2025届上海市奉贤区数学高一上期末考试模拟试题含解析

2025届上海市奉贤区数学高一上期末考试模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵．那么前3个儿子分到的绵的总数是（）A.89斤 B.116斤C.189斤 D.246斤2．已知等边的边长为2，为内（包括三条边上）一点，则的最大值是A.2 B.C.0 D.3．设，则“”是“”的（）条件A.必要不充分 B.充分不必要C.既不充分也不必要 D.充要4．已知两条绳子提起一个物体处于平衡状态.若这两条绳子互相垂直，其中一条绳子的拉力为50，且与两绳拉力的合力的夹角为30°，则另一条绳子的拉力为（）A.100 B.C.50 D.5．棱长分别为1、、2的长方体的8个顶点都在球的表面上，则球的体积为A. B.C. D.6．下列函数中，值域为的偶函数是A. B.C. D.7．已知函数是定义域上的递减函数，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.8．已知函数，若对任意，总存在，使得不等式都恒成立，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.9．已知函数fx=x+a,x≤0,x2,x>0,那么“a=0”是A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件10．设f（x）为定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=log3（1+x），则f（﹣2）=（）A.﹣3 B.﹣1C.1 D.3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知，则_________.12．计算_________.13．若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为____.14．已知表示不超过实数的最大整数，如，，为取整函数，是函数的零点，则__________15．已知函数的部分图像如图所示，则_______________.16．若实数x，y满足，则的最小值为___________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知与都是锐角，且，（1）求的值；（2）求证：18．已知函数的定义域为，在上为增函数，且对任意的，都有（1）试判断的奇偶性；（2）若，求实数的取值范围19．已知函数.（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）若当时，求的最大值和最小值及相应的取值.20．已知函数，.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值.21．已知函数，（1）求证：为奇函数；（2）若恒成立，求实数的取值范围；（3）解关于的不等式

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】利用等差数列的前项和的公式即可求解.【详解】用表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，所以，解之得所以，即前3个儿子分到的绵是246斤故选：D2、A【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则，设点P的坐标为，则故令，则t表示内（包括三条边上）上的一点与点间的距离的平方．结合图形可得当点与点B或C重合时t可取得最大值，且最大值为，故的最大值为．选A点睛：通过建立坐标系，将问题转化为向量的坐标运算可使得本题的解答代数化，在得到向量数量积的表达式后，根据表达式的特征再利用数形结合的思路求解是解题的关键，借助图形的直观性可容易得到答案3、B【解析】根据充分条件与必要条件的概念，可直接得出结果.【详解】若，则，所以“”是“”的充分条件；若，则或，所以“”不是“”的必要条件；因此，“”是“”的充分不必要条件.故选：B【点睛】本题主要考查充分不必要条件的判定，熟记概念即可，属于基础题型.4、D【解析】利用向量的平行四边形法则求解即可【详解】如图，两条绳子提起一个物体处于平衡状态，不妨设，根据向量的平行四边形法则，故选：D5、A【解析】球的直径为长方体的体对角线，又体对角线的长度为，故体积为，选A.6、D【解析】值域为的偶函数；值域为R的非奇非偶函数；值域为R的奇函数；值域为的偶函数.故选D7、B【解析】由指数函数的单调性知，即二次函数是开口向下的，利用二次函数的对称轴与1比较，再利用分段函数的单调性，可以构造一个关于a的不等式，解不等式即可得到实数a的取值范围【详解】函数是定义域上的递减函数，当时，为减函数，故；当时，为减函数，由，得，开口向下，对称轴为，即，解得；当时，由分段函数单调性知，，解得；综上三个条件都满足，实数a的取值范围是故选：B.【点睛】易错点睛：本题考查分段函数单调性，函数单调性的性质，其中解答时易忽略函数在整个定义域上为减函数，则在分界点处（）时，前一段的函数值不小于后一段的函数值，考查学生的分析能力与运算能力，属于中档题.8、D【解析】探讨函数性质，求出最大值，再借助关于a函数单调性列式计算作答.【详解】依题意，，则是上的奇函数，当时，，在上单调递增，在上单调递减，则，由奇函数性质知，函数在上的最大值是，依题意，存在，，令，显然是一次型函数，因此，或，解得或，所以实数的取值范围为.故选：D9、A【解析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】当a=0时，fx=x,x≤0当函数fx是增函数时，则a≤0故选：A10、B【解析】因为函数f（x）为奇函数，所以．选B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】由题意可得：点睛：熟记同角三角函数关系式及诱导公式，特别是要注意公式中的符号问题；注意公式的变形应用，如sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，1＝sin2α＋cos2α及sinα＝tanα·cosα等．这是解题中常用到的变形，也是解决问题时简化解题过程的关键所在12、1【解析】，故答案为113、【解析】把不等式变形为，分和情况讨论，数形结合求出答案.【详解】解：变形为：，即在上恒成立令，若，此时在上单调递减，，而当时，，显然不合题意；当时，画出两个函数的图象，要想满足在上恒成立，只需，即，解得：综上：实数a的取值范围是.故答案为：14、2【解析】由于，所以，故.【点睛】本题主要考查对新定义概念的理解，考查利用二分法判断函数零点的大概位置.首先研究函数，令无法求解出对应的零点，考虑用二分法来判断，即计算，则零点在区间上.再结合取整函数的定义，可求出的值.15、【解析】首先确定函数的解析式，然后求解的值即可.【详解】由题意可得：，当时，，令可得：，据此有：.故答案为：.【点睛】已知f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.16、【解析】由对数的运算性质可求出的值，再由基本不等式计算即可得答案【详解】由题意，得：，则（当且仅当时，取等号）故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）见解析【解析】（1）先确定的取值范围，再利用同角三角函数的平方关系，求得和的值，然后根据，并结合两角和的正弦公式，得解；（2）由，，结合两角和差的正弦公式，分别求出和的值，即可得证【小问1详解】解：因为与都是锐角，所以，，又，，所以，，所以，，所以；【小问2详解】证明：因为，所以①，因为，所以②，①②得，，①②得，，故18、（1）奇函数（2）【解析】（1）抽象函数用赋值法，再结合函数奇偶性的定义判断即可；（2）利用奇函数的单调性和定义及函数的单调性，联立不等式不等式组，再解不等式组即可.【小问1详解】因为函数定义域为，令，得．令，得，即，所以函数为奇函数【小问2详解】由（1）知函数为奇函数，又知函数的定义域为，在上为增函数，所以函数在上为增函数因为，即，所以，解得，所以实数的取值范围为19、（1）最小正周期为，（2）最小值为-1，的值为，最大值为2，的值为【解析】（1）利用周期公式可得最小正周期，由的单调递增区间可得的单调递增区间；（2）由得，当，即时，函数取得最大值，当，即时，函数取得最小值可得答案.【小问1详解】函数的最小正周期为，令因为的单调递增区间是，由，解得，所以，函数的单调递增区间是.【小问2详解】令，因为，所以，即，当，即时，函数取得最大值，因此的最大值为，此时自变量的值为；当，即时，函数取得最小值，因此的最小值为，此时自变量的值为.20、(1);(2),.【解析】（1）将函数化为的形式后可得最小正周期．（2）由，可得，将作为一个整体，结合图象可得函数的最值试题解析：（1）∴的最小正周期.（2）∵，∴∴当，即时，，当，即时，.21、（1）证明见解析（2）（3）【解析】（1）求得的定义域，计算，