002第二章 连续时间系统的时域分析

第二章、连续时间系统的时域分析主要内容：

◆连续时间系统的数学模型◆零输入响应◆冲激响应◆卷积◆零状态响应

或例：§2.1连续时间系统的数学模型与算子表示法连续时间系统的分析可归结为建立并求解线性常系数微分方程列回路方程例：写出系统的微分方程由网孔法§2.1连续时间系统的数学模型与算子表示法§2.1连续时间系统的数学模型与算子表示法对于一个n阶线性系统，其激励函数与响应，或者输入函数与输出函数直接的关系，可以用下列形式的微分方程—输入输出方程来描述。系统的数学模型§2.1连续时间系统的数学模型与算子表示法引入算子可改写为：对于微分方程

算子形式微分算子方程：

p不能随意消去px=py注意：代数量的运算规则对于算子符号一般也适用，但在分子分母或等式两边的相同算子符号不能随意约去。§2.1连续时间系统的数学模型与算子表示法线性微分方程可进一步可写成：转移算子例：已知写出对应的微分方程P作为公共因子提取出来了§2.1连续时间系统的数学模型与算子表示法例:电路如图所示，写出i1(t),i2(t)的转移算子。元件名称

电路符号

u~i关系(VAR)

VAR的算子形式算子模型

电阻

电感

电容

i(t)Ri(t)Ri(t)Li(t)1/pCi(t)Ci(t)pL电路元件的算子模型例:电路如图所示，写出i1(t),i2(t)的转移算子。解：直接用算子符号列方程：方程组的系数矩阵组成的行列式在电路中有三个独立的储能元件，为一个三阶系统，特征方程应为三次方程，即H(p)的分母多项式的最高次数应为三次。例：如图所示电路中，激励为f(t)，响应为i0(t)和u0(t)。试列写各响应关于激励的转移算子。§2.1连续时间系统的数学模型与算子表示法阻抗§2.2连续时间系统的零输入响应零输入响应是有初始状态引起的，求零输入响应就是求解齐次方程：思路：看一阶、二阶的简单情况，然后再推广到一般情况一、特征根为异（实）根§2.2连续时间系统的零输入响应设初始条件为：t=0时r=r(0-)

问题转化为求解两个一次齐次方程！！§2.2连续时间系统的零输入响应若t=0时的初始条件为r(0-),r’(0-)解之便可得C1，C2

对于一般的n阶齐次方程

设其特征方程有n个根λ1,λ2…λn算子方程写为：可写出解的一般形式：称之为特征根，也称为系统自然频率，也是转移算子H(p)的n个极点。

特征方程有n个根λ1,λ2…λn注意：

是解的一般形式？特征根分为三种情况：单根（异实根）、重根、复根§2.2连续时间系统的零输入响应比较特殊一、特征根为异（实）根若给定系统的n个初始条件：

将初始条件代入r(t)就得到一个线性方程组：§2.2连续时间系统的零输入响应※因为特征方程的系数为实数，所以如果出现复根则必定成对出现。二、特征根为共轭复根设特征方程有一对共轭复根λ1，λ2，λ1=α+jβ，λ2=α-jβ则对应的解为：求出来的K是复数形式所以特征根为一对共轭复根时解的一般形式写为：其中的C1，C2同样可由初始条件求出。二、特征根为共轭复根所以特征根为一对共轭复根时解的一般形式写为：三、特征根为k阶重根设特征根λ为k阶重根，这种情况说明特征多项式D(p)中有因子(p-λ)k，求解方程(p-λ)kr=0如此推下去可得：所以方程(p-λ)kr=0解的一般形式为：常数C1，C2，…Ck同样可由初始条件求出零输入响应小结：求解零输入响应就是解齐次方程D(p)r(t)=0

，可根据特征方程D(p)=0根的三种不同情况写出解的一般形式例：

如图RLC串联谐振电路，已知L=1H,C=1F,R=2.5Ω

初始条件为：1、i(0)=0A,i’(0)=1A/s2、i(0)=0A,uc(0)=10V分别求上述两种情况下回路电流的零输入响应。解：列出它的微分算子方程1、初始条件为i(0)=0A,i’(0)=1A/s时2、初始条件为i(0)=0A,uc(0)=10V时初始条件uc(0)=10V不能直接用于确定常数C1,C2所以必须转化为i’(0)。代入零输入响应的一般形式得：分析：1、初始条件为i(0)=0A,i’(0)=1A/s时电容C初始电压方向：右正左负，所以电容放电方向与参考方向相同-+分析：2、初始条件为i(0)=0A,uc(0)=10V时+-例：

