傅立叶变换 拉普拉斯变换

学习目标1、了解傅里叶积分;2、理解傅里叶变换;3、掌握函数及傅里叶变换;4、熟悉傅里叶变换的性质.第七章傅里叶变换所谓积分变换,就是把某函数类A中的函数(象原函数)乘上一个确定的二元函数,然后计算积分,即这样变成另一个函数类B中的函数(象函数).根据选取的二元函数(核函数)不同,就得到不同名称的积分变换.积分变换7.1傅里叶变换的概念与性质41、

连续或只有有限个第一类间断点2、

只有有限个极值点这两个条件实际上就是要保证函数是可积函数.在高等数学中学习傅里叶级数时知道，研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的情况即可,通常研究在闭区间[-T/2,T/2]内函数变化的情况.并非理论上的所有周期函数都可以用傅里叶级数逼近,而是要满足狄利克雷(Dirichlet)条件,即在区间[-T/2,T/2]上5因此,任何满足狄氏条件的周期函数,可表示为三角级数的形式如下:6而利用三角函数的指数形式可将级数表示为:其中7例1

定义方波函数为如图所示:1-1otf(t)1

81-13T=4f4(t)t现以f(t)为基础构造一周期为T的周期函数fT(t),令T=4,则9则10sinc函数介绍11sinc函数的图形:sinc(x)x12前面计算出w13现在将周期扩大一倍,令T=8,以f(t)为基础构造一周期为8的周期函数f8(t)1-17T=8f8(t)t14则15则在T=8时,w16如果再将周期增加一倍,令T=16,可计算出w17一般地,对于周期T18当周期T越来越大时,各个频率的正弦波的频率间隔越来越小,而它们的强度在各个频率的轮廓则总是sinc函数的形状,因此,如果将方波函数f(t)看作是周期无穷大的周期函数,则它也可以看作是由无穷多个无穷小的正弦波构成,将那个频率上的轮廓即sinc函数的形状看作是f(t)的各个频率成份上的分布,称作f(t)的傅里叶变换.19对任何一个非周期函数f(t)都可以看成是由某个周期函数fT(t)当T

时转化而来的.

作周期为T的函数fT(t),使其在[-T/2,T/2]之内等于f(t),在[-T/2,T/2]之外按周期T延拓到整个数轴上,则T越大,fT(t)与f(t)相等的范围也越大,这就说明当T

时,周期函数fT(t)便可转化为f(t),即有20Otf(t)OtfT1(t)OtfT2(t)2122如图{O

w1

w2

w3

wn-1wn{{{w23

24此公式称为函数f(t)的傅里叶积分公式,简称傅氏积分公式,而等号右端的积分式称为的傅里叶积分(简称傅氏积分).

若函数在任何有限区间上满足狄氏条件（即函数在任何有限区间上满足：(1）连续或只有有限个第一类间断点；(2)至多有有限个极值点）,并且在上绝对可积，则有：傅氏积分存在定理

为连续点为间断点上式称为傅氏积分的复指数形式，利用欧拉公式，也可以转化为三角形式.2627又考虑到积分最后这个式子就是傅里叶积分的三角形式也叫做的傅氏积分表达式

如果函数满足傅里叶积分定理,由傅里叶积分公式,设7.1.2傅里叶变换的概念叫做的傅氏变换,象函数,可记做

=ℱ[]叫做的傅氏逆变换,象原函数,=ℱ例2

求函数的傅氏变换

解例3求指数衰减函数的傅氏变换和傅氏积分表达式.解这个指数衰减函数是工程技术中常遇到的一个函数

tf(t)若上式右端为于是7.1.3－函数及其傅里叶变换

在物理和工程技术中,除了用到指数衰减函数外,还常常会碰到单位脉冲函数.因为在许多物理现象中,除了有连续分布的物理量外,还会有集中在一点的量（点源）,或者具有脉冲性质的量.例如瞬间作用的冲击力,电脉冲等.在电学中,我们要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后所产生的电流；在力学中,要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等.研究这类问题就会产生我们要介绍的脉冲函数.有了这种函数,对于许多集中在一点或一瞬间的量,例如点电荷、点热源、集中于一点的质量以及脉冲技术中的非常狭窄的脉冲等,就能够像处理连续分布的量那样,用统一的方式来加以解决.函数的定义

（1）看作矩形脉冲的极限（2）函数的数学定义（3）物理学家狄拉克给出的定义满足下列两个条件的函数称为函数：Ⅰ

Ⅱ

1函数用一个长度等于1的有向线段来表示,如下图o定义为满足下列条件的函数如下图1o

函数的性质

（1）对任意的连续函数,都有

（2）函数为偶函数,即

（3）其中,称为单位阶跃函数.反之,有.Otu(t)

函数的傅里叶变换由于

=ℱ可见,

ℱ[]=1,ℱ-1[1]=.

