高等数学 导数应用

2.4导数的应用

二利用导数研究函数性态函数的单调性的判别学习重点函数极值及最值的确定方法曲线凹凸性的判别及拐点的确定高等数学一、函数单调性的判别定理（1）如果函数在内有，则函数在上是单调递增的。（2）如果函数在内有，则函数在上是单调递减的。设函数在上连续，在内可导，则其中导数为零的点称为驻点简证：例1判别函数的单调性。解因为所以，函数在内是单调递增的。例2

求函数的单调区间解因为令得驻点列表讨论+0_0+3-1

所以，函数在及内单调增加，在内单调减少。例3

求函数的单调区间解因为当时，不存在当时，，当时，所以，函数在内单调增加，在内单调减少。

小结：驻点（使一阶导数为零的点）或一阶导数不存在的点可能将单调区间分开。例4：求函数单调区间解：当时，不存在即在0处不可导所以，函数在定义域R内单调增思考其图像，并与函数图像作比较例4

求函数的单调区间解：得到驻点，注：所以，函数在内单调减，在内单调增。确定函数的单调区间还应注意函数本身的定义域小结：求函数的单调区间的一般方法：（1）求函数的一阶导数；（2）找出所有的驻点及一阶导数不存在的点；（3）将上述点插入到定义域，分区间确定一阶导数的符号；一阶导数符号决定函数的单调性二、函数的极值及判定极值的概念：如果函数在点的某邻域内有定义，对于该邻域内任意异于点的，都有，则称为函数的一个极小值；如果有，则称为函数的一个极大值。极大值和极小值统称为函数的极值。使函数取得极值的点称为函数的极值点。

由于函数在不同的区间的单调性不同，因而在图象上会出现“峰”与“谷”，使函数值在局部范围内出现“最大”、“最小”，称之为函数的极大、极小值。-13（1）极值一定在区间内部取得。如函数Y=x在区间[1，2]内既无极大值，也无极小值。（2）某区间内函数极值可以有多个。（3）极小值可以大于极大值。◆函数的极值说明函数的极值是一个局部特性，最值是全局特性定理如果函数在点处可导，且在点处有极值，则函数在可导点取得极值时，则在该点的切线平行于x轴。即可导的极值点为驻点究竟如何判断函数的极值？◆极值存在的第一充分条件设函数在点的某个空心邻域内可导则在点处取得极大值；则在点处取得极小值；判断函数单调性和极值的步骤：1、求函数的一阶导数2、找出函数的驻点或一阶不可导点3、观察这些点左右两侧一阶导数符号的变化从而判定例1

求函数的单调区间及极值解因为令得驻点列表讨论+极小值极大值0_0+3-1所以，函数有极大值，有极小值。

一阶导数由正到负，函数过极大值；一阶导数由负到正，函数过极小值。例2

求函数的单调区间和极值解因为当时，不存在当时，，当时，所以，函数有极小值。

小结：驻点或一阶导数不存在的点，可能是函数的极值点，关键是判断这些点两侧的一阶导数符号是否变化例3

求函数的极值所以，函数无极值。（虽然有）◆极值存在的第二充分条件例4

求函数的极值解因为所以，函数有驻点而所以所以，函数有极大值，有极小值。

注意：当函数的二阶导数较易求，且二阶导数不为零时，使用第二充分条件判别极值较易；而二阶导数为零的点，必须用第一充分条件判别。三、函数的最大值与最小值

已有结论：如果函数在[a,b]上连续，则函数在该区间上一定有最大值和最小值。求函数最值的一般步骤与方法（1）求函数的导数；（2）在给定区间（或定义域）内找出所有的驻点及一阶导数不存在的点；（3）计算函数在上述点处的函数值，以及在端点处的函数值，并比较其大小，其中最大者即为函数在区间上的最大值；最小者即为函数在区间上的最小值。例5

求函数在上的最值。解因为令得而所以函数在上的最大值是最小值是生产实践和科学实验中，常会遇到“最好”、“最省”、“最高”等这样的实际问题。例如，在一定条件下，怎样使用材料最省、利润最大、投入最小等问题。在医药学中也会遇到类似的问题。比如口服或肌内注射一定剂量的某种药物后，血药浓度何时达到最高值？一种疾病与年龄有关，则什么年龄的发病率最高？等等再转化为求某一函数的最大值或最小值问题解决这些问题需借助数学模型展现其函数关系式例6（应用题）某细菌群体的数量N(t)是由下列函数模型确定：其中t是时间，以周为单位。试问细菌的群体在多少周后数量最大，其最大数量的多少？解因为令得（舍去负值）由问题的实际意义，可知时，其数量为细菌群体的数量最大，例：某地沙眼的患病率与年龄（t）的关系为问：患病率最高的年龄是多少？最高患病率是多少？解：结合实际分析，t=16.6时为患病率最高代入函数，某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月1800元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加100元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费200元的整修维护费．试问房租定为多少可获得最大收入？例7每月总收入为设房租为每月元，解租出去的房子有套，（唯一驻点）故每月每套租金为3500元时收入最高。最大收入为

例8

某厂生产某种商品，某年销售量为100万件，每批生产需增加准备费1000元，而每件产品的库存费为0.05元，如果年销售率是均匀的，且上批销售完后立即再生产下一批（此时商品库存数为批量的一半），问应分几批生产，能使生产准备费与库存费之和最小？解设总费用为y，共分x批生产，由题设可得函数关系令得唯一驻点由问题的实际意义，应分5批生产，可使两种费用之和最小。

一般地，对于实际应用问题，如果可以判断目标函数的最值存在，函数在定义域内又只有唯一驻点，则该驻点即为最值点。四、曲线的凹凸向及拐点

yxoabyoabx

定义如果曲线弧总位于它的每一点的切线的上方，则称该曲线弧是凹的；如果曲线弧总位于它的每一点的切线的下方，则称该曲线弧是凸的凹弧凸弧◆凹凸弧的判别定理定理设函数在区间上具有二阶导数，则在该区间上：（1）当时，曲线弧是凹的；（2）当时，曲线弧是凸的。凹、凸弧的分界点，称为曲线的拐点(inflectionpoint)。

例1

试证明函数的图形是凹的。所以，函数的图形在内是凹的。证明函数的定义域为判断曲线y=lnx的凹凸性内是凸的。解答解函数的定义域为例2

求曲线的凹凸区间及拐点。令得列表因为思考其图像例3

求曲线的凹凸区间及拐点。解因为所以，当时，，当时，所以，曲线在内是凹的，在内是凸的。有拐点。小结：二阶导数为零或二阶导数不存在的点，可能对应为拐点；关键分析其左右两侧曲线的凹凸性是否发生变化，。◆补充

曲线的渐近线：如果曲线上的点M沿曲线离坐标原点无限远移时，点M与某一条直线L的距离趋于零，则称直线L为曲线的一条渐近线。

（1）若或则为曲线的垂直渐近线。

（2）若或则为曲线的水平渐近线。函数作图的一般步骤：（1）求出函数f(x)的定义域，确定图形的范围；（2）讨论函数的奇偶性和周期性，确定图形的对称性和周期性；（3）找出渐近线，确定图形的变化趋势；（4）计算函数的一阶、二阶导数，并找出使一阶或二阶导数为零的点，及一阶或二阶导数不存在的点；（5）将上述点插入到定义域，列表讨论函数的单调性、曲线的凹凸向，确定函数的极值和曲线的拐点