上例中将电阻改为R=2Ω

初始条件仍为：i(0)=0A,i’(0)=1A/s求回路电流的零输入响应。解:分析：电阻R=2Ω

初始条件为i(0)=0A,i’(0)=1A/s时临界阻尼-+例：

上例中将电阻改为R=1Ω

初始条仍件为：i(0)=0A,i’(0)=1A/s求回路电流的零输入响应。解：分析：电阻R=1Ω

初始条件为i(0)=0A,i’(0)=1A/s时欠阻尼1、i’(0)=1A/s相当于电容C上的初始电压为-1V方向为右正左负，所以电容放电方向与参考方向相同，曲线在横轴上方。电容放电时将电容中的电能转化为电感中的磁能；当电容中的电能全部转化为电感中的磁能时电流达到最大；讨论：-+讨论：2、接下来电感中的磁能向电容释放，当电感中的磁能全部转化为电容中的电能时电感中的电流为零；讨论：3、电容中的电能反向释放，曲线在横轴下方，当电容中的电能全部转化为电感中的磁能时电流达到负的最大；讨论：4、电感中的磁能向电容释放方向与2相反，当电感中的磁能全部转化为电容中的电能时，电感中的电流又变为零；讨论：5、接下来从1开始重复这个过程，由于电路中存在电阻将损耗能量，所以振荡幅度逐步减小，最终衰减为零。零输入响应小结：求解零输入响应就是解齐次方程D(p)r(t)=0

，根据特征方程D(p)=0根的三种不同情况写出解的一般形式系数c1、c2、…..由初始条件确定例如系统的特征根中λ1,λ2为两个不同的实根，λ3=α+jβ,λ4=α-jβ为一对共轭复根,λ5为三阶重根。则系统零输入响应的一般形式写为：对于复杂的系统：连续时间系统在单位冲激信号

激励下的零状态响应称为冲激响应，记为。由转移算子H(p)求冲激响应h(t)§2.3连续时间系统的冲激响应

由转移算子H(p)求单位冲激响应h(t)§2.3连续时间系统的冲激响应当n>m时，根据极点的情况分别讨论(1)、H(p)有n个单极点λ1,λ2…λn问题转化为求一阶微分方程(1)、H(p)有n个单极点λ1,λ2…λn且n>m§2.3连续时间系统的冲激响应(2)、H(p)有两个互为共轭的极点λ1=α+jβ，λ2=α-jβ实函数形式(3)、H(p)有k阶重极点λ当n≤m时，需要进行长除法长除法，假分式→一个多项式

+一个真分式

长除法举例：

长除法举例：多项式对应部分真分式对应部分§2.3连续时间系统的冲激响应当H(p)为假分式时利用长除法，把H(p)化为一个多项式和一个真分式之和总结：由转移算子H(p)求h(t)当H(p)为真分式时利用部分分式法分解因式根据H(p)极点情况分为3类写出h(t)的表达式1、H(p)有n个单极点λ1,λ2…λn其中Kii=1,2,…,n为部分分式系数2、H(p)有两个互为共轭的极点λ1，λ2=α±jβ其中KR、KI为极点α+jβ对应的部分分式系数的实部和虚部3、H(p)有k阶重极点λ其中C1,C2,…,Ck为部分分式系数。零输入响应小结：求解零输入响应就是解齐次方程D(p)r(t)=0

，可根据特征方程D(p)=0根的三种不同情况写出解的一般形式例1：已知系统的微分方程，求单位冲激响应h(t)。解：先求转移算子H(p)例2：已知系统的微分方程，求单位冲激响应h(t)。解：例3如图RLC串联谐振电路，已知L=1H,C=1F,R=1Ω,e(t)=δ(t)求回路电流i(t)和电感上电压uL(t)的零状态响应。解：1、求i(t)的零状态响应2、求uL(t)的零状态响应对于线性非时变系统有如下的结论：证明：§2.3连续时间系统的冲激响应同样道理：§2.3连续时间系统的冲激响应对于线性非时变系统有如下的结论：系统阶跃响应可由冲激响应求得。§2.4卷积积分一.卷积的引入二、卷积的定义和计算--图解法！三、卷积的性质