与常数1构成了一个傅氏变换对,即与也构成了一个傅氏变换对,即

一些常见函数的傅氏变换和一些傅氏变换对

例4

可以证明单位阶跃函数的傅氏变换为的积分表达式为pwO|F(w)|例5证明的傅氏变换为证明=ℱ所以例6

求正弦函数的傅氏变换

可以证明ℱℱpp-w0w0Ow|F(w)|tsint

7.1.4傅里叶变换的性质

1线性性质ℱ=ℱ设为常数则=ℱ

ℱ这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质,为了叙述方便起见,假定在这些性质中,凡是需要求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理中的条件,在证明这些性质时,不再重述这些条件.2对称性质

若=ℱ则以为自变量的函数

的象函数为

即ℱ

ℱ3相似性质=ℱ若则ℱℱ4平移性质

若=ℱ为实常数,则ℱℱ（1）象原函数的平移性质例7

求ℱℱ解因为所以ℱ（2）象函数的平移性质

若=ℱ为实常数,则

ℱℱ例8已知ℱ求ℱ解ℱℱ显然一般地ℱ且则5微分性质若=ℱℱ一般地,若ℱ则ℱ（1）象原函数的微分性质例9证明ℱ证明因为所以ℱℱℱ一般地ℱ（2）象函数的微分性质

若=ℱ则ℱ或ℱ例10已知ℱ求ℱ解ℱ6积分性质若=ℱℱ则在这里必须满足傅氏积分存在定理的条件,若不满足,则这个广义积分应改为ℱ第7章傅里叶变换7.2傅里叶变换的应用7.2.1傅氏变换的物理意义—频谱

在频谱分析中,傅氏变换

又称为的频谱函数,而它的模

称为的振幅频谱(亦简称为频谱).由于w是连续变化的,我们称之为连续频谱,对一个时间函数作傅氏变换,就是求这个时间函数的频谱.可以证明,频谱为偶函数,即53例1作如图所示的单个矩形脉冲的频谱图f(t)单个矩形脉冲的频谱函数为:tE-t/2t/254矩形脉冲的频谱图为wEt|F(w)|O55振幅函数|F(w)|是角频率w的偶函数,即56我们定义为f(t)的相角频谱.显然,相角频谱j(w)是w的奇函数,即j(w)=-j(-w).第8章拉普拉斯变换

本章学习目标1、理解拉普拉变换的概念与性质；2、掌握拉普拉变换的逆变换；3、了解拉普拉斯变换的应用。第8章拉普拉斯变换8.1拉普拉斯变换的概念与性质在所确定的某一域内收敛,则由此积分所确定的函数可写为

8.1.1拉普拉斯变换的概念定义8.1

设函数当有定义,而且积分是一个复参量）我们称上式为函数的拉普拉斯变换式

,记做ℒ

叫做的拉氏变换,象函数.叫做的拉氏逆变换,象原函数,=ℒ

的增长速度不超过某一指数函数,亦即存在常数

拉普拉斯变换存在定理

若函数满足下列条件

Ⅰ在的任一有限区间上连续或分段连续,时,

Ⅱ当时,及,使得成立,则函数的拉氏变换在半平面上一定存在.此时右端的积分绝对收敛而且一致收敛.并且在此半平面内为解析函数

一些常用函数的拉普拉斯变换【例2】求单位阶跃函数的拉氏变换

解

ℒ

【例1】求单位脉冲函数的拉氏变换

解

ℒ

【例3】求函数的拉氏变换

解

ℒ

【例4】求单位斜坡函数的拉氏变换

解

ℒ

【例5】

求幂函数的拉氏变换

解

ℒ

当为正整数时,ℒ

【例6】

求正弦函数

的拉氏变换

ℒ

解

则所以ℒ

即同理可得如ℒ

ℒ

是周期为当在一个周期上连续或分段连续时,则有周期函数的拉普拉斯变换

这是求周期函数拉氏变换公式

的周期函数,即可以证明:若ℒ

8.1.2拉普拉斯变换的性质

1线性性质

设为常数，则

ℒℒ

ℒ

ℒ

2平移性质

（1）象原函数的平移性质

为非负实常数,则ℒℒℒ【例7】求函数的拉氏变换解因为ℒ所以ℒ若（2）象函数的平移性质

为实常数,则

ℒℒ若这个性质表明，象原函数乘以，等于其象函数做位移(为正整数).

【例8】求解因为ℒ

ℒ

ℒ

ℒ

所以ℒ

ℒ

3.延滞性质若则ℒ

ℒ

Ottf(t)f(t-a)这个性质表明，时间延迟了个单位，相当于象函数乘以指数因子则4微分性质

（1）象原函数的微分性质

一般地,ℒℒ

若ℒ特别地,当时,ℒ可以证明ℒ（2）象函数的微分性质

若则ℒ从而ℒℒ

ℒℒ这个性质表明，一个函数求导后取拉普拉斯变换，等于这个函数的拉普拉斯变换乘以参数再减去这个函数的初值【例9】求函数解因为同理,ℒℒℒ所以,ℒ5积分性质

若ℒ则ℒℒ

（1）象原函数的积分性质

一般地ℒ且积分收敛若ℒ则ℒℒ

（2）象函数的积分性质

一般地ℒ或推论若则ℒ

且积分收敛【例10】

求ℒ

解因为ℒ

所以ℒℒ

亦可得拉普拉斯还有一些其他性质，如相似性质若=ℒ

则ℒℒ有兴趣者可以查阅相关书籍第8章拉普拉斯变换8.2拉普拉斯变换的逆变换

求拉普拉斯逆变换的方法主要有留数法、部分分式法、查表法等.查表法是一种简单、快速、有效的求拉普拉斯逆变换的基本方法,但是它局限于表中类型.根据拉普拉斯变换的定义

右端的积分称为拉氏反演积分.它是一个复变函数的积分,但计算比较麻烦.

8.2.1利用部分积分法求拉普拉斯逆变换在用拉普拉斯变换解决工程技术中的应用问题时，经常遇到的象原函数是有理分式，一般可将其分解为部分分式之和，然后再利用拉普拉斯变换表求出象原函数.【例1】求的拉普拉斯逆变换.

解先将函数分解为部分分式之和

用待定系数法求得所以则有ℒℒℒℒ8.2.2