90°，请判断入射光线AB与反射光线CD的位置关系，并说明理由；(2)如图3，有一口井，已知入射光线AO与水平线OC的夹角为50°，当平面镜MN与水平线OC的夹角为°，能使反射光线OB正好垂直照射到井底；(3)如图4，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝120°，∠DCF＝40°，射线AB、CD分别绕A点、C点以3度/秒和1度/秒的速度同时逆时针转动，设时间为t秒，在射线AB转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t．【变式1】．（2023下·江苏·七年级期中）如图1，某段道路，两旁安装了两个探照灯M和N．灯M光束从开始旋转至便立即回转，灯N光束从开始旋转至便立即回转．灯M转动的速度是每秒1度，灯N转动的速度是每秒2度，灯M转动的时间为t秒．(1)如图2，灯M光束先转动30秒后，灯N光束才开始转动．①直接写出灯M光束和灯N光束，灯先回转；(填M或N)②在灯M光束回转之前，当两灯的光束平行时，求t的值；(2)如图3，两灯同时转动，且均不回转．连接，且，若两灯光束交于点E，在转动过程中，请探究与的数量关系是否发生变化？并说明理由．【变式2】．（2023下·江苏泰州·七年级统考期末）如图1是一盏可折叠台灯．图2、图3是其平面示意图，支架、为固定支撑杆，支架可绕点C旋转调节．已知灯体顶角，顶角平分线始终与垂直．

(1)如图2，当支架旋转至水平位置时，恰好与平行，求支架与水平方向的夹角的度数；(2)若将图2中的绕点顺时针旋转到如图3的位置，求此时与水平方向的夹角的度数．题型七：根据平行线判定与性质求角度【例7】．（2023下·江苏·七年级专题练习）如图，在中，，垂足为D，点E在上，，垂足为F．(1)与平行吗？请说明理由．(2)已知，求的度数．【变式1】．（2023下·江苏南通·七年级校联考阶段练习）如图，于点，于点，平分交于点，点为线段延长线上一点，．

(1)求证：；(2)若，求的度数．【变式2】．（2023下·江苏·七年级专题练习）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图①、图②中，都有．设镜子与的夹角．(1)如图①，若，判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由．(2)如图②，若，入射光线与反射光线的夹角．探索α与β的数量关系，并说明理由．(3)如图③，若，设镜子与的夹角，入射光线与镜面的夹角，已知入射光线从镜面开始反射，经过n（n为正整数，且）次反射，当第n次反射光线与入射光线平行时，请直接写出γ的度数．（可用含有m的代数式表示）一、单选题1．（2023上·江苏·七年级专题练习）下列结论正确的是（

）A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行B．平行于同一条直线的两直线平行C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等D．不相交的两条直线必平行2．（2023下·江苏泰州·七年级统考期末）如图，与互为补角，，则的度数是（

）

A．117° B．63° C．100° D．80°3．（2023下·江苏扬州·七年级统考期末）如图，，将一副三角板按如图方式摆放，则的度数是（

）

A． B． C． D．4．（2023下·江苏南通·七年级统考期末）如图，直线，点E，F分别是直线上的两点，点P在直线和之间，连接和的平分线交于点Q，下列等式正确的是（）

A．B．C． D．5．（2023下·江苏扬州·七年级统考期末）如图，是的高，若交于点，则与的数量关系是（

）

A． B． C． D．6．（2023下·江苏扬州·七年级校联考期中）如图，给出条件：①；②；③且；④且，其中能推出的条件是（）

A．① B．② C．②③ D．③④7．（2023上·江苏淮安·七年级淮安市徐杨中学校考阶段练习）如图，下列推理及所说理由正确的是（

）A．因为，所以．理由：同位角相等，两直线平行B．因为，所以．理由：同位角相等，两直线平行C．因为，所以．理由：两直线平行，内错角相等D．因为，所以．理由：两直线平行，同位角相等8．（2023下·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图，给出下列条件：；；③且；④且，其中能推出的条件正确的有（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．（2023下·江苏淮安·七年级统考期末）如图，直线，把三角板的直角顶点放在直线上，若，则的度数为（

）

A． B． C． D．10．（2023下·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，直线，平分，平分，，，则（

）A． B． C． D．二、填空题11．（2023下·江苏苏州·七年级统考期末）如图，已知，，记，则m的值为．

12．（2023下·江苏泰州·七年级校考阶段练习）如图，有一块含有角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，如果那么的度数=°．

13．（2023下·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图a是长方形纸带，，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的的度数是度．

14．（2023下·江苏扬州·七年级校考阶段练习）已知，如图，，则．

15．（2023下·江苏扬州·七年级校考阶段练习）如图，，，，则的度数等于．

16．（2023下·江苏南京·七年级校考期中）如图，在四边形中，过点A的直线，若，则．

17．（2023下·江苏连云港·七年级统考期中）一条古称在称物时的状态如图所示，已知，则．

18．（2023下·江苏连云港·七年级统考期末）如图，，将直角三角尺的两个锐角顶点分别落在a、b上．若，则等于°．

三、解答题19．（2023下·江苏扬州·七年级统考期末）已知：如图，平分，点在上，点在上，连接、，与相交于点，．

(1)证明：；(2)若，，求．20．（2023下·江苏扬州·七年级统考期末）如图，在中，，F、G是、上的两点，．

(1)求证：；(2)若，平分，求的度数．21．（2023下·江苏苏州·七年级校考阶段练习）如图，分别与相交于点G、点H，，试说明．

22．（2023下·江苏泰州·七年级校考阶段练习）如图，分别与