线性非时变系统？一.卷积的引入任意信号表示为冲激函数的积分卷积线性非时变系统？一.卷积的引入任意信号表示为冲激函数的积分任意函数与冲激函数相卷积等于它自身§2.4卷积积分二、卷积的定义和计算分成三个步骤：1、将f1(t)和f2(t)两个函数的变量由t换成τ

；（改）2、将f2(τ)反摺并移动；（卷）3、将两个函数相乘并求积分。（积）以下图两个有始函数来说明卷积的计算过程。f1(t)tf2(t)tf2(τ)τf1(τ)τ1、将t换成τ§2.4卷积积分2、将f2(τ)反摺并移动§2.4卷积积分平移量3、将两个函数相乘并求积分因此，对于两个有始函数的卷积，可简单地写为：图解法二、卷积的定义和计算解：作图1、2、阴影表示重合的部分3、有没有注意到进行积分前共需要确定两项？①函数变量t的取值范围②τ的积分上下限§2.4卷积积分也可用图形表示：最后卷积结果为：例2求两个相同的门函数的卷积g(t)解：将这个结果总结为：1、两个相同门宽的门函数的卷积是一个三角形；2、宽度增加一倍；3、最大值为两门函数值之积再乘以门函数的宽度。这是一个典型例子，很重要，希望把它记住。这个结论以后可以作为一个定理使用图解法2：选择f1(t)反转平移解：2、确定两项的取值：

①函数变量t的取值范围②τ的积分上下限解析法：三、卷积的性质§2.4卷积积分1、交换律、分配律和结合律2、卷积后的微分3、卷积后的积分4、两函数的卷积等于其中一个函数的微分和另一个函数的积分5、函数延迟后的卷积★★设有三个函数u(t),v(t),w(t)1、交换律、分配律和结合律u(t)*v(t)=v(t)*u(t)u(t)*[v(t)+w(t)]=u(t)*v(t)+u(t)*w(t)u(t)*[v(t)*w(t)]=[u(t)*v(t)]*w(t)§2.4卷积积分2、卷积后微分证明：推论：任何函数与δ’(t)卷积相当于对函数求导：2、卷积后微分3、卷积后的积分任何函数与ε(t)卷积相当于对函数求积分4、两函数的卷积等于其中一个函数的微分和另一个函数的积分杜阿美尔积分解析法，利用卷积的性质求解5、函数延迟后的卷积证明：5、函数延迟后的卷积例4：利用性质4、5重做例1解：0123t20123t1-10123t(2)(-2)0123t1结果如图所示-20123t245解：解析法举例§2.5连续时间系统的零状态响应和全响应求解时域分析小结由转移算子H(p)求出h(t)求解零输入响应就是解齐次方程D(p)r(t)=0

，根据特征方程D(p)=0根的三种不同情况写出解的一般形式系数c1、c2、…..由初始条件确定复习：§2.2连续时间系统的零输入响应◆当H(p)为假分式时利用长除法，把H(p)化为一个多项式和一个真分式之和复习：§2.3连续时间系统的冲激响应利用H(p)求解h(t)◆当H(p)为真分式时利用部分分式法根据H(p)极点情况分为3类写出h(t)的表达式2、H(p)有两个互为共轭的极点λ1，λ2=α±jβ其中KR、KI为极点α+jβ对应的部分分式系数的实部和虚部。3、H(p)有k阶极点λ其中C1,C2,…,Ck为部分分式系数其中Kii=1,2,…,n为部分分式系数1、H(p)有n个单极点λ1,λ2…λn§2.5连续时间系统的零状态响应和全响应求解一、指数函数激励下的系统响应二、矩形脉冲信号激励下RC电路的响应三、梯形信号作用于系统由转移算子H(p)求出h(t)一、指数函数激励下的系统响应第一部分称自然响应或自由响应；第二部就称为受迫响应。对于一个稳定系统，系统的响应或最终趋于零或最终趋于一个常数。系统的响应中最终趋于零的部分称瞬态响应；最终趋于一个常数的部分称稳态响应。例：如图RC串联电路，已知R=1Ω，C=1F，e(t)=(1+e-3t)ε(t)

；电容上的初始电压uc(0-)=1V求电容上的响应电压uc(t)。解：由H(p)还可求得:又例：已知线性非时变连续时间系统的自然响应为